方程求根的迭代法(19-20)

xk
1.25 1.375 1.3125 1.3438
f (xk)的符号
+ +
4
5 6
1.3125
1.3125 1.3203
1.3438
1.3281 1.3281
1.3281
1.3203 1.3242
+
-
二分法程序流程图
输入
定义f (x)
a,b,
k=0
f (a) f (b)>0 否 否 m=(a+b)/2 |a-b|< 是 a=m 是 打印m, k 结束 f (a) f (b)=0
1、怎样选取迭代函数 2、怎样保证迭代收敛
3、怎样加速迭代收敛
例：求方程 f ( x) x 3 x 1 0 在x0 1.5附近的根x* . 解：（ ） 将方程改写为 x 3 x 1 1 由此建立迭代公式 xk 1 3 xk 1 ( k 0,1, 2) k 0 1 2 7 8 x k 1.5 1.35721 1.33086 1.32472 1.32472 迭代收敛。 （2） 若将方程改写为 x x 1
3
建立迭代公式 k 0 x k 1.5
3 xk 1 xk 1.
1 2.375
2 12.39
迭代不收敛。
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
| ' ( x) | 1
x x0 y y=g(x) x1 x* y=x y y=g(x) p0 x0 x*


p1 y=g(x)
k k k
x (x )
* *
迭代过程的几何表示
x ( x) :
yx y (x )
yx
Q1
交点即真根。
y
y ( x)
P 0
Q2
P*
P 1
P 2
O x* x2 x1 x0 x
例：求方程
的一个根
f ( x) x 10x 2 0
解： 10x x 2
f (x) = 0
等价变换
x (x)
把根的某个猜测值 x0 代入迭代函数得
x1 ( x0 )
x3 x12 = ( x21 ) 0
一般地：
xk 1 ( xk )
得到序列 xk } {
则若 xk }收敛就必收敛到 ( x) 0的根： { f
lim xk 1 lim ( xk ) ( lim xk )
简单迭代方法都收敛，且第一种所产生的迭代序列收敛较快。
4、迭代过程的局部收敛性
x* 在实际应用迭代法时，通常首先在根 的邻近考察。 x*邻近收敛，如果存在邻 称一种迭代过程在根 域 : x x* ，使迭代过程对于任意初值 x0 均收敛，这种在根的邻近所具有的收敛性被称为局部 收敛性。
求方程 f ( x) 0 的根也叫求函数 f (x) 的零点。 需要解决的几个问题：
1．根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？ 2．这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？ 3．根的精确化 定理1：设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0，
则方程 f (x) = 0 在[a, b]内至少有一实根x*。
| ' ( x) | 1
x
x1 y=x
Βιβλιοθήκη Baidu
p0 p1 x1 x0 x*
| ' ( x) | 1
| ' ( x) | 1
p1

x x0 x*

x
x1
3、压缩映像原理
定理1：如果 (x)满足下列条件 （1）当x[a, b]时，(x)[a, b]
（2）当任意x[a, b]，存在0< L< 1，使
迭代格式
等价变换
x lg( x 2)
xk 1 lg( xk 2)
x1 = 0.4771
x2 = 0.3939 … x6 = 0.3758 x7 =0.3758
取初始值x0 = 1，可逐次算得
迭代法的设计思想是：
f (x) = 0
等价变换
迭代函数
x (x)
问题：
？
xk 1 ( xk )
§4、0
二 分 法
二分法的基本思想是：
逐步将有根区间分半，通过判别函数值的符号， 进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从 而求出满足给定精度的根的近似值。
执行步骤
1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。
3．判断若f (x1) = 0，则x1即是根，否则检验：
' ( x) L 1
(6)
则方程x = (x)在[a, b]上有唯一的根x*,且对任意初值 x0[a, b]时，迭代序列xk+1= (xk) (k = 0, 1, …)收敛于x*。 且有下列误差估计
1 x xk xk 1 xk 1 L Lk x* xk x1 x0 1 L
在中学时，我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的 高次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法，也是精确 法。但在实际中，有许多方程问题无法求出公式解。例如超越方 程
tgx x 0
0.25 tgx 4.8889sin x 0
看起来很简单，却不容易求得精确解。至于解三次、四次代 数方程，尽管存在着求解公式，却不实用，而对一般的五次或五 次以上的代数方程，根本没有求根公式。另一方面，在实际应用 中，只要能获得具有预先给定的误差限内的近似值就可以了。因 此，需要引进能够达到一定精度要求的求方程近似值的方法。
由于：
lim
k
xk x*
所以，二分法可以求得任意精度的根。 对于任意给定的精度要求： 0
1 (b a) 由 k 2 得： k ln(b a) ln ln 2 | x* xk |
即：只要二分K次，就可得到指定精度的根。
例： 求方程在
解：
f ( x) x x 1 0 区间[1, 1.5]内的 实根。要求准确到小数点后第2位。
（1）x x 1 1 ( x)
' 1
1 1 1 且 ( x) 2 x 1 2 2.5 3.162 1 1 1 (2) x 1 2 ( x) 因 1.5 1 2 ( x) 1 2 x 2 1.5 1 1 1 ' 且 2 ( x) 2 2 x 1.5 2.25 根据定理，任取x0 [1.5, 2],由这两种等价方程所构造的
（1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x1]，
b1=x1, a1=a; （2）若f (x1)与f (a)同号，则知解位于区间[x1, b]， a1=x1, b1=b。 反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间： (a, b), (a1, b1), …, (ak, bk), …
是
是 是
f (a) =0
否
否 f(a)f(b)>0 否 b=m
打印b, k
结束
打印a, k
k=K+1
§4、1
迭代过程的收敛性
1、迭代法的设计思想 迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固 定公式－所谓迭代公式反复校正根的近似值，使之逐 步精确化，直至满足精度要求的结果。 迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根的 某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代初值逐步 加工成满足精度要求的根。 迭代函数 迭代法的设计思想是：
1 xk 1 xk 1 L
所以：
而：
x * xk
xk 1 xk ( xk ) ( xk 1 ) ' ( ) xk xk 1 L xk xk 1 L2 xk 1 xk 2 Lk x1 x0
所以：
1 x xk x1 x0 1 L
| x* xk | 1 (b a) k 2
得：
1 ln(0.5) ln 102 ln(b a) ln 2 k ln 2 ln 2
解得k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。
k
0 1 2 3
ak
1 1.25 1.25 1.3125
bk
1.5 1.5 1.375 1.375
*
x * xk 据（7）式，只要 xk 1 xk 充分小，就可以保证
足够小。因此可用条件
xk 1 xk
来控制迭代过程的结束。
x 3 3x 1 0 在[0, 0.5]内的根，精确到10-5。 例：求方程
解：将方程变形 x 1 ( x 3
3
1) ( x )
4、当
5、则
bk 1 ak 1
xk 1 1 ( a k bk ) 2
时 即为根的近似
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .
①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
Y
y f (x)
x1 ab 2
x*
0 a
x2
b1
b
x
a1
Y
0
a
x*
b x
误差估计：
| x* xk | 1 (b a) k 2
x7 = (x6) =0.3472963
6 | 因为 | x7 x6 || 0.3472963 0.3472961 10
取近似根为x* = 0.347296
例：用简单迭代法求方程 f ( x) x 2 x 1 0 的根。 解：因 f (1.5) 0.25 0, f (2) 1 0 [1.5, 2] 为有根区间。 因 1.5 1.5 1 1 ( x) 2 1 2
重庆大学数理学院
数值分析
第十讲
主讲教师： 谭 宏
第四章
1．教学内容：
非线性方程求根
二分法、迭代法的一般原理 、NEWTON迭代法
2．重点难点：
重点：牛顿迭代法及局部收敛性 难点：迭代法及收敛性定理
3．教学目标：
掌握迭代法的一般原理、对给出的方程球根问题，能 利用一般迭代法或者牛顿迭代法进行数值求解
定理2 设 x 在 x x 的根 x*邻近有连续导数，且
成立
' x* 1
则迭代过程 xk 1 xk 在 x*邻近具有局部收
敛性。
5、迭代过程的收敛速度
定义：设由某方法确定的序列{xk}收敛于方程的根x*，
如果存在正实数p，使得
lim
k
*
(7)
(8)
证：设x*是方程的根，即x*=
其中 在x*与xk之间， 由条件（2）得
(x*)，由微分中值定理
x* xk 1 ( x* ) ( xk ) ' ( )(x* xk )
x * xk 1 ( x * ) ( xk ) ' ( ) x * xk L x * xk L2 x * xk 1 Lk 1 x * x0
2 因为，在[0, 0.5]内 ' ( x) x 0 为增函数，所以
L max ' ( x) 0.52 0.25 1
满足收敛条件，取x0 = 0.25，算得
x1 = (0.25) = 0.3385416 x3 = (x2) =0.3471725 x5 = (x4) =0.3472945 x2 = (x1) = 0.3462668 x4 = (x3) =0.3472814 x6 = (x5) =0.3472961
x * xk 1 x xk
3
用二分法，这里a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0， f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x0 = 1.25将区间二等分， 由于f (x0)< 0，即f (x0)与f (a)同号，故所求的根必在x0 的右侧，这里应令a1 = x0 = 1.25，b1 = b = 1.5，而得到 新的有根区间（a1, b1）。 对区间（a1, b1）再用中点x1 = 1.375二分，并进行 根的隔离，重复上述步骤，如此反复二分下去。 我们预先估计一下二分的次数：按误差估计式
因为0< L< 1，由知
x * x k 1 0
lim Lk 1 0
k
(k )
lim x k x * 所以 k
即 xk+1 = (xk)收敛 因为：
| xk 1 xk || x* xk | | x* xk 1 | | x * xk | L | x * xk | (1 L) | x* xk |