高等数学向量代数与空间解析几何总结分解

空间解析几何与向量代数
习 题 课
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积
向量积
1、向量的概念
定义:既有大小又有方向的量称为向量.
重要概念: 向量的模、单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径.
[2] 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2 1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 2 2 1 1 x 2 cos t 2 1 参数方程为 y sin t 2 t z sin 2
cos
ab
bx b y bz
2
2
2
a x bx a y b y a z bz 0
5、向量积
(叉积、外积)
其中 为a 与b 的夹角
| c || a || b | sin
右手系.
c 的方向既垂直于 a ，又垂直于 b ，指向符合
的平行四边形的面积.
b
a
③ ( 2) a // b a b 0.
(a 0, b 0)
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
平 面
柱
面
直 线
二次曲面
一般方程
对称式方程 点法式方程
1、空间直角坐标系
z
竖轴
空间的点
定点 o 横轴 x

y 纵轴
( x, y, z )
有序数组
z
空 间 直 角 坐 标 系
o x
y
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式:
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
它们距离为
M1 M 2
（1）球面
2 2 2
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
2
x y z 1
x y z
2 2
x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱 面的母线.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱
2、向量的线性运算
(1) 加法： a b c (2) 减法： a b d
b
ab c
a
ab d
(3) 向量与数的乘法： 的乘积 a 规定为 a 与 设 是一个数，向量
(1) 0, ( 2) 0,
2 2 2 2 2 2
两直线的夹角公式
[5] 两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0
m1 n1 p1 ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
[6] 直线与平面的夹角
x x 0 y y0 z z 0 L: m n p
2
2
x2 y2 z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
（3）马鞍面
x2 y2 z 2 p 2q
( p 与 q 同号 )
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x y z
2 2
2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
向量的坐标表示式： a {a x , a y , a z }
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
a {a x , a y , a z } b {bx , by , bz } a b {a x bx , a y by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k a b {a x bx , a y by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k a {a x , a y , a z } (a x )i (a y ) j (az )k
研究空间曲面的两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
[1] 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称之. 这条定直线叫旋转曲面的轴.
方程特点:
f ( x, y) 0 设有平面曲线 L : z0 (1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f ( x , y 2 z 2 ) 0 ( 2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f ( x 2 z 2 , y ) 0
[3] 空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
H ( x, y) 0 消去变量z后得：
H ( x, y) 0 曲线在 xoy面上的投影曲线为 z 0 xoz 面上的投影曲线 yoz 面上的投影曲线 R( y , z ) 0 x 0 T ( x , z ) 0 y 0
C . 面，其准线为 xoy面上曲线
(1) 平面
y x
(2) 圆柱面
(3) 抛物柱面
(4) 椭圆柱面
x 2 y 2 R2
x 2 2 py ( p 0)
x2 y2 2 1 2 a b
[3] 二次曲面
定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
（2）椭圆抛物面
2
x y z 2 2 1 2 a b c
[4] 两直线的夹角 直线 L1 :
x x1 y y1 z z1 m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 m2 n2 p2
直线 L2 :
cos( L^ ,L )
1 2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
2
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1 A2 B2 C 2
2 2 2 2 2 2
1
[5] 两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0
A1 B1 C1 ( 2) 1 // 2 A2 B2 C 2
（1）数量积 ③求一个向量在另一个向量上的投影：
ab Pr jb a 3. |b |
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④两向量垂直的充要条件为
ab a x bx a y b y a z bz 0
（2）向量积 ①求与两个非共线向量a、b同时垂直的向量n,可取
向量积的坐标表达式 a b ( a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k
i a b ax bx
j ay by
k az bz
a // b
a x a y az bx b y bz
a 与a 同向，| a | | a |
a 0
( 3) 0, a 与a 反向， | a || | | a |
3、向量的表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k
（1）数量积 2 (1) a a | a | . ①求向量的模： ②求两向量的夹角：
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途
ab a b | a || b | cos cos , | a || b | a x bx a y b y a z bz cos 2 2 2 2 2 2 a x a y a z bx b y bz
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影
空 间 立 体
曲 面
4、平面
[1] 平面的点法式方程
z
n
M
M0
o
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
x
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) n { A, B, C }
: Ax By Cz D 0
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
z
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x y z 1 a b c
c
b
o
y
x a
[4] 平面的夹角
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
cos
n2
n1
4、数量积
(点积、内积)
其中 为a 与b 的夹角
a b | a || b | cos
数量积的坐标表达式
a b a x bx a y by az bz
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
2 2 2 | a | a a a 向量模长的坐标表示式 x y z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
cos
ax a x a y az ay
a x a y az
2 2
2
2
2
2
cos
az a x a y az
2 2 2
( cos2 cos2 cos2 1 )
5、空间直线
[1] 空间直线的一般方程
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
z
1 2
L
A1 x B1 y C1 z D1 0 L: A2 x B2 y C2 z D2 0
o
y
x
[2] 空间直线的对称式方程
z
s
M0
L
x x 0 y y0 z z 0 m n p
[3] 空间直线的参数方程
x
M
y
o
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) s {m , n, p}
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
n a b
其中λ是某个非零的数（通常在不考虑向量模的大小 时可取λ =1）；
（2）向量积
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
c ab
②几何上
| a b | 表示以 b 为邻边 a和
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
2、曲面
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
S 的方程，而 那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 曲面 S 就叫做方程的图形.