弯曲变形例题
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弯曲变形例题
20
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解：
解除B点约束 以反力qa代替
vB
q(2a) 4 8EI
qa (2a ) 3 3EI
14qa 4 3EI
vD
vB 2
2qa (2a ) 3 48EI
8qa 4 3EI
21
第21页/共65页
例8：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。
22
第22页/共65页
解：
可由载荷等效法求得弯 矩和剪力的大小及方向
30
3)如图(d)所示，B端由于 而引起的挠度为：
fD ，D
(a) A
P
I
I1=2I
C
D
B
fB2
fD
D
l 4
5 pl3 768 EI
3Pl 2 64 EI
l 4
l/4
13 pl3 768 EI
4)叠加 f B1和 fB2，可求出作为
自由端B处的挠度为：
f f f pl3 3pl3 3pl3 B B1 B2 384EI 768EI 256EI
f2 C
0
(表7.1.7)
叠加:
f
f1
f2
5q l 4 0
C
C
C
768EI
18
第18页/共65页
第七章
例6-2 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中
点C的挠度。
q2
q1-q2
+
q1
=
q2
C
C
C
(b)
(c)
(a)
解：图(a)分解为图(b)和图(c)之和
图(b)中点C的挠度为:
f1 C
5q2l 4 384EI
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解：
解除B点约束 以反力qa代替
vB
q(2a) 4 8EI
qa (2a ) 3 3EI
14qa 4 3EI
vD
vB 2
2qa (2a ) 3 48EI
8qa 4 3EI
21
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例8：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。
22
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解：
可由载荷等效法求得弯 矩和剪力的大小及方向
30
3)如图(d)所示，B端由于 而引起的挠度为：
fD ，D
(a) A
P
I
I1=2I
C
D
B
fB2
fD
D
l 4
5 pl3 768 EI
3Pl 2 64 EI
l 4
l/4
13 pl3 768 EI
4)叠加 f B1和 fB2，可求出作为
自由端B处的挠度为：
f f f pl3 3pl3 3pl3 B B1 B2 384EI 768EI 256EI
f2 C
0
(表7.1.7)
叠加:
f
f1
f2
5q l 4 0
C
C
C
768EI
18
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第七章
例6-2 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中
点C的挠度。
q2
q1-q2
+
q1
=
q2
C
C
C
(b)
(c)
(a)
解：图(a)分解为图(b)和图(c)之和
图(b)中点C的挠度为:
f1 C
5q2l 4 384EI
《材料力学》 练习题 (弯曲变形)
《材料力学》练习题（弯曲变形）
院系：年级：专业：
姓名：学号：成绩：
1、试用积分法求如图所示梁：
（1）挠曲线方程，并绘出挠曲线的大致形状；
（2）截面A处的挠度和截面B处的转角。
（EI为已知）
2、用积分法求图所示各梁的挠曲线方程、转角方程和B截面的转角、挠度。
（设EI=常数）
3、试用积分法求图中截面A 处的挠度和转角。
4、外伸梁受力如图所示，试用积分法求A θ、B θ及D y 、C y 。
（设EI =常数）
6、试用叠加法求如图所示简支梁C截面的挠度和两端的转角。
8、如图所示梁AB 的右端由拉杆BC 支承。
已知：4kN/m q =，2m l =，3m h =，梁的截面为边长200mm b =的正方形，材料的弹性模量110GPa E =；拉杆的横截面面积2250mm A =，材料的弹性模量2200GPa E =。
试求拉杆的伸长l ∆，以及梁的中点在竖直方向的位移。
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
5-3 梁的弯曲变形
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的挠度方程、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x ) P ( x L)
2）写出微分方程并积分
EIw" M ( x) P( L x)
1 P( L x ) 2 C 2 1 EIw P( L x)3 Cx D 6 EIw
4）根据强度条件和刚度条件选择工字钢 由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面模量 Wz=3.09xl0-4m3 ，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见选择22a工字 钢作梁能同时满足强度和刚度要求。
§5-3 梁的弯曲变形
六、提高梁弯曲刚度的措施
梁的弯曲变形与梁的弯曲刚度EI、约束条件、梁的跨度 以及梁所受载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以 提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】按载荷叠加法求A点转角和C点挠度。
解：
1）载荷分解如图
§5-3 梁的弯曲变形
2）由梁的简单载荷变形表查简单载荷引起的变形。
AP Pa 2 4 EI
wCP
Aq
Pa3 6EI
qa3 3EI 5qa 4 24 EI
wCq
3）叠加得到总变形。
5）最大挠度及最大转角
wmax PL3 w( L) 3EI
max
PL2 ( L) 2 EI
§5-3 梁的弯曲变形
【例题】求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
1）建立坐标系并写出弯矩方程
P( x a) M ( x) 0 (0 x a) (a x L )
材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学 第5章 弯曲变形-2
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
如何提高梁的承载能力
目标： 降低
降低
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
合理布置载荷和支座
F
M
L/2
L/2
F
M
L/4
3L/4
F
对称 M
L/5
4L/5
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
工程实例
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
合理布置载荷和支座
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
(a) (b)
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用教材附录C表 中第五种情况下的公式有
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
均布荷载:反对称均布荷载
C
挠曲线:与跨中截面反对称
在反对称荷载作用下，跨中截面不仅挠度为零，弯矩亦为零，但 转角不等于零，因此，可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为 受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。
A
D
B
F2=2kN C
C F2=2kN
=
+
A
D
F2 a
B
C
F2
F2 M
B
C
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
L=400mm a=0.1mF
A
D
B
C
A
200mm F1=1kN F2=2kN
解：❶结构变换
A
D
B
C
F1=1kN
a
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
工程力学2第六章 弯曲变形
§6-4 用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
d2y EI 2 EIy'' M ( x ) dx n
由弯矩的叠加原理知： 所以， 即，
§6–3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
ymax
x2
a
b
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
Fb 2 Fb 2 EI 1 x1 (l b2 ) 2l 6l
Fb 3 Fb 2 EIy1 x1 ( l b 2 ) x1 6l 6l
转角
4、挠度与转角的关系 （ Relationship between deflection and slope)： w
A
tg w ' w '( x )
B
x
C C'
转角
w挠度
挠曲线
B
5、挠度和转角符号的规定
（Sign convention for deflection and slope) 挠度 向上为正,向下为负. 转角 自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负. w
刘鸿文版材力第六章 弯曲变形 (2)
RA
q
RB
ql RA = RB = 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M(x) = x − qx = (lx − x2 ) 2 2 2 q EIw' ' = M(x) = (lx − x2 ) 2 (a) (b)
RA
A
x
q
RB
B x
y
l
q EIw ' = M(x) = (lx − x2 ) ' 2
w"Байду номын сангаас 0
o y
M M
x
ν"> 0
o 图 6 -2 x
M>0
w '' (1 + w ' )
2
2
3
2
M (x) = EI
（6 -1） ）
w' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为： 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：
M(x) w "= EI
（6 -2 a） ）
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了w′2 项。 略去了 ′
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 若为等截面直梁 其抗弯刚度 为一常量上式可改写成
EIw = M(x)
''
（6 -2 b） ）
上式积分一次得转角方程
EIw' = EIθ = ∫ M(x)dx + C 1
再积分一次, 再积分一次 得挠曲线方程
（6 -3 a） ）
q
RB
ql RA = RB = 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M(x) = x − qx = (lx − x2 ) 2 2 2 q EIw' ' = M(x) = (lx − x2 ) 2 (a) (b)
RA
A
x
q
RB
B x
y
l
q EIw ' = M(x) = (lx − x2 ) ' 2
w"Байду номын сангаас 0
o y
M M
x
ν"> 0
o 图 6 -2 x
M>0
w '' (1 + w ' )
2
2
3
2
M (x) = EI
（6 -1） ）
w' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为： 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：
M(x) w "= EI
（6 -2 a） ）
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了w′2 项。 略去了 ′
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 若为等截面直梁 其抗弯刚度 为一常量上式可改写成
EIw = M(x)
''
（6 -2 b） ）
上式积分一次得转角方程
EIw' = EIθ = ∫ M(x)dx + C 1
再积分一次, 再积分一次 得挠曲线方程
（6 -3 a） ）
材料力学典型例题及解析 6.弯曲变形典型习题解析
弯曲变形典型习题解析1 试用积分法写出图示梁的挠曲轴方程，说明用什么条件决定方程中积分常数，画出挠曲轴大致形状。
图中C 为中间铰。
为已知。
I E解题分析：梁上中间铰处，左、右挠度相等，转角不相等。
解：设支反力为，如图示。
yB A yA FM F、、1、建立各段挠曲轴近似微分方程并积分 将梁分为AC 、CB 、BD 段。
AC 段 a x ≤≤10挠曲轴近似微分方程 11x FM w I E yA A ⋅−=′′转角方程1211'12C x Fx Mw IE yA A+−= (a) 挠度方程1113121162D x C x F x M w I E y A A ++−=(b)CB 段 )(2b a x a +≤≤挠曲轴近似微分方程2"2x FMw I E yA A ⋅−=转角方程 222222C x F xM w I E yA A+−=′(c)挠度方程2223222262D x C xFx M w I E yA A++−= (d)BD 段 l x b a ≤≤+3)(挠曲轴近似微分方程[])(333b a x Fx FM w I E yB yA A+−+−=′′转角方程[]32323332)(2C b a x F x F x M w I E yB yA A++−+−=′ (e) 挠度方程[]33333332336)(62D x C b a x FxFxM w I E yB yA A+++−+−= (f)2、确定积分常数共有6个积分常数。
需要6个位移边界条件和光滑连续条件。
332211D C D C D C 、、、、、题1图M A边界条件：，代入(b)得 01=x 01=w 01=D (g)0'1=w 代入(a)得 01=C(h)b a x +=2，02=w (i)连续条件： ， a x x ==2121w w =(j) b a x x +==32， 32w w ′=′ (k) 32w w =(l)联立(i)、(j)、(k)、(l)，可求出。
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
第七章弯曲变形案例
二、工程实例
实例一：起重机大梁
实例二、机床摇臂
7.2
梁的挠曲线近似微分方程
一、挠度和转角
梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变 成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
y
q
C’
挠曲线 B’
转角
wB B x
某截面的竖向位移，称为 该截面的挠度。 某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角。
EI zq EIw M ( x)dx C
EI z w ( M ( x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确 定其大小。
一、边界条件
在约束处的转角或挠度可以确定
F
EI z w ( M ( x)dx)dx Cx D
q
B
w
A
x
C
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位 置有关，可以表示为关于 x 的函数。 w f1 ( x) 挠度方程（挠曲线方程）
挠度
转角方程
q f 2 ( x)
y
q
B’ C’
挠度和转角的正负号规定
q
B w wB x
A
x
C
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负, 即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q 为正。
挠度和转角的关系
y
q
B’ C’
q
B
w
wB x
dy 件下
A
x
C
tan q q
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
dy w tan q q dx
第六章 弯曲的能量原理
梁右端的转角为: 梁的变形能为:
Mel Fl 2 θ 16 EI 3 EI
2
1 1 1 F 2 l 3 M e 2 l M e Fl 2 Vε F 1 M e 2 ( ) 2 2 EI 96 6 16 共1页
4
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me
l/2
l/2
（1）先加力F后,C 点的位移
F
A C B
Fl 1 48 EI
力F 所作的功为
3
1
1 1 Fl 3 W F 1 F 2 2 48 EI
（2）力偶由零增至最后值 Me
A
l/2
l/2
F
C
Me
B
Mel B 截面的转角为 θ 3 EI
1 1 Mel 力偶 Me 所作的功为 W2 共1页 M eθ M e 2 2 3 EI
1 W F wC 2
由Vε=W 得
共1页
Fa 2b 2 wC 3 EIl
3
(Energy Method)
例题5 以弯曲变形为例证明 应变能Vε只与外力的最 终值有关,而与加载过程 和加载次序无关. 解: 梁中点的挠度为:
A
l/2 l/2
F
C
Me
B
1
2
Me l 2 Fl 3 1 48 EI 16 EI
F
A C x1 a l x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx l 2 EI Fb 2 Fa ( x1 ) ( x2 )2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 33 NhomakorabeaA
工程力学第10章 弯曲变形与简单超静定梁
10.3 叠加法求梁的转角和挠度
从上节几个例题可以看出, 梁的转角方程和挠度方程是梁上载荷的线性齐次函 数, 这是由于梁的变形通常很小, 梁变形后, 仍可按原始尺寸进行计算, 而且梁 的材料符合胡克定律。 在此情况下, 当梁上同时有几个载荷作用时, 由每一个 载荷所引起的转角和挠度不受其他载荷的影响。 这样, 就可应用叠加法。 用叠 加法求梁的转角和挠度的过程是: 先分别计算每个载荷单独作用下所引起的转 角和挠度, 然后分别求它们的代数和, 即得这些载荷共同作用时梁的转角和挠度。 叠加法虽然不是一个独立的方法, 但它对于计算几个载荷作用下梁指定截面的 转角或指定点的挠度是比较简便的。 为了便于应用, 表10-1中节录了简单载荷 作用下梁的转角和挠度。
现在讨论式(d)中正、 负号的选择问题。 式中的
的正、 负号应根据弯矩
正、 负号规定与选定的坐标系来确定。 由图10-3a可见, 当弯矩为正值时, 挠
曲线为凹向, 其二阶微分 亦为正值; 由图10-3b可见, 当弯矩为负值时, 挠
曲线为凸向, 其二阶微分为
负值。 由此可见, 对于所选定的坐标系, M
第10章 弯曲变形与简单超静定梁
10.1 梁的变形和位移
梁在载荷作用下, 即使具有足够的强度, 如果其变形过大, 也可能影响梁的正 常工作。 例如: 齿轮传动轴的变形过大, 会影响齿轮的啮合(图10-1); 起重 机大梁的变形过大, 会在起重机行驶时发生剧烈的振动等。 因此, 对梁的变 形有时需要加以限制, 使它满足刚度的要求。 与上述情况相反, 有时则要利用梁的变形来达到一定的目的。 有些机械零件, 例如车辆上的叠板弹簧, 就是利用它的变形来减轻撞击和振动的影响的。 此外, 在求解超静定梁时, 必须考虑梁的已知变形条件才能求解。 为了解决上述问题, 需要研究梁的变形。
第八章-弯曲变形[1]
![第八章-弯曲变形[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/18bb36e964ce0508763231126edb6f1afe007171.png)
RB L3 3 EI
RB
LBC
RB LBC EA
补充方程
B
qL4 RB L3 RB LBC 8EI 3EI EA
RB
RB
qL4 8I ( LBC
L3
)
q0
A
求解其他问题
3EI
B
（反力、应力、变形等） 35
本章小结： 1、微分方程旳导出 2、微分方程旳解法 —— 积分法求变形 3、叠加法求变形 4、变形比较法 —— 超静定梁
f (x) M (x) EI
f (x) y, f (x)
习题：8.6, 8.7, 8.22, 8.29
36
(3) 将BC刚化计算AB扭转变形引起旳C点旳挠度
计算B截面扭转角
B
Tl GI p
Pal GI p
32Pal
Gd 4
f
(3) C
B
•a
32 Pa 2l
Gd 4
()
所以，C点位移为：
fC
f
(1) C
f
(2) C
f
(3) C
P T
B A 尺寸：l, d
B
C
B
f
(3) C
30
8.5 提升弯曲刚度旳某些措施
第八章 弯曲变形 Bending deformation
赠言： 大过，栋橈，利有攸往，亨。
注释：
《周易上经 · 大过》
• 大过，卦名；非常过分旳意思
• 栋，即梁 • 橈（rao），挠（nao）曲旳树木称为橈 • 攸，即所；利有攸往，意思——有利于所往旳方向 • 亨，亨通
了解：
事物发展得非常过分，好象栋梁挠曲，有利于所
②解超静定梁
第8章-梁的变形分析与刚度问题
（3）弹簧铰支座（弹簧系数 ） ）弹簧铰支座（弹簧系数k） w F 例如： 例如： T = k wB = F / 2 F B A x l F l FT x = 0, w = 0 x = 2l, w = −
2k
常见的分段点连续条件： 常见的分段点连续条件： （1）连续的挠曲轴上的分段点 ） 连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。 连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。 个分段点处： 第i个分段点处： 个分段点处 Mi(x) Mi+1(x) i xi wi(x) wi+1(x) (2) 中间铰处 A w1(x) l B w2(x) l C x 挠度连续 转角连续
分段表示， （若梁的M(x)分段表示，上式也应分段表示） 若梁的 分段表示 上式也应分段表示）
1 ∴ ≈ ±w′′( x) M>0 ρ( x) M ( x) ± w′′( x) = w′ (x) > 0 EI
计算梁的位移的积分法
挠曲线近似微分方程
d 2 w M ( x) = 2 dx EI
(13.12)
1b 3 1 3 EIw2 = Fx2 − F( x2 − a) + C2 x2 + D2 6l 6
例题
例 题 13-6
3.定解条件： 定解条件： 定解条件
w
A
w1(x)
a
EI
F w2(x) b
C l
B
FA
x1 x2
x
FB
解得常数为： 解得常数为：
例题
例 题 13-6
4.求最大转角： 求最大转角： 求最大转角
称为叠加原理 称为叠加原理
2.弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表 弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表13.2
工程力学复习题3
习惯上将二者统称为叠加法。
12
机电李禄昌
例题5： 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解：⑴、假想将外伸梁分成两部
分，AB段为简支梁；BC段为悬臂 梁。截面B处有剪力P2和弯矩m 。 ⑵、分析AB段的变形： 截面B处有剪力P2和弯矩m ： P2= q a ，m = qa2/2 。 在m作用下，B处的转角：
y
y
n
x
E
( , )
2
A( x , x )
x
B( y , y )
x
c
22
机电李禄昌
三、应力圆的应用： 1、利用应力圆，可以方便求出任意斜截面上的σ
α
、τ
α：
y
y
y
n
x
x
( , )
2
A( x , x )
x
c
B( y , y )
18
机电李禄昌
极值正应力σmax、σmin
（主应力）
2
max x y x y 2 xy min 2 2
极值正应力所在平面的方位角α0
（主平面方向）
tg 20
2 xy
x y
可以求出两个角度值：α0、 α0+π/2，其中一个是最大正应力 σmax 所在平面，另一个是最小正应力σmin 所在平面。
2.叠加原理的限制 ：载荷与它所引起的变形成线性关系。 因此要求（1）材料是线弹性材料，服从胡克定律；
（2）弯曲变形很小。
11
机电李禄昌
叠加法求弯曲变形
载荷叠加法:分解载荷,适用于求解简支梁或者悬 臂梁同时受到几种载荷共同作用下的变形
12
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例题5： 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解：⑴、假想将外伸梁分成两部
分，AB段为简支梁；BC段为悬臂 梁。截面B处有剪力P2和弯矩m 。 ⑵、分析AB段的变形： 截面B处有剪力P2和弯矩m ： P2= q a ，m = qa2/2 。 在m作用下，B处的转角：
y
y
n
x
E
( , )
2
A( x , x )
x
B( y , y )
x
c
22
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三、应力圆的应用： 1、利用应力圆，可以方便求出任意斜截面上的σ
α
、τ
α：
y
y
y
n
x
x
( , )
2
A( x , x )
x
c
B( y , y )
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极值正应力σmax、σmin
（主应力）
2
max x y x y 2 xy min 2 2
极值正应力所在平面的方位角α0
（主平面方向）
tg 20
2 xy
x y
可以求出两个角度值：α0、 α0+π/2，其中一个是最大正应力 σmax 所在平面，另一个是最小正应力σmin 所在平面。
2.叠加原理的限制 ：载荷与它所引起的变形成线性关系。 因此要求（1）材料是线弹性材料，服从胡克定律；
（2）弯曲变形很小。
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叠加法求弯曲变形
载荷叠加法:分解载荷,适用于求解简支梁或者悬 臂梁同时受到几种载荷共同作用下的变形
弯矩调幅法例题及详解
弯矩调幅法例题及详解
弯矩调幅法是一种用于解决结构中弯曲变形的方法。
下面是一个使用弯矩调幅法解决的例题及详解：
例题：
在一个梁上有两个集中力作用，分别是500N和800N，作用点分别距离梁的左端点3m和5m处。
梁的长度为10m，截面为矩形，宽度为20cm，高度为30cm。
求梁在中间支点处的弯矩值。
解法：
1. 首先确定梁的受力情况。
由题目可知，梁上有两个集中力作用，分别为500N和800N。
根据力的作用点和方向可知，500N的力作用在距离梁的左端点3m处，800N的力作用在距离梁的左端点5m处。
2. 确定梁的截面矩。
根据题目提供的梁的截面尺寸，可以计算出梁的截面面积A=0.2m * 0.3m = 0.06m^2。
梁的惯性矩
I=1/12 * (0.2m) * (0.3m)^3 = 0.0018m^4。
3. 计算力产生的弯曲矩。
根据弯矩调幅法的基本原理，梁上任意一点的弯曲矩M可以通过以下公式计算：
M = F * x
其中，F为作用力大小，x为作用力到该点的距离。
对于500N的力，弯曲矩M1 = 500N * 3m = 1500Nm；
对于800N的力，弯曲矩M2 = 800N * 5m = 4000Nm。
4. 计算支点处的弯曲矩。
根据梁的支持条件，支点处的弯曲矩应该为零。
因此，可以用中间支点处的弯曲矩M3表示为：
M3 = - (M1 + M2)
将M1和M2的值代入计算，得到M3 = - (1500Nm + 4000Nm) = -5500Nm。
因此，梁在中间支点处的弯曲矩为5500Nm。
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(ql 2 ) l ql3 B3 , 3EI 3EI ql 4 yC 3 16EI
w
B2
yC 2
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI (ql)l 3 48EI
yC 2
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
ql3 ql3 ql3 11ql3 B B1 B 2 B3 24EI 16EI 3EI 48EI
3Pa 3 2 EI1
7 Pa3 Pa3 3EI 2 3EI1
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁 例7-8 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 解： 1、选择基本静定梁。 D 2、列出变形协调条件。
l
A l/2 B l/2
积分二次：
1 4 EIy qx Cx D 24
（2）
1 3 由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C qL 6 1 4 x L, y 0 代入（2）得： D qL 8
代入（1）（2）得：
弯曲变形/用积分法求梁的变形 3、确定常数C、D.
1 1 3 1 3 ( qx qL ) EI 6 6
1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段 进行积分时，必然要有两个积分常数； 2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后，再来确定积 分常数，并应了解到每段方程只适用于一定的区间之内; 3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在 每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续；
Fab ( L a ) 6 LEI
x L 代入得：
B 2
xL
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 ymax 。
dy 由 0 求得 ymax 的位置值x。 dx
Fb( L2 b 2 ) A 0, 6 LEI
C 1 x a
Fab (a b) 0( a b) 3LEI
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁
解得：
yC yCF yCFN
Fl 25 [1 ] I 3EI 32(1 24 2 ) Al
在本例中，在F力作用下，拉杆BD伸长，因而B处下 移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即
3
yB yBF yBFN lBD
弯曲变形
本 章 结 束
弯曲变形/用积分法求梁的变形 例7-2 一简支梁受力如图所示。试求 ( x), y( x) 和 A , ymax 。 F y 解： 1、求支座反力 x x C B A Fb Fa x FAy , FBy a b L L
L
2、分段列出梁的弯矩方程
FAy
BC段 (a x L)
FBy
a
Fa使AB梁产生向上凸的变形。
查表得：
Fa
B
B
a
C
( Fa ) l B 3EI
yC 1 则
yC1 B a
Fa2l 3EI
+
B a
F C
( Fa ) l a 3EI
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 2）考虑BC段(AB段看作刚体) A lFa源自BB aC
yC 1
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
前提：起始截面上没有集中外力偶！
用积分法计算梁的挠度和转角的一般步骤：
（1）建立坐标系 （2）分段写弯矩方程M(x) （3）分段建立挠度近似微分方程 分段的原则：一是弯矩方程M(x)不同；二是抗弯刚度EI有变化。
（4）积分、确定积分常数
应用积分法时需要注意的问题
A
P qa M qa 2 2 C B
a
a
C
yB 2 yB3
qa 2 a 2 qa a qa 3 2 2 EI EI EI qa 4 yB3 C a EI
q A
（3）最后结果
B
a
C
a
yB yB1 yB 2 y B 3
41qa 4 24 EI
B B1 B 2
7qa 3 6 EI
例7-7 用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1
I2
A
a
I1
B
P
P
a
M Pa
C
Pa3 Pa a 2 5Pa3 yC1 yB1 3EI 2 2 EI 2 6 EI 2
解： （1）刚化 I1，则：
yC 2
C
I2
A
a
I1
Pa 2 Pa a 3Pa3 B a 2 EI EI a 2 EI 2 2 2
（2）刚化 I2，则：
B
a B
yC 1 yC 2
P C
yC 3
I2
A
a
I1
B
a
所以：
Pa3 3EI1
yC 3 yC yC1 yC 2 yC 3
m
律 2 m 3、根据梁的约束（支座情 况）、变形相容条件，绘 制挠曲轴的大致形状。
上凸
M 图
下凸
弯曲变形/用积分法求梁的变形 F
注意：
（1）正弯矩使梁下凸，负弯矩
a Fa (+) (-) 3F 拐点
a
a
使梁上凸；
（2）在转角为零处，挠度出现 极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在
M 图
AC段 (0 x a)
Fb M 1 ( x) FA x x, L
EI y1
Fb x, L
Fb M 2 ( x) x F ( x a), L Fb EI y2 x F ( x a ), L
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI 1 EI 2 EI y1 x C1 , EI y2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
3
FN
A l/2 B l/2
F C
5F 1 FN 2 (1 24 I ) Al 2
yCF Fl 3 () 3EI
3、在基本静定梁上由叠加法求 yC 。 在F力单独作用下： 在 FN 力单独作用下：
yCFN
FN x 2 25Fl3 1 (3l x) ( )() I 6 EI 96 EI l x 1 24 2 2 Al
x 0, wA 0 （1） x a时，y1 y2
x L, yB 0
（3） （4）
（2）
由光滑连续条件： x a时，1 2 可解得：
Fb 2 C1 ( L b 2 ) C2 , 6L
D1 D2 0
弯曲变形/用积分法求梁的变形 则简支梁的转角方程和挠度方程为 AC段 (0 x a) Fb 1 ( x) [3 x 2 ( L2 b 2 )], 6 LEI Fb y1 ( x) [ x 3 ( L2 b 2 ) x], 6 LEI 4、求转角 BC段 (a x L)
材料力学
yC 2
所以
Fa3 3EI
Fa2l yc1 3EI
F
yC yC1 yC 2
C
A
B
a
yC 2
Fa2l Fa3 3EI 3EI Fa2 l a 3EI
例7-6 已知：q、EI,试求B截面的转角和挠度。 解： （1）将AC段刚化。
q A
a
C
a
q
C
B
qa 4 y B1 8EI
第七章 弯曲变形
弯曲变形/用积分法求梁的变形 例7-1悬臂梁受力如图所示。求 解： 取参考坐标系Axy。
yA 和 A 。
y A q B x x
1、列出梁的弯矩方程
1 2 L (0 x L) M ( x) qx 2 2、 d 2 y M ( x) 1 2 EI y qx dx2 EI z 2 积分一次： 1 3 EI y EI qx C （1） 6
yC yC1 yC 2 yC3
5ql 4 (ql)l 3 11ql 4 ql4 384EI 48EI 16EI 384EI
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 例7-5 ： 怎样用叠加法确定yC ? F 1）考虑AB段(BC段看作刚体) A
B l F A l F作用在支座上，不产生变形。 C
1 1 4 qL3 qL4 y ( qx x ) EI 24 6 8
弯曲变形/用积分法求梁的变形 将 x 0 代入得：
qL3 A EI A C ） （与C比较知： 6 EI qL4 yA EIyA D ） （与D比较知： 8EI
因此 常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)
弯矩最大处，挠度不一定 最大。
Fa
上凸
下凸
直线
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
例7-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
w
yC 1
w
yC 3
w
yC 2
w
yC 1
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
ql3 B1 , 24EI
5ql4 yC1 384EI
w
yC 3
Fb F ( x a) 2 2 2 2 2 ( x) [3x ( L b )] , 6 LEI 2