概率论与数理统计_ 随机变量的数字特征_ 协方差、相关系数_

1
2 y 1(x y)dxdy 11,
00 3
9
E(XY )
xyp(x, y)dxdy
1
2 xy 1(x y)dxdy 2 ,
00
3
3
cov( X ,Y ) EXY EXEY 2 5 11 1 . 3 9 9 81
小结 主要 内容
概率论与数理统计 协方差的定义 协方差的计算公式
3. 说明
概率论与数理wenku.baidu.com计
(1) 不相关与相互独立的关系 相互独立 (2) 不相关的充要条件 1o X，Y 不相关 ρXY 0; 2o X，Y不相关 Cov(X，Y ) 0; 3o X，Y 不相关 E(XY) E(X )E(Y).
4o X，Y 不相关 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
2. 定义
概率论与数理统计
量 E{[X E( X )][Y E(Y )]} 称为随机变量 X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X ,Y ), 即
Cov( X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}.
3. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
(1) Cov( X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y );
e 2σ22 , y .
2 σ2
E( X ) μ1, E(Y ) μ2, D( X ) σ12, D(Y ) σ22.
而
概率论与数理统计
Cov(
X
,Y
)
1
2 σ1σ2
(x μ1)(
1 ρ2
y μ2 )p(x,
(x μ1)( y
y)d xd y
μ )e
(
x μ1 2σ12
Cov(X ,Y) E{[X E(X )][Y E(Y)]}
0.
(2) 若随机变量 X 和Y 相互独立
D(X Y) D(X ) D(Y) 2E{[X E(X )][Y E(Y)]} D(X ) D(Y) 2Cov(X ,Y)
D( X ) D(Y ).
例1 已知X ,Y 的联合分布为
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相关系数
概率论与数理统计
概率论与数理统计
一、相关系数的定义与性质
1. 定义
设(X ,Y )是二维随机变量, Cov(X ,Y )为 随机变量X 与Y的协方差, 称
ρXY
Cov(X ,Y ) D(X ) D(Y )
为随机变量 X 与Y 的相关系数.
注：X 和Y 的相关系数又称为标准协方差.
)2
2
e
1 2(1 ρ2
)
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
d
y
d
x
令t
1 1
ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
，u
x
μ1 σ1
，
Cov(X ,Y ) 1
概率论与数理统计
例2 设二维随机变量（X ,Y ）的联合密度函数为
p(x,
y)
=
1 3
(x
y),
0 x 1,
0 y 2,
求：cov(X ,Y);
0 ,
其它,
解
EX
xp(x, y)dxdy
1
2 x 1(x y)dxdy 5 ,
00 3
9
EY
yp(x, y)dxdy
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ), 试求
X
与Y
的相关系数.
解 由 p(x, y)
1
exp
2 σ1σ2 1 ρ2
1
2(1
ρ
2
)
(x
μ1)2 σ12
2ρ
(x
μ1)( y σ1σ2
μ2 )
(y
μ2 )2
σ
2 2
pX (x)
1
e
(
x μ1 2σ12
)2
,
x
,
2 σ1
pY ( y)
1
( y μ2 )2
不相关
概率论与数理统计
例1 设 为 , 上的均匀分布，又 X sin ,Y cos
求 X ,Y之间的相关系数.
解 E(X ) 1
sin xdx 0,
E(Y ) 1
cos xdx 0,
2
2
E( X 2 ) 1 sin2 xdx 1, E(Y 2 ) 1 cos2 xdx 1.
2. 性质
概率论与数理统计
(1) ρXY 1.
(2) ρXY 1的充要条件是存在常数 a, b 使P{Y a bX } 1.
当 ρXY 较大时 , 表明 X ,Y 的线性关系较密切. 当 ρXY 较小时, 表明X ,Y 线性相关的程度较差.
定义：当 ρXY 0 时, 称 X 和Y 不相关.
协方差
概率论与数理统计
概率论与数理统计
一、协方差的定义与性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相互独立,那么
D( X Y ) D( X ) D(Y ). 若随机变量 X 和 Y 不相互独立
D(X Y ) ? D( X Y ) E( X Y )2 [E( X Y )]2
D( X ) D(Y ) 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}. 协方差
(1) Cov( X ,Y ) Cov(Y , X );
(2) Cov(aX ,bY ) abCov( X ,Y ) , a, b 为常数;
(3) Cov( X1 X2,Y ) Cov( X1,Y ) Cov( X2,Y ).
概率论与数理统计
5. 说明 (1) 若随机变量 X 和Y 相互独立
pij X 1
0
Y
1
p
0
概率论与数理统计
0 < p <1, p + q = 1.
0
0
求 Cov(X ,Y).
解 X 的边际分布：
q
Y 的边际分布：
X Y 的分布：
X 10
Y 10
XY 1 0
P pq 故 E(X ) p,
P pq
E(Y ) p,
P pq
E(XY ) p,
cov(X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y ) p pp p(1 p) pq.
2
2
2
2
E(XY ) 1
sin x cos xdx 0,
2
cov(X ,Y ) E(XY ) EX EY 0, 0.
cov(X ,Y )
DX DY
X 与Y 不相关.
但 X 2 Y 2 1, 因此 X 与Y 不独立.
概率论与数理统计
例
2
设( X ,Y )
~
N (μ1,
证明 (1)Cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
E[ XY YE( X ) XE(Y ) E( X )E(Y )]
E( XY ) 2E( X )E(Y ) E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
4. 性质
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