数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第四单元

xn+1, n ∈ N,
lim
n→∞
xn
=
a.
sup E = a,
,
ε1 = 1, ∃x1 ∈ E a − ε1 < x1 < a
1
ε2 = min
, 2
a
−
x1
> 0, ∃x2 ∈, E
x1 < x2,
a − ε2 < x2 < a,
5
1
ε3 = ···
min ··
·
, 3
a
−
x2
> 0, ∃x3 ∈ E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1(1) 1.3(9)
1.2(5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
=1
inf
(−1)n+1
1 1 − 3n
n = 1, 2, · · ·
= −1.
, 1 ∀n ∈ N
(−1)n+1
1 1 − 3n
≤ 1;
2 ∀ε, ∃n0 = 2k − 1 ∈ N,
1 − ε < (−1)2k
1 1 − 32k−1
1
1
1
k> 2
1 + log3 ε
n0 > log3 ε
.
1 = 1 − 32k−1
6.1(125) 6.3(142)
6.2(136) 6.4(148)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.1(170) 7.3(179)
7.2(172) 7.4(187)
x→b−
4
∀ε, ∃x0 ∈ (a, b), c − ε < f (x0) ≤ c.
∃δ = b − x0 > 0, ∀x : b − δ < x < b ∀x : x0 < x < b, c−ε < f (x0) ≤ f (x) ≤ c
lim f (x) = c.
x→b−
2.4 14
17
.
,
c
,
f (x) [a, b]
m, ∃x0 ∈ [a, b], ∀x ∈
m ,∃r = > 0,∀x ∈ [a, b], f (x) > r.
2
f (y)
,∀y ∈ [a, b],
,
2
f (y)
∃δy, ∀x ∈ (y − δy, y + δy) ∩ [a, b],
f (x) =
. 2
,
{(y − δy, y + δy)|y ∈ [a, b]}
.
a+b
sup A > inf B, b < a. b <
< a.
2
a+b
a+b
, 2 < a = sup A ∃x0 ∈ A, 2 < x0;
a+b
a+b
,b = inf B <
2 , ∃y0 ∈ B
y0 <
. 2
a+b ,∃x0 ∈ A, ∃y0 ∈ B, y0 < 2 < x0,
8. :
f (x) (a, b)
13.1( )(430)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
2
1.
(
(4)
(−1)n+1
1 1 − 3n
n = 1, 2, · · ·
.
:
4.1
(
),
:
136 )
sup
(−1)n+1
1 1 − 3n
n = 1, 2, · · ·
, ∀x ∈ (a, b),
, sup A ≤ inf B. f (x) ≤ M ( M
), ∃c ≤
M, lim f (x) = c.
x→b−
{f (x)|x ∈ (a, b)}
.
2 {f (x)|x ∈ (a, b)}
,
sup{f (x)|x ∈ (a, b)} = c ≤ M
c
f (x) b
( lim f (x) = c).
,xn
ξ x1 ξ x1, x2
ξ x1, x2, · · · , xn−1,
,
E
{xn|n ∈ N}, ∀i, j ∈ N i = j xi = xj. {xn}
, lim = ξ. ,∀ε > 0,
xn
11. : E
ξ ε U (ξ, ε)
E
, sup E = a, a ∈ E
xn, ξ E
.
xn ∈ E, xn <
ε2 = min
1
, 2
|x1
−
ξ|
> 0∃x2 ∈ E
x2 ∈ U˚(ξ, ε2).
ε3 = min ··· ···
1
, 3
|x2
−
ξ|
> 0∃x3 ∈ E
x3 ∈ U˚(ξ, ε2).
εn = min ··· ···
1
, n
|xn−1−ξ
|
> 0∃xn ∈ E
xn ∈ U˚(ξ, εn).
,x2 ,x3
inf(−A) = −a.
6. −b
sup(−A) = −b.
:
E
,
E
,
2
25
.
E
,
E
5 , inf E = b, =8E7ke(..
. ,.
.
2 −E
, sup(−E) =
7. : A B
, ∀x ∈ A ∀y ∈ B, x ≤ y, sup A ≤ inf B.
sup A = a, inf B = b.
sup(A + B) = sup A + sup B.
sup A = a sup B = b.
,
1 ∀x ∈ A, x ≤ a; ∀y ∈ B, y ≤ b, ∀(x + y) ∈ A + B, x + y ≤ a + b;
ε
ε
ε
ε
εε
2
∀ 2
>
0, ∃x0
∈
A,
a − 2 < x0;∀ 2 > 0, ∃y0 ∈ B,
1 32k < ε,
inf
(−1)n+1
1 1 − 3n
n = 1, 2, · · ·
= −1.
(5) {x|x x
, x2 < 2}.
√
√Hale Waihona Puke Baidu
√
, x2 < 2 ⇐⇒ |x < | 2 ⇐⇒ − 2 < x < 2.
,1 2√∀ε > 0, 2} = 2.
,inf {x|x
sup{x|x
√ , x2 < 2} = 2.
√ |x0| < ε).
inf{x2| − 1 < x ≤ 2} = 0.
:
sup{sin x|x ∈ (0, 2π]} = 1, inf{sin x|x ∈ (0, 2π]} = −1.
, 1 ∀x ∈ (0, 2π], sin x ≤ 1;
π
2 ∀ε > 0, ∃x0 ∈
0, 2
⊂ (0, 2π),
11.2(375) 11.4(389)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
12.2(400)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
1 32k−1 < ε,
sup
(−1)n+1
1 1 − 3n
n = 1, 2, · · ·
= 1.
1 ∀n ∈ N
−1 ≤ (−1)n+1
1 1 − 3n
;
2 ∀ε > 0, ∃n0 = 2k ∈ N,
(−1)2k+1
1 1 − 32k
1
1
1
k> 2
1 + log3 ε
n0 > log3 ε
.
1 = 32k − 1 < −1 + ε
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2(194) 8.4(210)
8.3(204) 8.5(232)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
1 − ε < sin x0(
sup{sin x|x ∈ (0, 2π]} = 1.
arcsin(1 − ε) < x0).
,
inf{sin x|x ∈ (0, 2π]} = −1.
5. : A
,sup A = a( inf A = b).
sup A = a,
1 ∀x ∈ A x ≤ a; 2 ∀ε > 0∃x0 ∈ A, a − ε < x0. , 1 ∀(−x) ∈ −A, −x0 < −a + .
.
|f (x) − c| < ε. ,
9. :
f (x) [a, b] , ∀x ∈ [a, b], f (x) > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ [a, b], f (x) > r.
§3.2 5(
).
f (x) [a, b] ,.
5
[a, b], f (x) > f (x0) = m.
∀x ∈ [a, b], f (x) > 0, f (x0) = m > 0. .
[a, b].
, n(
)
:
{(yi − δyi, y + δyi)|yi ∈ [a, b], i = 1, 2, · · · , n}
[a, b].∀x ∈ (yi − δyi, y + δyi) ∩ [a, b],
f (x) = f (yi), i = 1, 2, · · · , n. 2
m = min{f (yi)|i = 1, 2, · · · , n} > 0.
m
,∀y ∈ [a, b], ∃yk ∈ [a, b],
x ∈ (yk − δyk , y + δyk ),
f (x) > . 2
m , r = > 0, ∀x ∈ [a, b], f (x) > r.
2
10. :ξ E
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃x ∈ E, x ∈ U˚(ξ, ε).
=⇒ .
⇐= ε1 = 1, ∃x1 ∈ E x1 ∈ U˚(ξ, 1). ,x1 = ξ,
4.1(75)
4.2(83)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1( 95 ) 5.3(109) 5.5(114)
5.2(100) 5.4(113)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
inf {x|x
√ , x2 < 2} = − 2.
√
x, x2 < 2, x ≤ 2; √
√
,
x0, 2−ε < x0 < 2.
√ , x2 < 2} = − 2.
: ,sup{x|x
, x2 <
3
(6) {x2| − 1 < x ≤ 2}. : sup{x2| − 1 < x ≤ 2} = 4, inf{x2| − 1 < x ≤ 2} = 0.
x2 < x3,
a − ε3 < x3 < a,
1
εn = ···
min ···
, n
a
−
xn−1
> 0, ∃xn ∈, E
xn−1 < xn,
a − εn < xn < a,
,
{xn}, xn ∈ E, xn < xn+1, ∀n ∈ N.
,
lim
n→∞
xn
=
a.
12. : A B
,A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B}
9.1( )(244) 9.1( )(266) 9.2( )(290) 9.4(309)
9.1( )(252) 9.2( )(273) 9.3(298)
1
10.1(323) 10.3(334)
11.1(366) 11.3(378)
12.1(393) 12.3(406)
13.1( )(425) 13.2(493)
, 1 ∀x : −1 < x ≤ 2, x2 ≤ 4;
2 ∀ε > 0(ε < 4), ∃x0 : −1 ≤ 2, ε − 4 < x20( 2} = 4,
√ ε − 4 < x0).
,sup{x2| − 1 < x ≤
1 ∀x : −1 < x ≤ 2, 0 ≤ x2;
2 ∀ε > 0, ∃x0 : −1 ≤ 2, x20 < 0 + ε( (8) {sin x|x ∈ (0, 2π]}
2.1(13) 2.3(36) 2.5(51)
2.2(21) 2.4(40)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1(57)
3.2(64)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
10.2(132) 10.4(352)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366