基于Matlab遗传算法工具箱的圆柱螺旋弹簧模糊可靠性优化设计
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1.1 遗传算法
遗传算法（GA）是一类借鉴生物界自然选择和 遗传机制的随机优化搜索算法。其主要特点是群体 搜索策略和群体中个体之间的信息交换、搜索不依 赖于梯度信息。由于不受函数约束条件（如连续性、 可微性、单极值）的限制，因而具有广泛的适应能 力。它尤其适用于处理传统搜索方法难以解决的复 杂和非线性问题，因此，采用 Matlab 语言设计的遗 传算法优化工具箱将它应用于实际中，不仅具有简 单、易用、易于修改的特点，而且为解决许多传统 的优化方法难以解决的象非线形、多峰值之类的复 杂问题提供了有效的途径，为遗传算法的研究和应 用提供了很好的应用前景。
机械 2008 年第 8 期 总第 35 卷
失效状态之间具有模糊过渡状态，则这类优化问题 为模糊可靠性优化问题。一般可归纳为两种类型： 一类是以可靠度指标为约束条件的模糊可靠性优化 问题；另一类就是要求零件的可靠度尽可能高的模 糊可靠性优化设计[1,2]。
应用前者将模糊可靠性和优化设计相结合应用 到内燃机气门弹簧的设计之中，即在给定工作条件 下，要求零件的可靠度尽可能高的模糊可靠性优化 设计，在这一限制下，利用 Matlab 中的遗传算法工 具箱进行计算设计，使目标函数达到最大。
确定优化问题的种群
生成初始种群
计算个体适应度 (fitness)
是否满足优化问题的
停止条件
是
否
选择适应度较高的
个体进行复制
交叉、变异
输出最优解或个体
图 1 遗传算法的基本流程
1.2 遗传算法工具箱（GA Toolbox）
遗传算法工具箱 GAOT 包括了许多实用的函 数。这些函数按照功能可以分为：主界面红薯、选 择红薯、演化红薯、其它的一些终止红薯、二进制 表示红薯、演示程序等。Matlab 的遗传算法工具箱 核心函数 GAOTV5 其主程序 ga.m 提供了遗传算法 工具箱与外部的接口。在 Matlab 环境下，执行 ga
机械 2008 年第 8 期 总第 35 卷
设计与研究
·３·
并设定相应的参数，就可以完成优化[4,5]。格式如下： （1）搜索函数 ga
[xf, endPop, bPop, trace] = ga（ bounds, evalFN, evalOps, startPop,
opts, termFN, termOps, selectFN, selectOps, xOverFNs, xOverops,
当仅考虑弹簧工作应力的随机性，并设其分布 密度函数为正态分布；而对弹簧强度则考虑其模糊 性，设其隶属函数为降半梯形分布时，按照机械零
部件模糊可靠性设计的基本理论，弹簧工作模糊可
靠度为：
∫ R = P(A) =
∞ −∞
µ
A
(x)
f
( x)dx
=
a2
1 −
a1
⎧ × ⎨(a2
⎩
−
µs
)Φ
(
a2 − σs
————————————————
收稿日期：2008－01－28 基金项目：国家自然科学基金重点项目(50335040) 作者简介：宋茂福（1979－），山东人，硕士，主要研究方向为先进设计理论及方法；赵勇（1963-），山东人，博士，副教授，主要研究方 向为先进设计理论及方法、智能工程等。
·２·
设计与研究
1 Matlab 遗传算法优化工具箱
MATLAB 是由美国 MathWorks 公司开发的以 矩阵运算为基础，集通用数学运算、图形交互、程 序设计和系统建模为一体，功能强、使用简单、容 易扩展的科技应用软件，分总包和若干工具箱，其 中的优化工具箱含有一系列的优化算法函数，可方 便、快捷地解决无约束和约束线性、非线性极小值， 非线性系统的方程求解，曲线拟合，二次规划和线 性规划，大规模优化等工程实际问题。遗传算法优 化工具箱就是其中之一[3]。
关键词：MATLAB 7.0；遗传算法（GA）；优化设计；模糊可靠性
中图分类号：TH122
文献标识码：A
文章编号：1006－0316（2008）08－0001－05
Fuzzy reliability optimal design of cylindrical spring based on Matlab GA toolbox SONG Mao-fu，ZHAO Yong
µs
)
−
(a1
−
µ
s
)
Φ(
a2 − σs
µs
)
⎫ − (a1 −µs )2
− (a2 −µs )2
− σ [e − e ]⎪⎬ x
2σ
2 s
2σ
2 s
2π
⎪⎭
式中： P( A ) 为模糊集合 A 的概率； µA (x) 为 A 的隶
mutFNs, mutOps ）
其中，等式左边表示的为输出参数，等式右边 表示输入参数。
（2）编码和种群生成函数 initializega
Function [Pop] = initializega（ num, bounds, eevalFN, eevalOps,
opts ）
其中，输出参数：Pop 是生成的初始种群；输 入参数：num 是种群中的个体数目；bounds 是变量 上下限矩阵；eevalFN 是适应度函数；eevalOps 是传 递给适应度函数的参数，默认值为[ ]；opts 是选择 编码形式的参数，即浮点编码（默认值为[ ]）或是 二进制编码。
（School of Mechanical，Electronic and Control Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044）
Abstract：The problem of fuzzy reliability should be calculated in the form of conventional reliability optimization. At present, the algorithms of complex and penalty function are applied as the computing method. These algorithms have some rigorous terms, such as the function must be differentiable, and the result has much relation with the initial value. The research is carried out using the GA toolbox in Matlab. The genetic algorithm is applied for overcoming the shortcomings of conventional algorithms. It makes the mechanical fuzzy reliability optimal design of cylindrical spring as a study example. The study shows that GA Toolbox in Matlab is convenient to be used and the optimal results can be got according to different optimization indexes and different calculation precisions, thus the global search function of GA is exhibited sufficiently．The optimization method has the characteristics such as reliable calculation，high efficiency and visualized graphic results etc., and has a broad application prospect as wel1.
遗传算法流程如图 1 所示，首先将解空间的解 数据表示成遗传空间的基因型串结构数据，即编码， 然后从中随机选取一些编码组作为进化起点的第一 代编码组，并计算每一个解（编码）的目标函数值
（编码的适应度）。按照选择机制（能够较大地保 留适应度较高的编码，较少的保留或淘汰适应度较 低的编码），从编码组挑选一些编码作为繁殖过程 前的编码样本。使用遗传算法提供的交叉和变异算 子对挑选出的样本进行运算，交叉算子随机交换两 个编码的某些位，变异算子则对某个编码的某一位 进行反转，因而产生新一代编码组。重复上述选择 和繁殖过程，直至进化的代数超过预先的给定值， 输出最后一代的编码组作为问题的最优解。
Key words：MATLAB 7.0；Genetic Algorithm（GA）；optimal design；fuzzy reliability
常规的机械优化设计一般以常规机械设计法的 安全系数或许用应力为基础，在设计时将应力、强 度等变量视为确定性变量，并且安全系数主要是根 据设计人员的使用经验确定，缺乏定量的数学基础， 具有明显的不确定性。而机械可靠性优化设计将现 代设计方法中的优化技术与可靠性理论相结合，既 能定量地回答产品在运行中的可靠性，又能使产品
气门弹簧是承受交变载荷的圆柱螺旋压缩弹 簧，除选择材料、规定热处理条件外，主要是确定 三个结构参数，即簧丝直径 d、弹簧中径 D 和工作 圈数 n，因此取： X = (x1, x2 , x3 )T = (d , D, n)T 2.1.3 目标函数
由于该弹簧是内燃机气门的关键零件，故应以 高可靠度作为追求的目标。为使弹簧模糊可靠度 R 达最高，即， max f (X ) = R
的功能参数获得优化解，在产品的功能安全性、重 量、体积及成本等方面显示出明显的技术经济效益。
机械工程中的可靠性问题，有时要求兼顾如尺 寸、重量、可靠度、费用、功能等几个目标的设计 特性，往往需要在原材料、工艺、公差或选择不同 尺寸及时间等条件来协调设计参数，若在目标参数、 约束变量、设计变量带有模糊性或者在安全状态到
2 应用实例
2.1 模糊优化设计数学模型的建立
2.1.1 设计实例 设计一内燃机气门弹簧的结构尺寸。据统计，
弹簧各参数服从正态分布，弹簧材料为 50CrVA 钢 丝，抗剪弹性模量 G~N (G,σG ) =（85000，1600） MPa，弹簧承受交变载荷作用，工作载荷 F = 750 N ， 工作频率 f = 20 Hz ，当循环次数 N ≥ 106 ，抗剪疲 劳强度 [τ ] ~ N ([τ ],σ[τ ]) = (400, 70) MPa ，弹簧在最 大载荷作用下变形量 y~ N ( y,σ y ) =（11.6，0.2）mm[6]。 2.1.2 设计变量
其中，交叉和变异是遗传算法的重要内容。交 叉式最主要的遗传运算，它在很大程度上决定了遗 传算法的性能。交叉是同时对两个染色体进行操作， 组合两者的特性产生新的后代。交叉体现了信息交 换的思想。交叉率的选择是根据具体问题确定的， 一般取 0.25~0.75，这样既可以得到较高适应度的结 构，又可以保证搜索效率。变异是基本的遗传运算， 它在染色体上自发地产生随机变化。由于生物界产 生变异的概率很低，因而变异率一般取 0.01~0.20。
机械 2008 年第 8 期 总第 35 卷
设计与研究·１· 源自基于 Matlab 遗传算法工具箱的 圆柱螺旋弹簧模糊可靠性优化设计
宋茂福，赵勇
（北京交通大学 机械与电子控制工程学院，北京 100044）
摘要：模糊可靠性计算问题最后也要转化为常规可靠性优化来进行计算，但目前所用的手段多基于传统的最优化理论中 优化算法：如复合型法、惩罚函数法等，这些方法存在局部极值和对目标函数的可微性有严格要求的苛刻条件，并且优 化结果与初始值有较大的相关性等难以克服的缺点。在 Matlab 环境下，应用 GA 工具箱，对圆柱螺旋弹簧进行优化设 计，旨在克服常规算法的缺点，得到全局最优解。研究应用结果表明在 Maltab 环境下，遗传算法工具箱使用简单方便， 可直接应用库函数文件，且能根据不同的优化指标、计算精度寻找出最佳结果，充分体现了遗传算法的全局搜索性能。 该优化方法具有计算可靠，快捷高效和图形结果可视化等特点，并具有广阔的应用前景。
遗传算法（GA）是一类借鉴生物界自然选择和 遗传机制的随机优化搜索算法。其主要特点是群体 搜索策略和群体中个体之间的信息交换、搜索不依 赖于梯度信息。由于不受函数约束条件（如连续性、 可微性、单极值）的限制，因而具有广泛的适应能 力。它尤其适用于处理传统搜索方法难以解决的复 杂和非线性问题，因此，采用 Matlab 语言设计的遗 传算法优化工具箱将它应用于实际中，不仅具有简 单、易用、易于修改的特点，而且为解决许多传统 的优化方法难以解决的象非线形、多峰值之类的复 杂问题提供了有效的途径，为遗传算法的研究和应 用提供了很好的应用前景。
机械 2008 年第 8 期 总第 35 卷
失效状态之间具有模糊过渡状态，则这类优化问题 为模糊可靠性优化问题。一般可归纳为两种类型： 一类是以可靠度指标为约束条件的模糊可靠性优化 问题；另一类就是要求零件的可靠度尽可能高的模 糊可靠性优化设计[1,2]。
应用前者将模糊可靠性和优化设计相结合应用 到内燃机气门弹簧的设计之中，即在给定工作条件 下，要求零件的可靠度尽可能高的模糊可靠性优化 设计，在这一限制下，利用 Matlab 中的遗传算法工 具箱进行计算设计，使目标函数达到最大。
确定优化问题的种群
生成初始种群
计算个体适应度 (fitness)
是否满足优化问题的
停止条件
是
否
选择适应度较高的
个体进行复制
交叉、变异
输出最优解或个体
图 1 遗传算法的基本流程
1.2 遗传算法工具箱（GA Toolbox）
遗传算法工具箱 GAOT 包括了许多实用的函 数。这些函数按照功能可以分为：主界面红薯、选 择红薯、演化红薯、其它的一些终止红薯、二进制 表示红薯、演示程序等。Matlab 的遗传算法工具箱 核心函数 GAOTV5 其主程序 ga.m 提供了遗传算法 工具箱与外部的接口。在 Matlab 环境下，执行 ga
机械 2008 年第 8 期 总第 35 卷
设计与研究
·３·
并设定相应的参数，就可以完成优化[4,5]。格式如下： （1）搜索函数 ga
[xf, endPop, bPop, trace] = ga（ bounds, evalFN, evalOps, startPop,
opts, termFN, termOps, selectFN, selectOps, xOverFNs, xOverops,
当仅考虑弹簧工作应力的随机性，并设其分布 密度函数为正态分布；而对弹簧强度则考虑其模糊 性，设其隶属函数为降半梯形分布时，按照机械零
部件模糊可靠性设计的基本理论，弹簧工作模糊可
靠度为：
∫ R = P(A) =
∞ −∞
µ
A
(x)
f
( x)dx
=
a2
1 −
a1
⎧ × ⎨(a2
⎩
−
µs
)Φ
(
a2 − σs
————————————————
收稿日期：2008－01－28 基金项目：国家自然科学基金重点项目(50335040) 作者简介：宋茂福（1979－），山东人，硕士，主要研究方向为先进设计理论及方法；赵勇（1963-），山东人，博士，副教授，主要研究方 向为先进设计理论及方法、智能工程等。
·２·
设计与研究
1 Matlab 遗传算法优化工具箱
MATLAB 是由美国 MathWorks 公司开发的以 矩阵运算为基础，集通用数学运算、图形交互、程 序设计和系统建模为一体，功能强、使用简单、容 易扩展的科技应用软件，分总包和若干工具箱，其 中的优化工具箱含有一系列的优化算法函数，可方 便、快捷地解决无约束和约束线性、非线性极小值， 非线性系统的方程求解，曲线拟合，二次规划和线 性规划，大规模优化等工程实际问题。遗传算法优 化工具箱就是其中之一[3]。
关键词：MATLAB 7.0；遗传算法（GA）；优化设计；模糊可靠性
中图分类号：TH122
文献标识码：A
文章编号：1006－0316（2008）08－0001－05
Fuzzy reliability optimal design of cylindrical spring based on Matlab GA toolbox SONG Mao-fu，ZHAO Yong
µs
)
−
(a1
−
µ
s
)
Φ(
a2 − σs
µs
)
⎫ − (a1 −µs )2
− (a2 −µs )2
− σ [e − e ]⎪⎬ x
2σ
2 s
2σ
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2π
⎪⎭
式中： P( A ) 为模糊集合 A 的概率； µA (x) 为 A 的隶
mutFNs, mutOps ）
其中，等式左边表示的为输出参数，等式右边 表示输入参数。
（2）编码和种群生成函数 initializega
Function [Pop] = initializega（ num, bounds, eevalFN, eevalOps,
opts ）
其中，输出参数：Pop 是生成的初始种群；输 入参数：num 是种群中的个体数目；bounds 是变量 上下限矩阵；eevalFN 是适应度函数；eevalOps 是传 递给适应度函数的参数，默认值为[ ]；opts 是选择 编码形式的参数，即浮点编码（默认值为[ ]）或是 二进制编码。
（School of Mechanical，Electronic and Control Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044）
Abstract：The problem of fuzzy reliability should be calculated in the form of conventional reliability optimization. At present, the algorithms of complex and penalty function are applied as the computing method. These algorithms have some rigorous terms, such as the function must be differentiable, and the result has much relation with the initial value. The research is carried out using the GA toolbox in Matlab. The genetic algorithm is applied for overcoming the shortcomings of conventional algorithms. It makes the mechanical fuzzy reliability optimal design of cylindrical spring as a study example. The study shows that GA Toolbox in Matlab is convenient to be used and the optimal results can be got according to different optimization indexes and different calculation precisions, thus the global search function of GA is exhibited sufficiently．The optimization method has the characteristics such as reliable calculation，high efficiency and visualized graphic results etc., and has a broad application prospect as wel1.
遗传算法流程如图 1 所示，首先将解空间的解 数据表示成遗传空间的基因型串结构数据，即编码， 然后从中随机选取一些编码组作为进化起点的第一 代编码组，并计算每一个解（编码）的目标函数值
（编码的适应度）。按照选择机制（能够较大地保 留适应度较高的编码，较少的保留或淘汰适应度较 低的编码），从编码组挑选一些编码作为繁殖过程 前的编码样本。使用遗传算法提供的交叉和变异算 子对挑选出的样本进行运算，交叉算子随机交换两 个编码的某些位，变异算子则对某个编码的某一位 进行反转，因而产生新一代编码组。重复上述选择 和繁殖过程，直至进化的代数超过预先的给定值， 输出最后一代的编码组作为问题的最优解。
Key words：MATLAB 7.0；Genetic Algorithm（GA）；optimal design；fuzzy reliability
常规的机械优化设计一般以常规机械设计法的 安全系数或许用应力为基础，在设计时将应力、强 度等变量视为确定性变量，并且安全系数主要是根 据设计人员的使用经验确定，缺乏定量的数学基础， 具有明显的不确定性。而机械可靠性优化设计将现 代设计方法中的优化技术与可靠性理论相结合，既 能定量地回答产品在运行中的可靠性，又能使产品
气门弹簧是承受交变载荷的圆柱螺旋压缩弹 簧，除选择材料、规定热处理条件外，主要是确定 三个结构参数，即簧丝直径 d、弹簧中径 D 和工作 圈数 n，因此取： X = (x1, x2 , x3 )T = (d , D, n)T 2.1.3 目标函数
由于该弹簧是内燃机气门的关键零件，故应以 高可靠度作为追求的目标。为使弹簧模糊可靠度 R 达最高，即， max f (X ) = R
的功能参数获得优化解，在产品的功能安全性、重 量、体积及成本等方面显示出明显的技术经济效益。
机械工程中的可靠性问题，有时要求兼顾如尺 寸、重量、可靠度、费用、功能等几个目标的设计 特性，往往需要在原材料、工艺、公差或选择不同 尺寸及时间等条件来协调设计参数，若在目标参数、 约束变量、设计变量带有模糊性或者在安全状态到
2 应用实例
2.1 模糊优化设计数学模型的建立
2.1.1 设计实例 设计一内燃机气门弹簧的结构尺寸。据统计，
弹簧各参数服从正态分布，弹簧材料为 50CrVA 钢 丝，抗剪弹性模量 G~N (G,σG ) =（85000，1600） MPa，弹簧承受交变载荷作用，工作载荷 F = 750 N ， 工作频率 f = 20 Hz ，当循环次数 N ≥ 106 ，抗剪疲 劳强度 [τ ] ~ N ([τ ],σ[τ ]) = (400, 70) MPa ，弹簧在最 大载荷作用下变形量 y~ N ( y,σ y ) =（11.6，0.2）mm[6]。 2.1.2 设计变量
其中，交叉和变异是遗传算法的重要内容。交 叉式最主要的遗传运算，它在很大程度上决定了遗 传算法的性能。交叉是同时对两个染色体进行操作， 组合两者的特性产生新的后代。交叉体现了信息交 换的思想。交叉率的选择是根据具体问题确定的， 一般取 0.25~0.75，这样既可以得到较高适应度的结 构，又可以保证搜索效率。变异是基本的遗传运算， 它在染色体上自发地产生随机变化。由于生物界产 生变异的概率很低，因而变异率一般取 0.01~0.20。
机械 2008 年第 8 期 总第 35 卷
设计与研究·１· 源自基于 Matlab 遗传算法工具箱的 圆柱螺旋弹簧模糊可靠性优化设计
宋茂福，赵勇
（北京交通大学 机械与电子控制工程学院，北京 100044）
摘要：模糊可靠性计算问题最后也要转化为常规可靠性优化来进行计算，但目前所用的手段多基于传统的最优化理论中 优化算法：如复合型法、惩罚函数法等，这些方法存在局部极值和对目标函数的可微性有严格要求的苛刻条件，并且优 化结果与初始值有较大的相关性等难以克服的缺点。在 Matlab 环境下，应用 GA 工具箱，对圆柱螺旋弹簧进行优化设 计，旨在克服常规算法的缺点，得到全局最优解。研究应用结果表明在 Maltab 环境下，遗传算法工具箱使用简单方便， 可直接应用库函数文件，且能根据不同的优化指标、计算精度寻找出最佳结果，充分体现了遗传算法的全局搜索性能。 该优化方法具有计算可靠，快捷高效和图形结果可视化等特点，并具有广阔的应用前景。