运筹学课件图与网络分析

8 -1-20
哈密顿问题的应用
例 一个班级的学生共计选修 A、B、 C、D、E、F 六门课程，其中一部分人同 时选修 D、C、A，一部分人同时选修B、 C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一 部分人同时选修A、B。期终考试要求每天 考一门课，六天内考完。为了减轻学生负 担，要求每人都不会连续参加考试，试设 计一个考试日程表。
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图与网络分析
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千 言 万 语 不 及 一 张 图C
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C
A
A
Ｄ
B
B
图与网络分析
Ｄ
起点
中间点
先出后进 先进后出
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欧拉图
欧拉1739年成功解决这个一度令人神魂颠倒 的难题的绝招就是用了这种点线图，这正是“千 言万语不及一张图”。后来，人们把能够一笔画 出来的图称为“欧拉图”。
随着科技发展和计算机应用，二十世纪五十年代图论 得到进一步的发展。将庞大复杂的系统工程问题用图描述， 可以解决很多工程设计和管理决策的最优化问题。
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图与网络分析
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8.1 背景与发现
有一种图不屑特定的美学法则，也不 是按比例和图例绘制。这种图是由点和线 组成的图解或图构，可以用来描述研究对 象之间的本质关系，从而达到由表及里、 去伪存真的效果。
总愚统公
部长 子辈
局长 孙辈
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《红楼梦》中贾府人物之间的血统关系 树
（宁国府） 贾演
（荣国府） 贾源
贾代化 贾放
贾珍
贾代善
贾赦
贾政
贾敷
贾琏
贾珠
贾宝玉 贾环
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贾蓉
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贾兰
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8.1.2 发现
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百度文库
在研究七桥问题时，欧拉根据上述特点将每 块陆地用一个点来代替，将一座桥用连接相应两
个点的一条线表示，从而得到了一张图。至此， 七桥问题就变成通常所说的一笔画问题。
欧拉不仅解决了七桥问题，还给出了一个普
遍的评定法则：一个图要一笔画出来又回到原处 必须满足两个条件，一是所有点要连成一片、二 是每个点都与偶数条线相联。
具有“对称性”或“可逆
性”，但有许多关系不具 有这种对称性。为了反映 这一类不可逆的关系，可
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v3
v5
以用带箭头的联线表示。
v1
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图与网络分析
v2
v3
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统治图(家谱)与树形图
有一种结构特殊的 图可以用不带箭头的联 线明确表示出对象之间 的非对称性关系。这种 图象棵树，因此称之为 树形图。例如统治图、 家谱都属于这种图。
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例8.1 铁路干线图
北京
济南
西安
上海
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郑州
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徐州
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对阵图
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v3
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图的同构
图是反映对象之间关系的 一种工具，在一般情况下， 图中点的相对位置如何， 联线的长短曲直都是无关 紧要的。
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图与网络分析
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建模与求解
解 以每门课程为一个顶点，同时被 选修的课程之间用边相连，可得一图解。 按题意，相邻顶点对应的课程不能连续考 试，不相邻顶点对应课程允许相继考试， 因此，作图的补图。问题是在补图中寻找 一条哈密顿链，如C—E—A—F—D—B， 就是一个符合要求的考试日程表。
后来，大数学家欧拉下了断言：此路 不通。换句话说，这个问题没有解。
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七桥问题的沙盘模型
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图与网络分析
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一笔画问题
在这个问题中，陆地的大小和方位以及桥梁
的长短曲直都是无关紧要的；而重要的是两块陆 地之间是否有桥梁连接以及有几座桥梁连接。
“欧拉图”在实际中有不少应用，比如邮递 员送信的问题。
欧拉在解决“七桥问题”时，建立了图论中 最初的几个定理，从而使他成为了图论和拓扑学 的创始人。
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周游世界
英国学者威廉 • 哈密顿在1859 年发明了一种游戏。 这种游戏是将一个规则的十二面体的二十个顶点标以世 界名城的名称，要求游戏者找一条沿着棱线通过每个顶 点正好一次的闭回路。
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哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（曾一度改名加里宁格勒） 是欧洲的一个美丽的旅游城市，普莱格尔 (Pregel ) 河从城中穿过，河中有两个小岛。 十八世纪时，河两岸及小岛之间共有七座 桥。当时那里的居民热衷这样一个问题： 一个旅游者能否从某块陆地出发，经过每 座桥一次且仅一次，然后回到原地。
上述问题的解，称为哈密顿圈。含 密顿圈的图称为哈密顿图。另外，过 中每个顶点恰好一次的链称为哈密顿
哈 图 链。
与欧拉图的情况不同，目前还不知
道
哈密顿图的充要条件，寻找这种条件
是
图论中尚未解决的主要问题之一。
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图与网络分析
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哈密顿圈与哈密顿链
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图与网络分析
8 图与网络分析
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背景与发现
图的基本概念
树
最短路问题
网络最大流问题
最小费用最大流问题
中国邮递员问题
图与网络分析
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概述
图论是运筹学的重要分支。
图论在物理学、化学、生命科学、信息科学、计算机技术、 电气和工程技术、经济学、心理学、社会学、人类学和语 言学的某些领域都有应用。事实上，图论为任何一 个包含 二元关系的系统提供了一个数学模型。这个理论也 与数学 本身的许多其他分支密切相关，这些分支包括群论、矩阵 论、数值分析、概率论、拓扑学和组合学等。
一个图有许多不同的画法， 但它们描述的对象及其关 系是相同的。
设有两个图，若它们的点
及其邻接有一一对应的等
价关系，则称这两个图是 同构的。
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图与网络分析
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v2 v3
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v4 v3 v4 v5
箭线图与竞赛图
v5
上述两个例子中涉及 v1
v4
到的对象之间的“关系”
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图与网络分析
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8.1.1 背景
在实际生活中，为了反映一些人事关系人们 常常用点和线画出各种各样的示意图。
管线图 在许多管线工程技术问题中，专业人 员常用几何线形表示管线，并用节点表示管线 的交接，从而形成有关的管线图。例如交通网、 通讯网、管道网、输电网和电路等。
关系图 用由点及点间的联线构成的图去反映 日常活动中某些人、事或物等对象之间的某种 特定的关系。如人际关系、事物的关联等。