深孔钻应力计算的有限元分析

深孔钻应力计算的有限元分析
摘要：本文介绍了有限元法在深孔钻应力计算中的应用，用有限元法分析了钻杆螺旋槽区域的应力及扭转状态，给出了有限元法计算的公式，为计算机计算提供了理论依据，并为结构的优化设计以及切削条件的改善提供了依据。

关键词：有限元法；应力；钻头
1 引言
随着生产工艺的发展，各个行业需要的深钻孔加工数量日益增多，其质量要求也越来越高。

在实际生产中，钻头是深孔钻削工艺系统中最薄弱的环节，严重影响着钻孔的质量和生产率。

实践表明，在加工深钻孔时，存在钻头易折断、易偏差等困难，特别是在钻削韧性好的塑性材料时，切屑成连续带状，而钻头的螺旋槽尺寸较小，孔又深，所以切屑无法排出，只能堆积和滞塞在钻头的螺旋槽内，很容易导致孔表面出现划伤，甚至钻头的损坏。

为了改善深孔钻削的切削条件，可采用机械或动力的断屑装置，并采用自适应深孔钻削如枪钻、内排屑深孔钻、喷吸钻等措施，但是由于钻头螺旋槽的形状及截面廓形的影响，在理论上估算钻头应力状态以及变形情况是非常复杂的，给设计结构的优化以及切削条件的改善很大的困难。

本文尝试采用有限元法建立数学模型，力求能够使该问题变得简单，在误差允许的范围内，能够比较简单的、有效的计算钻头应力状态。

从而为钻头结构的优化设计、改良措施提供更多的依据。

划分钻头区域单元是使用有限元法的关键，并能够使得计算达到要求的精度。

划分的单元越小，计算的结果就越准确。

本文中的单元划分能够达到精度的要求，并且单元的划分又能够有效减少计算量。

通过有限元单元划分，具体计算由计算机来完成，而计算的工作量的大小与计算机程序有着很大的关系，可以肯定的是，与理论估计的工作量相比，已经大大地减少了计算工作量，尤其是人的工作量。

下面主要介绍钻头有限元分析的模型，以及钻头螺旋槽单元的划分、应力的计算、扭矩及扭转刚度计算公式的模型建立。

2 有限元模型建立与分析
2.1 单元划分
普通深孔钻钻头结构如图1所示，本文有限元分析主要是针对钻头杆部，分析其扭转应力状态，因此将其视为二维平面问题解算。

由于钻头横截面廓形具有对称性，因此只需分析其四分之一的横截面即可。

钻杆螺旋槽横截面如图2所示，将其划分为有限元三角形单元图，横截面四分之一区域的有限元三角形单元图如图3所示。

图1 普通深孔钻钻头结构图
图2 钻杆横截面
图3 钻杆有限元划分1/4部分
2.2 应力函数的确定
设已知钻头相对转角为θ，材料剪切模量为G，钻头横截面尺寸外直径D、内直径d、螺旋槽距内圆的距离t为常量，给定转角的扭矩M（mm），横截面切向应力τzx（MPa）、τzy（MPa）。

其中τzx（MPa）、τzy（MPa）是未知的。

为了计算应力τzx和τzy，应用薄膜比拟法，引入应力函数∅，钻杆横截面作为弹性面处理，则钻杆任意截面的切向应力τzx和τzy可按式（1）计算：
τzx=∂φ
∂y τzy=−∂φ
∂x
（1）
由切应力环量定理可知，应力函数微分方程有式（2）形式：
∂2φ∂x2+∂2φ
∂y2
+2Gθ=0（2）
该问题的约束条件，即应力函数∅应满足以下条件：对外廓形φ=0；对内
廓形φ=常数。

对任意一个三角有限元单元，应力函数是一个线性函数，且有：
φ=α1+α2x+α3y（3）
式中：α
1、
α2、α3为系数。

图3所示中节点符号用逆时针表示，因为在相反情况下，有限元单元的面积将是负的。

对节点i、j、m的任意一个有限元单元均符合由（3）变形所得的下式：φ=N i∅i+N j∅j+N m∅m=N∅（4）
式中：N i、N j、N m和∅i、∅j、∅m分别是对节点i、j、m引入的形函数和应力函数；N和∅分别是节点形函数行向量和节点应力函数列向量。

形函数N的确定任意一个节点i为例，来进行研究：
N i=a i+b i x i+c i y i/(2A i)（5）
式中：a i=x i y m−x m y j；b i=y i−y m；c i=x m−x j；A i=1
21x i y i
1x j y j
1x m y m
为
ijm三角形有限元单元的面积；x i，y i、x j，y j、x m，y m分别为节点i、j、m的坐标。

同理可得N j 、N m 的表达式：
N j = a j +b j x j +c j y j /(2A j ) （6）
N m = a m +b m x m +c m y m /(2A m ) （7）
总函数为每个有限元单元的集合，因此，总函数的表达式为：
φ= φ q Q q=1 （8）
式中：φ q 为有限元单元q 的函数值；Q 为方程组中有限元单元总数。

利用有限元法分解问题时，需使得与公式（2）联系的某泛函X 最小化，因此需满足下列关系式：
∂X
∂ ∅ = K q ∅ + f q Q q=1=0 （9） 式中： K q 为有限元单元q 的刚度矩阵；
f q 为有限元单元q 的载荷向量。

则有刚度总矩阵为：
K = K
q Q q=1 （10） 载荷总矢量为：
F =− f
q Q q=1 （11） 由此可以得到如下关系式：
K ∅ = F （12）
首先确定所研究区域的有限元的 K 和 F ，然后按公式（10）和（11）求出刚度总矩阵和载荷总矢量，考虑约束条件建立方程组（12），解出相对的 ∅ ，最后可以求解出τzx 和τzy 。

考虑第一个约束条件 φ=0 建立方程方程组（12）。

这些元素属于分布在外廓形截面的节点（见图2有限元的1、5、9、15、21、27、30、31、32、33、34点）。

考虑第二个约束条件 φ=常数 建立方程组（12）。

必须按孔的廓形确定函数φ的值，为此孔截面用有限元补充划分，并求出整个界面（由第一个约束条件φ=0）的节点上和沿内廓形分布的节点上平均函数值，然后重新建立相对φ方程组，在约束条件已知的条件下解方程组。

2.3 扭矩计算公式的确立
按公式（1）研究应力τzx 和τzy ，在一个有限元单元范围内，可以认为应
力是不变的，则有：
∂φ∂x ，∂φ
∂y
T
=B q∅（13）
式中：B q为形函数微分所得到的矩阵。

于是可得有限元单元q所承受的扭矩为：
M q=φq dA
A q =2N q∅dA
A q
=2A q∅T×N1q，N2q，N3q，…，N n q T
（14）
式中：A q为有限元单元q的面积；n为划分网上节点总数。

例如，图2上考虑有限元任何点的形函数和等于1，则第一个有限元单元所承受的扭矩为：
M1=2A1∅T×N11，N21，N341T
=2
3
A1∅1+∅2+∅5（15）
钻杆（不考虑孔）横截面积的四分之一所承受的扭矩为：
M=φq dA
A q =M q
Q
q=1
Q
q=1
（16）整个横截面所承受的总扭矩（考虑孔）为：
M c=4M+0.5πd2∅
孔
（17）
式中：∅
孔
为孔范围内应力函数值。

2.4 扭转刚度的计算
总扭矩M c确定之后，就可以得出钻杆固定截面的扭转刚度为：
C=M c
θ
=GI k（18）
式中：I k为截面扭转刚度的几何特性。

3 有限元计算实例
设有一深孔钻，钻杆材料为20Cr，D=7.2mm，d=2mm，t=1.25mm，G= 8000MPa，θ= 0.017rad/m，n= 130r/min，用文中所述有限元方法计算可以得到M c=196Nmm，C=11.26Nm2。

这时某一个有限元所承受的最大切向应力τzx=0.0125MPa，τzy=5.8MPa。

而在研究钻杆扭矩时，按上述尺寸的横截面，经理论计算可以得到C，=12.12Nm2,而用有限元法计算所得到的值仅比其小7.1%，在误差允许的范
围内，因此，该有限元法分析能够达到要求的分析精度，并能够大大减少计算工作量。

4 结论
利用有限元法，可以复杂廓形截面的应力状态，计算的精确程度与有限元网格单元的划分有关，网格划分的越细，计算精度越高。

计算可以应用计算机计算，大大减少了计算的工作量。

该方法的分析结果可以为钻头的优化设计和条件改善提供依据，从而有效提高钻孔的质量以及减少钻头的损坏。

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