八年级上十二章轴对称的知识点(最全)

轴对称知识点

（一）轴对称和轴对称图形

1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）

3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系

区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段

的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

（四）用坐标表示轴对称

1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；

2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；

3、点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。

关于谁谁不变，关于原点都相反

(五）关于坐标轴夹角平分线对称

点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称

（七）点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；

点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；

(七）等腰三角形

1、等腰三角形性质：

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）（八）等边三角形

（九）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。

1、性质和判定：

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60o。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。

（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（九）其他结论

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

作图题专练

1．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

2．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．

（1）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；

作法：

（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大

作法：

A

C

·

·D O B

（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题

变式练习

1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN

2．如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；

3.如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q 的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

4、已知：如图点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，

使得ΔPMQ的周长最小；

5、已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

6、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？

资料

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英语万能作文(模板型）

Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that....

随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。

As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.

然而，对于此类问题，人们持不同的看法。(Hold different attitudes 持不同的看;Come up with different attitudes 有不同的看法) As society develops, people are attaching much importance to....

随着社会的发展，人们开始关注............

People are attaching more and more importance to the interview during job hunting

求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。

As to whether it is worthwhile ....., there is a long-running controversial debate. It is quite natural that people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it.

关于是否值得___________的问题，一直以来争论不休。当然，不同的人对此可能持不同的观点。

In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma.

在都市的发展中，我们往往会陷入困境。

Recently the phenomenon has aroused wide concern, some people are in alarm that....

最近，这种现象引起了人们的广泛关注，有人开始担心

______________。

The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention.

人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度不断加快，随之给我们带来了很多问题。

...... plays such an important role that it undeniably becomes the biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse?"

_______显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是无可厚非的。不过，问题是："我们该如何抉择?"

Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges, 现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。

People from different backgrounds would put different interpretations on the same case.

不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。

The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue.

这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。不同的人对此问题的看法也不尽相同。

When asked ..., some people think..... while some prefer...

说到______，有人认为________，而另一些人则认为__________。

Just as the saying goes: "so many people, so many minds". It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.

俗话说，""。不同的人对此有不同的看法是可以理解的。

To this issue, different people come up with various attitudes.

对于这个问题，不同的人持不同的观点。

There is a good side and a bad side to everything, it goes without saying that...

万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，____________。

When it comes to ..., most people believe that ..., but other people regard ...as ....

提到_________问题，很多人认为_________，不过，一些人则认为______是____.

When faced with...., quite a few people claim that ...., but other people think as...

提到_________问题，仅少数人认为________，但另一些人则认为_________。

There is a public controversy nowadays over the issue of .... There who criticize ...argue that ...., they believe that ...,but people who favor .., on the other hand, argue that...

目前，____问题争议较大。批判_____的人认为_____，他们认为_____，不过，另一方面，赞同_____的人则认为_______。

Some people are of the opinion that.. 有些人认为_________。

Many people claim that... 很多人认为_________。

A majority of 绝大多数

A large number of 很多人

Some people contend that ... has proved to bring many advantages (disadvantages)

有些人认为________有很多有利之处(不利之处)。

Those who argue for ... say that ...economic development of the cities.

觉得_____的人认为，______ 城市的经济发展。

Some people advocate that ....

有些人在坚持认为_________。

They hold that ... 他们认为_________。

People, who advocate that ..., have their sound reasons (grounds)

坚持认为______的人也有其说法(依据)。

Those who have already benefited from practicing it sing high praise of it. 那些从中受益的人对此大家褒奖。

Those who strongly approve of ... have cogent reasons for it.

强烈认同_______的人有很多原因。

Many people would claim that... 有人会认为___________。

People who support ... give some or all of the following reasons.

那些支持_________观点的人列出了如下原因：________。

But others hold the view that ...但是，另外一些人则认为_______。

观点的用词：Attitude, opinion, 与其搭配的动词以及词组：Take, have, come up with，set forth, put forward等。

But on the other hand, there are also quite a few people who strongly advocate that..,.

不过，另一方面，也有少部分人坚持认为_______________。

But people who are ..., on the other hand , maintain that...

不过，另一方面，________的人认为__________。

However, there are a large number of people who hold a different view concerning this case.

然而，很多人对此有不同的看法。

问题用词：Issue, phenomenon，后接介词, on, over等。

However, some others argue that... 然而，另一些人则认为____。

However, there are also some others who contend that...

然而，也有人认为__________。

But other people set forth completely totally different argument concerning this case.

不过，对于此，另一些人则持完全不同的观点。

Some people examine this issue from another angle.

有的人用另一角度来看这一问题。

On the other hand, there are also many opponents who strongly ...

另一方面，也有很多反对的人，他们认为_____________。

According to my personality and fondness, I would prefer ... rather

than...

根据我的个性以及兴趣，我选择_______而不会选择__________。

Personally, I side with the latter (former) opinion...

就我个人而言，我支持后者(前者)___________。

Personally, I am in favor of the former point of view.

就我个人而言，我较同意前一种看法。

To my point of view 我认为

To my mind, the advantages far overweigh the drawbacks(disadvantages, shortcomings)

我认为，优点胜过缺点。

For my part, I stand on side of the latter opinion that..

就我而言，我较赞同后一种观点________________。

As far as I am concerned, I am inclined to be on the side of the latter view.

在我看来，我较同意后一种观点。

After a thorough consideration, for my part, I am in favor of the latter view that...

经过深思熟虑，我较支持后一种看法，亦即___________。

If asked to make a decision, I would prefer...

如果真的需要作出选择，我宁愿____________。

展现问题篇

问题的常用词：question, problem, issue

Recently, the issue of ...... has been brought into public focus.

近来，_______的问题引起了社会的广泛关注。

Now we are entering a brand new era full of opportunities and innovations, and great changes have taken place in people’s attitude towards some traditional practice.

现在我们进入了一个充满机遇和创新的崭新时代，很多人对某些传统的看法也发生了很大改变。

Recently the issue of whether or not ... has been in the limelight and has aroused wide concern in the public.

近来，是否____的问题已经非常明确而且引起了社会的广泛关注。

The issue whether it is good or not to .... has aroused a heated discussion all over the country.

______的利与弊已在全国范围内引起热烈的讨论。

At present, some people think ....while others claim ...Both sides have their merits.

目前，一些人认为_____而另一些人则认为_____。其实，两种观点都其可取之处。

People rarely reach an absolute consensus on such a controversial issue.

对于这种极具争议的话题，我们很难作出绝对的回答。

People from different backgrounds would put different interpretations on the same case.

不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。

The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue.

这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。不同的人对此问题的看法也不尽相同。

When asked ..., some people think..... while some prefer...

说到______，有人认为________，而另一些人则认为__________。

Just as the saying goes: "so many people, so many minds". It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.

俗话说，""。不同的人对此有不同的看法是可以理解的。

To this issue, different people come up with various attitudes.

对于这个问题，不同的人持不同的观点。

There is a good side and a bad side to everything, it goes without saying that...

万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，____________。

When it comes to ..., most people believe that ..., but other people regard ...as ....

提到____问题，很多人认为____，不过，一些人则认为____是____. When faced with...., quite a few people claim that ...., but other people think as...提到___问题，仅少数人认为___，但另一些人则认为____.