第三章价格变化对消费者的配置效应与福利分析
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替代效应 收入效应
斯卢茨基方程
证明
需求函数斜率正负及大小的判断
• • • • 普通商品（ordinary goods） 正常商品（normal goods） 低档商品(inferal goods) 吉芬商品(Giffen goods)
思考题：马歇尔需求曲线与 希克斯需求曲线关系？拟线性效用函数？
将其代入上式，可得： dxi ( p, pw) hi ( p, u ) xi ( p, pw) (w j x j ) dp j p j m
结论
当i j , 且为正常商品， 如果w j x j (即是该商品的净消费者)，则价格上涨， 对该商品需求是下降的。 如果w j x j (即是该商品的净拥有者)，则结果是不确定的。 至少引起的对该商品的需求的减少程度是较小的，甚至可能会增加。 即财富的收入效应。
U0 (p1,m) X1
（p1',m）
x1 ( p1 ' , m)
x1 ( p1 , m)
四个重要恒等式
e p, e v p, m m v p, e p, u u x p, m h p, v p, m h p, u x p, e p, u
意义：
• 可以利用恒等式关系，已知某一函数，求另一函数。 • 例如： 可以从间接效用函数推导出支出函数、希克斯需求函数； 可以从支出函数推导出间接效用函数、马歇尔需求函数。
c
B
A
m
m x1
EV的推导
EV
0 p1
p1 '
h( p, u ' )dp
证明
图示
p
p10
h1 ( p, u0 )
h1 ( p, u' )
h1 ( p10 , u0 ) x1 ( p10 , m)
h1 ( p1' , u' ) x1 ( p1' , m)
p1'
x( p, m)
x1
– 补偿性变化（CV,comprehension variation） – 等值性变化（EV,equivilent variation）
衡量消费者福利变化
P1
净福利损失
p1 '
消费者剩余减少
p10
x1 ( p, m)
X1
补偿性变化（CV）
• 假设考虑收入m不变，p1下降的情形。
x1商品价格从p10下降到p1' , 如果在u0水平上按照p1' 来消费，与原来的 m收入相比，
定量税和所得税比较
• 定量税
' p1 0 p1
h( p1 , u ' )dp1
• 所得税：T
图示
P1
h1 ( p, u' )
h1 ( p, u0 )
p1 ' p10 t
EV
p10
T X1
福利分析方法的应用
• 环境经济学:（北大学报（自然科学版），2005年第3期）
– 衡量公共物品的改善或提供带来的福利增长
目标函数: M axU x px pw s.t
x p, pw
p变动对消费需求有什么影响？
可对第i种商品的xi ( p, pw)求关于p j的一阶导数。
dxi ( p, pw) xi ( p, pw) dp j p j xi ( p, pw) ( pw) m p j
• 当价格上升时，消费者福利减少，福利变化可衡量为：
– CV（-）:若保持原效用，在新价格下需多花钱，只有补偿相应数 量才能达到原效用； – EV（-）:若实现新效用，在原价格下需花较少的钱，而价格变化 后却花较多的钱。 – 绝对值越大，表明消费者越不利。
福利分析方法的应用
• 增值税与营业税的福利效应(平新乔，200909， 经济研究) • 定量税与所得税的福利分析
效用最大化与支出最小化的关系(对偶关系)
• 1.在收入水平为m的情况下求得普通需求函数就是效用为 v(p,m)时求得的 • 希克斯需求函数h(p,u)； • 2.在效用水平为u的条件下求得的希克斯需求函数就是收 入为e(p,u)时求得的 • 普通需求函数x(p,m)。 • 即当m=e(p,u)，u=v(p,m)时，效用最大化的解和支出最小 化的解相同。
h
总效应
替代效应，<0
直接和间接收入效应，>0
最终变动方向不确定
w
L l
弹性形式的Slusky方程
x1 p, m h1 p, u x1 p, m x1 p1 p1 m u为常数
p1 在等式两边均乘以 x1
x1 p, m p1 m x1 p1 x1 p, m h1 p, u p1 x1 x1 p1 p1 x1 m x1 x1 m u为常数
例：
假设某消费者的间接效 用函数为： m v( p1 , p2 , m) a 1 a ,0 a 1 p1 p2 求该消费者的希克斯需 求函数h1 , h2
练习题
已知支出函数为： e 2 up1 p2
求：间接效用函数和马 歇尔需求函数。
斯卢茨基方程（Slusky equation）
劳动的供给问题*
• 问题的扩展： 收入来源是：劳动和非劳动收入 消费商品：一般商品和闲暇 新问题：在时间有限情况下，如何选择劳动与闲暇，使总 效用最大？
模型
l代表闲暇，w代表闲暇的价格， x代表一般商品， p代表x的价格， L 代表总时间，（ L l）代表工作时间， m代表非劳动收入 , M代表总收入。 基本模型： maxU ( x, l ) s.t. px w( L l ) m px wl wL m 使用拉格朗日乘数法， 可得：
衡量消费者福利变化？
• 消费者剩余（CS,Consumer's Surplus）1920，马歇尔 消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。
图示
P1
CS
p1*
p * p1
x( p, m)dp
X(p,m)
X1
消费者福利变化的衡量方法
补偿性变化和等值性变化
• 效用是主观性的，寻找一种能够以货币衡量的标准。 • 两种思路：1939，希克斯
WTP(支付意愿)——CV——为获得公共物品而必须支付的数额 (使公共物品带来的效用提高和收入减少带来的效用下降相平 衡，从而使消费者支付前后效用不变) 例如：愿意支付多少钱来换得好天气？
WTA(接受补偿意愿)——EV——假设不提供该公共物品，为了 不使消费者效用下降而需向其支付的最小补偿数额。 例如：假设过去十年北京不改善空气质量，要保持现在的效用水 平，愿意接受多少补偿？
u ( x, l ) u ( x, l ) l x w p
l ( p, w, M )
当w变化时，如何影响闲暇的选择？
dl( p, w, M ) l ( p, w, M ) l ( p, w, M ) M dw w M w M 常数
价格效应
直接收入效应
拟线性效用函数的特点
u ( x1 , x2 ) ln x1 x2 根据一阶条件： u u 1 1 x1 x2 x1 p1 x1 p2 p1 p2 p1 p2 p2 m p1 x1 p2 x2 m x1* , x2 * 1 p1 p2
斯卢茨基方程的应用与扩展
x1 ( p1 , m)
希克斯分解
替代效应： h1 ( p1 ' , u0 ) x1 ( p1 , m) 收入效应： x1 ( p1 ' , m) h1 ( p1 ' , u0 ) 总效应： x1 ( p1 ' , m) - x1 ( p1 , m)
X2
斯卢茨源自文库分解
x1 ( p1 ' , m' )
财富的收入效应
• 问题导入：在效用最大化分析中，视收入m为外 生变量，没有探究其来源是什么？ • 拓展：引入财富的概念，其内容丰富：实物商品、 房产，商品，劳动能力等。 • 模型：
m pw
w w1 , w2 wk p p1 , p2 pk x x1 , x2 xk
x1商品价格从p10下降到p1' , 如果在u ' 水平上按照p10来消费，与原来的 m收入相比，
需要的收入比原来收入 多出的部分。 多出的部分越多，相当 于消费者福利增加的也 越多。
如果价格上升，则要达 到新效用水平按原来的 价格只需要 较少的收入，此时 EV为负，表示福利减少。
图示
x2 m'
EV=m'-m
对替代效应、收入效应的两种分解方法
• Hicks分解： 替代效应：保持效用不变，在新的价格下支出最小的需求 • Slusky分解： 替代效应：保持购买力相同，在新的价格下效用最大化的 需求
X2
希克斯分解
h1 ( p1 ' , u0 )
U0 (p1,m) X1
（p1',m）
x1 ( p1 ' , m)
• 研究价格变动对消费者需求的影响，即当价格变化时，对 商品的需求的变化有哪些是替代效应引起的，有哪些是收 入效应引起的。
xi ( p, m) hi ( p, u*) xi ( p, m) xj (i, j 1,2, n) p j p j m 如果i j xi ( p, m) hi ( p, u*) xi ( p, m) xi pi pi m
EV,CV,CS三者之间的关系
• • • • EV>CS>CV CV,EV是度量消费者福利变化的两种方法。 CS是对消费者福利变化的近似估计非准确估计 什么情况下EV=CS=CV？
总结
• 当价格下降时，消费者福利增加，福利变化可衡量为：
– CV（+）:若保持原效用，在新价格下可节省的支出； – EV（+）:若实现新效用，在原价格下需要多花多少钱。 – 数值越大，表明对消费者越好
作业
1.U x12 x2 , p1 p2 1, m 24, 求当p1上涨到2时， 求x1的替代效应和收入效应 。 2.某消费者对牛奶的需求 函数为x 10 y , x为一周内的牛奶消费量 ， 10 p
y为收入，等于 120元。p为牛奶的价格，等于 3元 / 桶。 求当p从3元降到2元时， （ 1 ）对消费者需求总效应 是多少？ （2）计算价格变化所带来 的替代效应和收入效应 。
ex1 , p1
p1 x1 e x1 , p1 ex1 ,m m
s
影响需求价格弹性的因素
• 替代弹性——商品可替代程度大小 • 收入弹性——奢侈品，必需品 • 该商品占总支出的比重
消费的福利分析
分析的意义
• 当经济环境发生变化时，例如税收、补贴或涨价、降价等， 消费者的效用会发生变化。 • 效用属于主观概念，不同消费者之间难以衡量。 • 希望寻找一种客观的衡量方法。
根据Slusky方程， l ( p, w, M ) l h ( p, w, u ) l ( p, w, M ) (l ) w w M M 常数 u 常数
价格效应
替代效应 间接收入效应
dl ( p, w, M ) l ( p, w, u ) l ( p, w, M ) (L l) dw w M u 常数
pw 常数
xi ( p, pw) ( pw) xi ( p, pw) 其中 w j , 表示禀赋的收入效应 m p j m
运用Slusky方程， xi ( p, pw) p j hi ( p, u ) xi ( p, pw) xj p j m
pw 常数
第三章价格变化对消费者的 配置效应与福利效应
效用最大化与支出最小化的关系(对偶关系)
• 对偶：是指在两组概念、定理、和结构之间可以进行一对 一的互换。本质上来说，两组概念、定理、和结构表示一 种内涵。 • 效用函数与支出函数、马歇尔需求函数与希克斯需求函数、 间接效用函数与直接效用函数等等都是一一对应的。
开支会节省出来，节省 的部分可视为消费受益 的部分。
如果价格上升，则保持 原效用水平需要更多的 支出， CV为负，表示福利减少。
图示
x2
CV=m-m'
B m' A C 节省的支出 m m x1
CV的推导
CV
0 p1
p1 '
h( p, u0 )dp
推导
等值性变化（EV）
• 假设考虑收入m不变，p1下降的情形。
斯卢茨基方程
证明
需求函数斜率正负及大小的判断
• • • • 普通商品（ordinary goods） 正常商品（normal goods） 低档商品(inferal goods) 吉芬商品(Giffen goods)
思考题：马歇尔需求曲线与 希克斯需求曲线关系？拟线性效用函数？
将其代入上式，可得： dxi ( p, pw) hi ( p, u ) xi ( p, pw) (w j x j ) dp j p j m
结论
当i j , 且为正常商品， 如果w j x j (即是该商品的净消费者)，则价格上涨， 对该商品需求是下降的。 如果w j x j (即是该商品的净拥有者)，则结果是不确定的。 至少引起的对该商品的需求的减少程度是较小的，甚至可能会增加。 即财富的收入效应。
U0 (p1,m) X1
（p1',m）
x1 ( p1 ' , m)
x1 ( p1 , m)
四个重要恒等式
e p, e v p, m m v p, e p, u u x p, m h p, v p, m h p, u x p, e p, u
意义：
• 可以利用恒等式关系，已知某一函数，求另一函数。 • 例如： 可以从间接效用函数推导出支出函数、希克斯需求函数； 可以从支出函数推导出间接效用函数、马歇尔需求函数。
c
B
A
m
m x1
EV的推导
EV
0 p1
p1 '
h( p, u ' )dp
证明
图示
p
p10
h1 ( p, u0 )
h1 ( p, u' )
h1 ( p10 , u0 ) x1 ( p10 , m)
h1 ( p1' , u' ) x1 ( p1' , m)
p1'
x( p, m)
x1
– 补偿性变化（CV,comprehension variation） – 等值性变化（EV,equivilent variation）
衡量消费者福利变化
P1
净福利损失
p1 '
消费者剩余减少
p10
x1 ( p, m)
X1
补偿性变化（CV）
• 假设考虑收入m不变，p1下降的情形。
x1商品价格从p10下降到p1' , 如果在u0水平上按照p1' 来消费，与原来的 m收入相比，
定量税和所得税比较
• 定量税
' p1 0 p1
h( p1 , u ' )dp1
• 所得税：T
图示
P1
h1 ( p, u' )
h1 ( p, u0 )
p1 ' p10 t
EV
p10
T X1
福利分析方法的应用
• 环境经济学:（北大学报（自然科学版），2005年第3期）
– 衡量公共物品的改善或提供带来的福利增长
目标函数: M axU x px pw s.t
x p, pw
p变动对消费需求有什么影响？
可对第i种商品的xi ( p, pw)求关于p j的一阶导数。
dxi ( p, pw) xi ( p, pw) dp j p j xi ( p, pw) ( pw) m p j
• 当价格上升时，消费者福利减少，福利变化可衡量为：
– CV（-）:若保持原效用，在新价格下需多花钱，只有补偿相应数 量才能达到原效用； – EV（-）:若实现新效用，在原价格下需花较少的钱，而价格变化 后却花较多的钱。 – 绝对值越大，表明消费者越不利。
福利分析方法的应用
• 增值税与营业税的福利效应(平新乔，200909， 经济研究) • 定量税与所得税的福利分析
效用最大化与支出最小化的关系(对偶关系)
• 1.在收入水平为m的情况下求得普通需求函数就是效用为 v(p,m)时求得的 • 希克斯需求函数h(p,u)； • 2.在效用水平为u的条件下求得的希克斯需求函数就是收 入为e(p,u)时求得的 • 普通需求函数x(p,m)。 • 即当m=e(p,u)，u=v(p,m)时，效用最大化的解和支出最小 化的解相同。
h
总效应
替代效应，<0
直接和间接收入效应，>0
最终变动方向不确定
w
L l
弹性形式的Slusky方程
x1 p, m h1 p, u x1 p, m x1 p1 p1 m u为常数
p1 在等式两边均乘以 x1
x1 p, m p1 m x1 p1 x1 p, m h1 p, u p1 x1 x1 p1 p1 x1 m x1 x1 m u为常数
例：
假设某消费者的间接效 用函数为： m v( p1 , p2 , m) a 1 a ,0 a 1 p1 p2 求该消费者的希克斯需 求函数h1 , h2
练习题
已知支出函数为： e 2 up1 p2
求：间接效用函数和马 歇尔需求函数。
斯卢茨基方程（Slusky equation）
劳动的供给问题*
• 问题的扩展： 收入来源是：劳动和非劳动收入 消费商品：一般商品和闲暇 新问题：在时间有限情况下，如何选择劳动与闲暇，使总 效用最大？
模型
l代表闲暇，w代表闲暇的价格， x代表一般商品， p代表x的价格， L 代表总时间，（ L l）代表工作时间， m代表非劳动收入 , M代表总收入。 基本模型： maxU ( x, l ) s.t. px w( L l ) m px wl wL m 使用拉格朗日乘数法， 可得：
衡量消费者福利变化？
• 消费者剩余（CS,Consumer's Surplus）1920，马歇尔 消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。
图示
P1
CS
p1*
p * p1
x( p, m)dp
X(p,m)
X1
消费者福利变化的衡量方法
补偿性变化和等值性变化
• 效用是主观性的，寻找一种能够以货币衡量的标准。 • 两种思路：1939，希克斯
WTP(支付意愿)——CV——为获得公共物品而必须支付的数额 (使公共物品带来的效用提高和收入减少带来的效用下降相平 衡，从而使消费者支付前后效用不变) 例如：愿意支付多少钱来换得好天气？
WTA(接受补偿意愿)——EV——假设不提供该公共物品，为了 不使消费者效用下降而需向其支付的最小补偿数额。 例如：假设过去十年北京不改善空气质量，要保持现在的效用水 平，愿意接受多少补偿？
u ( x, l ) u ( x, l ) l x w p
l ( p, w, M )
当w变化时，如何影响闲暇的选择？
dl( p, w, M ) l ( p, w, M ) l ( p, w, M ) M dw w M w M 常数
价格效应
直接收入效应
拟线性效用函数的特点
u ( x1 , x2 ) ln x1 x2 根据一阶条件： u u 1 1 x1 x2 x1 p1 x1 p2 p1 p2 p1 p2 p2 m p1 x1 p2 x2 m x1* , x2 * 1 p1 p2
斯卢茨基方程的应用与扩展
x1 ( p1 , m)
希克斯分解
替代效应： h1 ( p1 ' , u0 ) x1 ( p1 , m) 收入效应： x1 ( p1 ' , m) h1 ( p1 ' , u0 ) 总效应： x1 ( p1 ' , m) - x1 ( p1 , m)
X2
斯卢茨源自文库分解
x1 ( p1 ' , m' )
财富的收入效应
• 问题导入：在效用最大化分析中，视收入m为外 生变量，没有探究其来源是什么？ • 拓展：引入财富的概念，其内容丰富：实物商品、 房产，商品，劳动能力等。 • 模型：
m pw
w w1 , w2 wk p p1 , p2 pk x x1 , x2 xk
x1商品价格从p10下降到p1' , 如果在u ' 水平上按照p10来消费，与原来的 m收入相比，
需要的收入比原来收入 多出的部分。 多出的部分越多，相当 于消费者福利增加的也 越多。
如果价格上升，则要达 到新效用水平按原来的 价格只需要 较少的收入，此时 EV为负，表示福利减少。
图示
x2 m'
EV=m'-m
对替代效应、收入效应的两种分解方法
• Hicks分解： 替代效应：保持效用不变，在新的价格下支出最小的需求 • Slusky分解： 替代效应：保持购买力相同，在新的价格下效用最大化的 需求
X2
希克斯分解
h1 ( p1 ' , u0 )
U0 (p1,m) X1
（p1',m）
x1 ( p1 ' , m)
• 研究价格变动对消费者需求的影响，即当价格变化时，对 商品的需求的变化有哪些是替代效应引起的，有哪些是收 入效应引起的。
xi ( p, m) hi ( p, u*) xi ( p, m) xj (i, j 1,2, n) p j p j m 如果i j xi ( p, m) hi ( p, u*) xi ( p, m) xi pi pi m
EV,CV,CS三者之间的关系
• • • • EV>CS>CV CV,EV是度量消费者福利变化的两种方法。 CS是对消费者福利变化的近似估计非准确估计 什么情况下EV=CS=CV？
总结
• 当价格下降时，消费者福利增加，福利变化可衡量为：
– CV（+）:若保持原效用，在新价格下可节省的支出； – EV（+）:若实现新效用，在原价格下需要多花多少钱。 – 数值越大，表明对消费者越好
作业
1.U x12 x2 , p1 p2 1, m 24, 求当p1上涨到2时， 求x1的替代效应和收入效应 。 2.某消费者对牛奶的需求 函数为x 10 y , x为一周内的牛奶消费量 ， 10 p
y为收入，等于 120元。p为牛奶的价格，等于 3元 / 桶。 求当p从3元降到2元时， （ 1 ）对消费者需求总效应 是多少？ （2）计算价格变化所带来 的替代效应和收入效应 。
ex1 , p1
p1 x1 e x1 , p1 ex1 ,m m
s
影响需求价格弹性的因素
• 替代弹性——商品可替代程度大小 • 收入弹性——奢侈品，必需品 • 该商品占总支出的比重
消费的福利分析
分析的意义
• 当经济环境发生变化时，例如税收、补贴或涨价、降价等， 消费者的效用会发生变化。 • 效用属于主观概念，不同消费者之间难以衡量。 • 希望寻找一种客观的衡量方法。
根据Slusky方程， l ( p, w, M ) l h ( p, w, u ) l ( p, w, M ) (l ) w w M M 常数 u 常数
价格效应
替代效应 间接收入效应
dl ( p, w, M ) l ( p, w, u ) l ( p, w, M ) (L l) dw w M u 常数
pw 常数
xi ( p, pw) ( pw) xi ( p, pw) 其中 w j , 表示禀赋的收入效应 m p j m
运用Slusky方程， xi ( p, pw) p j hi ( p, u ) xi ( p, pw) xj p j m
pw 常数
第三章价格变化对消费者的 配置效应与福利效应
效用最大化与支出最小化的关系(对偶关系)
• 对偶：是指在两组概念、定理、和结构之间可以进行一对 一的互换。本质上来说，两组概念、定理、和结构表示一 种内涵。 • 效用函数与支出函数、马歇尔需求函数与希克斯需求函数、 间接效用函数与直接效用函数等等都是一一对应的。
开支会节省出来，节省 的部分可视为消费受益 的部分。
如果价格上升，则保持 原效用水平需要更多的 支出， CV为负，表示福利减少。
图示
x2
CV=m-m'
B m' A C 节省的支出 m m x1
CV的推导
CV
0 p1
p1 '
h( p, u0 )dp
推导
等值性变化（EV）
• 假设考虑收入m不变，p1下降的情形。