电路原理-一阶电路和二阶电路

iR。
S(t 0) 10
i C
12
+
+
6V
-
20
20
i R
10μF
u
-C
10
i C
i C
10μF +
20
20
u
-C
i R
10μF +
R 12
u
-C
二、RL电路的零输入响应
图示电路，S断开电路中的电流和电压已稳定，S断开
前一瞬间的电感电流 iL (0 ) us Rs I0 。S断开后电路中
的响应是零输入响应。
换路: 电源的接入或断开、电路结构或元件参数的突然 改变等引起电路的变化统称为“换路”。
对电路的分析往往以换路为计时起点，即令t＝0时发 生换路。换路前的一瞬时起为t＝0－，换路后的一瞬时记 为t＝0＋，并认为换路在0－至0＋瞬间完成。
原始状态：动态电路在t＝0－时的集合[uC(0－)、iL(0－)] 初始状态：动态电路在t＝0＋时的集合[uC(0＋)、iL(0＋)]
L
R
t 0
uL
L diL dt
t
RI 0e
t
t 0
三、一阶电路的零输入响应的结论
1. 求解RC电路和RL电路零输入响应的输入——输出方程
是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为 r(t) r(0 )e pt，令 特征根 p 1 ，则 是电路的时间常数，RC电路的时间常
数 RC ，RL电路的时间常数 L R 。因此，零输入响应
初始值情况下，放电时间越长。
t 0 时， uC (0) U0e0 U0
t 时， uC ( ) U0e1 0.368U0
因此， 就是 uC (t0 ) 衰减到 36.8%uC (t0 ) 所需的时间。
uC
U0
3 2 1
0.368U0
O 1
2
3
t
理论上要经过无限长时间uC才衰减至零，工程上一般
（1）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电 路的结构与参数有关，而与激励无关。
（2）对于含电容的一阶电路， RC
R：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻
[
]
伏特 安培
库 伏仑 特＝ 安安培培 秒 ＝秒
（3） 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反 映过渡特性的一个重要物理量， 越大，电惯性越大，相同
C
12
+
+
6V
-
20
20
i R
10μF
u
-C
9-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应（ZSR）：电路在零初始状态下（动态元件初始 储能为零），由外施激励引起的响应。
一、电路方程
图（a）所示电路，已知 iL 0 ，0 开关S闭合以后电路
中的响应即为零状态响应。
S(t 0) 8
a
6
i L
+
Ri
+
4V
C
u c
-
Ru
-R
解得
t
uC U0e RC
t 0
i C duC
U0
t
e RC
dt R
t 0
u C
t
i
U
uC U0e RC
U 0
0
R
u ( ) 0.368U
C
0
u (2 ) 0.135U
C
0
uC (3 ) 0.05U 0u (5 ) 0.0068U
O
C
2 3 4 5
t
0
O
i
U0
t
e RC
电路方程
L diL dt
RiL
0
R S(t 0) S
i L
+
+
初始条件
iL (0 ) iL (0 ) I0
U
-S
R
L
u
-L
解得
Rt
iL I0e L
t 0
uL
L diL dt
Rt
RI 0e L
t 0
i L
I 0
0.368I 0 O
u L
O
t
RI
0
RL电路的时间常数：
则有
t
iL I0e
认为换路后，经过 3 ~ 5 时间过渡过程结束。
t0
2
3
4
5
uC U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.0184U0 0.0068U0
（4）一阶电路微分方程的特征根为时间常数的倒数，它具 有频率的量纲，称为“固有频率”。
例9-2-1 图示电路，t＝0 时开关S断开，已知开关断
开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应uC、iC、
-
8
2H
u
-L
b
(a)
解得
2 diL dt
10iL
2
iL (0.2 0.2e5t )A
+
2ε(t)V
t 0
-
uL 2e5tε(t) V t 0
i /A L
u /V L
0.2
2
10
i L
+
2H
u
-L
(b)
Байду номын сангаас
O
t/s
O
t/s
二、一阶电路零状态响应
电路方程及解的一般形式
dr
2 diL dt
10iL
第九章 一阶电路和二阶电路
本章内容提要
1. 零输入响应、零状态响应、全响应的概念
2.一阶动态电路的零输入响应 及其标准求解方法
3.一阶动态电路的时间常数及其物理含义 4.一阶动态电路的零状态响应及其求解方法 5.一阶动态电路的全响应求解方法：三要素法 6.电容电压和电感电流不连续电路的响应求解
9-1 动态电路的响应的分类
2
ar f (t)
dt
式中r为待求响应，f(t)为由激励决定的右端项，其函数形
式取决于激励的函数形式。 指数由特征方程的特征根决定
动态 电路 响应
零输入响应
电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原
始储能（即由uC(0－)和iL(0－)决定的电路中的储 能）所引起的响应
零状态响应
电路在零状态下[即uC(0－)＝0 、 iL(0－)＝0]， 仅由输入激励引起的响应
全响应
一个非零状态的电路，由输入激励和非零原
始储能共同产生的响应
对于线性动态电路而言，全响应等于零输入 响应与零状态响应的叠加。
9-2 一阶电路的零输入响应
只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为 电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路。
一、RC电路的零输入响应（ZIR）
图示电路，S闭合前一瞬间的电容电压uC(0－)＝U0，S
闭合后电路中的响应是零输入响应。
S(t 0)
电路方程
RC duC dt
uC
0
+
i+
初始条件 uC (0 ) uC (0 ) U0
亦为
t
r(t) r(0 )e
（ r(0 )为响应的初始值）
2. RC电路和RL电路中的零输入响应电压和零输入响应电
流都以同一时间常数按指数规律变化。经过 4 ~ 5 以后，
可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。
例9-2-2 求图示电路换路后的响应 uC、 、iC 。iR
S(t 0) 10
i
R
t
从图中可以看出，uC和 i 都是从各自的初始值按相同的指
数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中 1 的大小。仅取
决于电路的结构和元件的参数。
RC
t
e RC
是一个衰减因子，RC具有时间的量纲。对于给定的
RC电路，R和C的乘积是一个常量，称为RC电路的时间常数，
用 表示，即
RC
关于时间常数 的说明：