数据结构(一)绪论

1.3 算法和算法分析 1.3.1 算法：
是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列，其中 每一条指令表示一个或多个操作。 算法具有以下五个特性： （1）有穷性 一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每 一步都在有穷时间内完成。 （2）确定性 算法中每一条指令必须有确切的含义。不存在二义 性。 （3）可行性 一个算法是可行的。即算法描述的操作都是可以通 过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。 （4）输入 一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特 定的对象集合。 （5）输出 一个算法有一个或多个输出，这些输出是同输入有着 某些特定关系的量。
void mult(int a[], int b[], int c[] ) { for (i=1; i<=n; ++i) for (j=1; j<=n; ++j) { c[i][j] = 0; for (k=1; k<=n; ++k) c[i][j] += a[i][k]*b[k][j]; } //for } //mult 基本操作: 乘法操作
定义：如果f(n)是正整数n的一个函数，若存在两个正常数c和n0， 对于所有的n≥n0，有︱f(n) ︳≤c｜g(n) |，则记作 f(n)=O(g(n)) 例：f(x)=anxn+an-1xn-1+…..+a1x+a0，其中an不等0，n为正整数， 则f(x)=O(xn) 证明： |f(x)|=| anxn+an-1xn-1+…..+a1x+a0 |≦| anxn |+| an-1xn-1|+…+| a1x |+| a0 | =|an|*|xn|+|an-1|*|xn-1|+…+|a1|*|x1|+|a0|*|x0| 当x>1=n0，n为正整数时，xn+1>xn，所以： |an|*|xn|+|an-1|*|xn-1|+…+|a1|*|x1|+|a0|*|x0| ≤ |an|*|xn|+|an-1|*|xn|+…+|a1|*|xn|+|a0|*|xn| =(|an|+|an-1|+…+|a1|+|a0|)|xn|=c|xn| 其中：n0=1, c= |an|+|an-1|+…+|a1|+|a0|, g(n)=xn
数据类型：在一种程序设计语言中，变量所具有的数 据种类。 例1、 在FORTRAN语言中，变量的数据类型有整型、实 型、和复数型 例2、在C++语言中 数据类型：基本类型和构造类型 基本类型：整型、浮点型、字符型 构造类型：数组、结构、联合、指针、枚举型、自定 义 数据对象：某种数据类型元素的集合。 例3、整数的数据对象是,…-3，-2，-1，0，1，2，3，…英文字符类型的数据对象是{A，B，C，D，E，F，…-
之间存在的关系，这就是数据结构这门课所要研究的问题。
1.1 什么是数据结构 众所周知，计算机的程序是对信息进行处理。在大 多数情况下，这些信息并不是没有组织的，信息（数 据）之间往往具有重要的结构关系，这就是数据结构 的内容。什么是数据结构呢？ 例子： 例1、电话号码查询系统 设有一个电话号码薄，它记录了N个人的名字和其 相应的电话号码，假定按如下形式安排： (a1，b1)(a2，b2)…(an，bn) 其中(ai，bi)(i=1，2…n) 分别表示某人的名字和对应的 电话号码。要求设计一个算法，当给定任何一个人的 名字时，该算法能够打印出此人的电话号码，如果该 电话簿中根本就没有这个人，则该算法也能够报告没 有这个人的信息。
数据结构含义： 就是研究数据的逻辑结构和物理结构以及它们 之间相互关系，并对这种结构定义相应的运算，而 且确保经过这些运算后所得到的新结构仍然是原来 的结构类型。
1.2 有关概念和术语 数据: 所有能被输入到计算机中，且能被计算机处 理的符号的集合。 是计算机操作的对象的总称。 是计算机处理的信息的某种特定的符号表示 形式。
注意：时间与空间往往是对矛盾，要综合考虑。
例6：有的情况下，算法中基本操作重复执行的次数还随问题
的输入数据集不同而 不同。例如： void bubble-sort(int a[]，int n) for(i=n-1;i>0 ;i--) for(j=0;j<i;++j) if (a[j]>a[j+1]) a*j+ ←→a*j+1+; } 时间： 最好情况：0次 最坏情况：每次都换， Ｏ(n2)
一个特定算法的“运行工作量”
的大小，只依赖于问题的规模
（通常用整数量n表示），或者说， 它是问题规模的函数。
假如，随着问题规模 n 的增长， 算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长 率相同，则可记作：
T (n) = O(f(n))
称T(n)为算法的(渐近)时间复杂度。
如何估算 算法的时间复杂度？
例４ for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) {++x;s+=x;} 语句频度为：n2 其时间复杂度为：O(n2) 即时间复杂度为平方阶。
例５ for(i=0;i<=n-1;++i) for(j=0;j<=i;++j) a[i][j]=0; + i=0: 赋值１次 i=1: 赋值 2 次 i=2: 赋值3次 …………….. i=n-1:赋值n次 1+2+3+…+n=(1+n)n/2=n2/2+n/2
一个数据元素可由若干个数据项组成。 数据项是数据的不可分割的最小单位。 数据对象(Data Object)：是性质相同的数据 元素的集合。是数据的一个子集。
数据结构(Data Structure)：是相互之间存在
一种或多种特定关系的数据元素的集合。
数据在计算机中的表示称为数据的物理 结构，又称为存储结构。 数据对象可以是有限的，也可以是无限的。 数据结构不同于数据类型，也不同于数据对 象，它不仅要描述数据类型的数据对象，而且 要描述数据对象各元素之间的相互关系。
数 据 结 构
第一章 绪 论
1.1 什么是数据结构 1.2 有关概念和术语 1.3 算法和算法分析 1.3.1 算法 1.3.2 算法设计的要求 1.3.3 算法效率的度量 1.3.4 算法的存储空间的需求
第一章
绪
论
计算机学科一直处于高速发展中,而且这种发展速度还会持续。
计算机科学已经难以完全覆盖学科新的发展，因此扩展后的 学科称为计算学科。
50nlog2n的值。
设n 是描述问题规模的非负整数，下面程序片段 的时间复杂度是 x=2 while (x<n/2) x=2*x; A.O(log2n) B.O(n) C.O(nlog2n) D.O(n2) (2011年考题、2分）
c．程序对于精心选择的、典型、苛刻且 带有刁难性的几组输入数据能够得出满足 要求的结果；
d．程序对于一切合法的输入数据都能得出 满足要求的结果；
通常以第 c 层意义的正确性作为衡
量一个算法是否合格的标准。
2. 可读性
算法主要是为了人的阅读与交流，
其次才是为计算机执行，因此算法应该易 于人的理解；另一方面，晦涩难读的程序
算法 = 控制结构 + 原操作 （固有数据类型的操作）
Baidu Nhomakorabea
算法的执行时间 =
∑原操作(i)的执行次数×原操作(i)的执行时间
算法的执行时间 与 原操作执行次数之和 成正比
从算法中选取一种对于所研究的
问题来说是 基本操作 的原操作，以
该基本操作 在算法中重复执行的次 数 作为算法运行时间的衡量准则。
例1
数据元素:
是数据（集合）中的一个“个体” 是数据结构中讨论的基本单位
数据结构主要指逻辑结构和物理结构 数据之间的相互关系称为逻辑结构。通常 分为四类基本结构： 一、集合 结构中的数据元素除了同属于一 种类型外，别无其它关系。 二、线性结构 结构中的数据元素之间存在一 对一的关系。 三、树型结构 结构中的数据元素之间存在一 对多的关系。 四、图状结构或网状结构 结构中的数据元素 之间存在多对多的关系。
时间复杂度: O(n3)
例２ {++x;s=0;} 将x自增看成是基本操作，则语句频度为1 ，即时间复杂度为 Ｏ(1) 如果将s=0也看成是基本操作，则语句频度为1，其时间复杂度 仍为Ｏ(1)，即常量阶。
例３ for(i=1;i<=n;++i) {++x;s+=x;} 语句频度为：n 其时间复杂度为：O(n) 即时间复杂度为线性阶。
易于隐藏较多错误而难以调试。
3．健壮性
当输入的数据非法时，算法应当恰当 地作出反映或进行相应处理，而不是产 生莫名奇妙的输出结果。并且，处理出 错的方法不应是中断程序的执行，而应
是返回一个表示错误或错误性质的值，
以便在更高的抽象层次上进行处理。
4．高效率与低存储量需求
通常，效率指的是算法执行时间； 存储量指的是算法执行过程中所需的
最大存储空间，两者都与问题的规模
有关。
1.3.3 算法效率的度量
通常有两种衡量算法效率的方法:
事后统计法
缺点：1．必须执行程序 2．其它因素掩盖算法本质
事前分析估算法
和算法执行时间相关的因素：
1．算法选用的策略 2．问题的规模
3．编写程序的语言
4．编译程序产生的机器代码的质量
5．计算机执行指令的速度
－最坏时间复杂性
空间：一个数据交换的辅助空间--算法原地工作。
例7： 递归程序的分析
int fact( int n) { if(n==1) return 1; else return n*fact(n-1); }
f(n)=c+f(n-1) =c+(c+f(n-2)) =2c+f(n-2) ……… =(n-1)c+f(1) =(n-1)c+c0
一个算法时间为O(1)的算法，它的基本运算执行的 次数是固定的。因此，总的时间由一个常数（即零次 多项式）来限界。而一个时间为O(n2)的算法则由一个 二次多项式来限界。
以下六种计算算法时间的多项式是最常用的。其 关系为： O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3) 指数时间的关系为： O(2n)<O(n!)<O(nn) 当n取得很大时，指数时间算法和多项式时间算法 在所需时间上非常悬殊。
1.3.4 算法的存储空间的需求 算法的空间复杂度定义为: S(n) = O(g(n)) 表示随着问题规模 n 的增大，算法运行所
需存储量的增长率与 g(n) 的增长率相同。
算法的存储量包括:
1．输入数据所占空间 2．程序本身所占空间 3．辅助变量所占空间
若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算 法无关，则只需要分析除输入和程序之外的辅助变 量所占额外空间。 若所需额外空间相对于输入数据量来说是常数，则 称此算法为原地工作。 若所需存储量依赖于特定的输入，则通常按最坏情 况考虑。
求整数n（n>=0）阶乘的算法如下，其时间复杂度， int fact（int n） {if （n<=1） return 1； return n*fact（n-1）； }
A ) O(log2 n) B) O(n)
C)
O(n log2 n)
D)
O(n2 )
2012年研究生入学试题（2分）
作业：
１. 计算时间复杂度 sum=1; for(i=0;sum<n;i++) sum+=i; 2.设给定若干n值，比较两函数n2和50nlog2n的增长 趋势，并确定在什么范围内，函数n2的值大于
1.3.2 算法设计的要求
设计算法时，通常应考虑达到以下目标：
1、正确性 2、可读性
3、健壮性
4、高效率与低存储量需求
1．正确性
首先，算法应当满足以特定的“规格说 明”方式给出的需求。 其次，对算法是否“正确”的理解可以 有以下四个层次： a．程序中不含语法错误；
b．程序对于几组输入数据能够得出 满足要求的结果；
包括：计算机科学、计算机工程、软件工程、信息系统
关键问题：利用计算机进行信息表示和处理的涉及：
• •
信息的表示 信息的处理
而信息的表示和组织又直接关系到处理信息的程序的效率。
随着计算机的普及，信息量的增加，信息范围的拓宽，使许多系
统程序和应用程序的规模很大，结构又相当复杂。因此，为了编 写出一个“好”的程序，必须分析待处理的对象的特征及各对象