八年级数学第13章轴对称知识点
8年级上册数学第三单元《第十三章 轴对称》知识点总结
第十三章轴对称一、概念1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、让学生知道轴对称图形（一个图形，有一条或多条对称轴）和轴对称（两个图形，只有一条对称轴）的区别与联系4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x,- y）.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）.注意：像类似点（x，y）关于X=1对称的题目要学会做法2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等注意：知道角平分线交点（到边相等）和垂直平分线交点（到点相等）的区别四、等腰三角形1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）注意：三线合一不能直接来判定等腰三角形，需要证明全等。
新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习
第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。
人教版初二数学13章轴对称图形复习知识点
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．
５．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
底边上的高互相重合。
(3)判别方法：①有两条边相等（概念）
②等角对等边
2.等边三角形 (1)三边都相等的三角形叫做等边三角形，它是轴对称图形，有三条对称轴。
(2)性质：等边三角形的三个角都是60° (3)判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ③有三个边都相等的三角形是等边三角形
∴ AE+EF+AF =BE+EF+CF=10cm
C∠EAF= ∠BAC-∠BAE-∠CAF =120°- ∠B- ∠C=60°
例6 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠ FBC的度数。
A
解：∵ AB=AC， ∠A=50°
∴ ∠ABC= ∠C=65°
又∵ AC是线段AB的垂直平分线
；
（x，－y）
（－x，y）
1．已知点P1（a，3）和点P2（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2007= -1
2．点A（2，5）与点B（2，-3）关于直线 y=1
对称．
知识点6
•等腰三角形的性质：等边对等角 三线合一
• 等腰三角形的判定： ①有两条边相等（概念） ②等角对等边
知识点7
初中阶段五种基本的尺规作图 (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作已知角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过直线外一点作已知直线的垂线。
人教八年级数学上册第十三章轴对称知识点常见考点例析
第十三章轴对称知识点常见考点例析一.知识框架图二.轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
三.轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
线段的垂直平分线经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．四.用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；五.关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）六.关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；。
第13章轴对称知识点
第13章 轴对称知识点总结一、定义1.轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
2.轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
3.轴对称图形与轴对称的区别和联系：区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4.轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与对应点连结的线段垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
二、.线段的垂直平分线（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
（2）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
（3）垂直平分线判定：∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，∴点P 在直线m 上 。
三、等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰。
第三条边叫做底。
②两腰的夹角叫做顶角。
③腰与底的夹角叫做底角。
注意：等腰三角形底角只能是锐角。
2.等腰三角形性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。
②等边对等角。
③三线（垂线、中线、角平分线）合一。
3.等腰三角形判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
m CA B D'D C'B'A'K J I H 底边底角底角顶角腰腰CBA②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
四、等边三角形1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
人教版八年级数学上册第13章 轴对称 小结与复习
则 1=2= 1 BAC. 2
∵ AB = AC，∴ AE⊥BC.
∴∠2 +∠C = 90°.
A
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠C = 90°. ∴∠2 =∠DBC.
12 D
∴∠BAC = 2∠DBC.
B
E
C
方法总结
在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常见 的辅助线的作法是作顶角的平分线(或底边上的高、 中线)，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质，实 现线段或角之间的相互转化.
A D
6. 如图，已知等边△ABC 中，点 D、E B
分别在边 AB、BC 上，把△BDE 沿直线
DE 翻折，使点 B 落在 B1 处，DB1，EB1 D
分别交边 AC 于 M、H 点. 若∠ADM =
50°，则∠HEC 的度数为 70° .
B
AC M B1 H
EC
7. 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AC = AB + BD.
一、轴对称的相关定义和性质 1.定义 (1) 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 部分能够互相重合，这个图形就叫做_轴__对__称__图__形___， 这条直线就是它的__对__称__轴___.
(2) 将一个平面图形沿一条直线折叠，如果它能够与另 一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对
2. 如图，∠3 = 30°，为了使白球反弹后能将黑球直接
撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为
__6_0_°__.
考点二 关于坐标轴对称的点的坐标
例2 按要求完成作图：
y
(1) 作△ABC 关于 y 轴对称的
△A1B1C1； (2) 在 x 轴上找出点 P，使 PA
第13章轴对称知识点归纳教案八年级数学人教版上册
轴对称1、图形的轴对称知识点1：轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做轴对称。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点，这条直线叫做对称轴。
轴对称的识别：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
知识点2：轴对称图形如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图B．费马螺线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线知识点3：对称轴定义：能够使两个图形折叠后完全重合的折痕所在的直线叫做对称轴。
成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，因此，只要找到其任意一对对应点，作出所连线段的垂直平分线就可以得到对称轴。
知识点5：轴对称的性质①关于某条直线对称的两个图形是全等形②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。
知识点6：做轴对称图形的一般步骤①作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；（2）在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点。
②作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）（2）作——作各个特殊点关于已知直线的对称点（3）连——按原图对应连接各对称点知识点7：平面直角坐标系中的轴对称点（x，y）关于横轴（x轴）的对称点为（x，-y）点（x，y）关于纵轴（y轴）的对称点为（-x，y）点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（-x，-y）点（x，y）关于（a，b）的对称点为（2a-x，2b-y）题型考点：①根据轴对称求坐标或字母的取值的方法两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
(完整版)人教版数学八年级第十三章《轴对称》知识点及典型例题(无答案)
第十三章《轴对称》（一）轴对称和轴对称图形1 、有一个图形沿着某一条直线折叠，假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形对于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形对于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：假如一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴一定是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
4、轴对称图形的性质：假如两个图形对于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直均分线。
近似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直均分线。
连结随意一对对应点的线段被对称轴垂直均分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
5．画一图形对于某条直线的轴对称图形步骤：找到重点点，画出关键点的对应点，依据原图次序挨次连结各点。
（二）轴对称与轴对称图形的差别和联系差别：轴对称是指两个图形之间的形状与地点关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个拥有特别形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分红两个图形，这两个图形是全等形，而且成轴对称．联系： 1 ：都是折叠重合2; 假如把成轴对称的两个图形当作一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
线段的垂直均分线经过线段的中点而且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直均分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直均分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直均分线上．（证明是一定有两个点）所以线段的垂直均分线能够当作与线段两个端点距离相等的全部点的会合．（四）用坐标表示轴对称1、点（ x，y）对于 x 轴对称的点的坐标为（-x ，y）2、点（ x，y）对于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y ）；( 五）对于坐标轴夹角均分线对称点 P（x，y）对于第一、三象限坐标轴夹角均分线 y＝x 对称的点的坐标是（ y，x）点 P（x，y）对于第二、四象限坐标轴夹角均分线 y＝－ x 对称的点的坐标是（－ y，－ x）( 六）对于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）对于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）对于直线y＝n 对称的点的坐标是（x，2n－y）；（七）等腰三角形等腰三角形性质：性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边平等角”）性质 2：等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
八年级数学上第13章《轴对称》期末复习课件
折叠（对折）
这条直线就是
对称轴
1.轴对称图形的定义： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的
图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做__对__称__轴。
图(1)能与图(2)重合吗？
这条直线也是
___对_称__轴___
2.两个图形 关于某直线对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形 重合，那么我们就说这两个图_____关__于__这__条__直__线__对_。称
A
图中有哪些等腰三角形？
解：∠1=720 ∠2=360
2
等腰三角形有：
B
⊿ABC 、⊿ABD 和 ⊿BCD
D 1
C
等边三角形的定义：三条边都相等 的三角形叫做等边三角形。
A
B
C
11.等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个内角都等于60 °
12.等边三角形的判定：
判定1：
三个角都相等的三角形是 等边三角形。
判定2：
有一个角是 60°的等腰三角形是 等边三角形。
13.用法归纳
1、等腰三角形的判定方法有下列几 种：1定义 2判定定理 。
2、等边三角形的判定方法有以下几
种：1定义 2判定1 3判定2
。
3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反 。
4、运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中。
(D)
特殊的轴对称图形:
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯 形和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不 止一条
1.找到一组对应点， 2.画出以这两点为顶点的线段的垂直 平分线。
练习４：如图，已知△ABC和直线 ，作出与△ABC 关于直线 对称的图形。
初中数学人教八年级上册第十三章轴对称-线段垂直平分线的性质和判定
点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 ① ② ③
（填序号）.
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交 AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长 是 16 cm.
A
D E
B
C
6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 你能验证这一结论吗？
验证结论
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P在l
上．求证：PA =PB．
知识要点
线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的 直线，叫做这条线段的垂直平分线.
如图，MN⊥AA′， AP=A′P.
B
直线MN是线段AA ′的垂直平分线.
M A
P
C
A'
B' C'
图形轴对称或者轴对称图形的性质
N
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
对称轴上任意一点到一对对应点的距离相等。
分析：增设的公共汽车站要
满足到两个小区的路程一样
长，应在线段AB的垂直平 分线上，又要在公路边上，
A 所以找到AB垂直平分线与 公路的交点便是.
B 公共汽车站
引例：有A，B，C三个小区，现准备要建一超市， 要求超市到三个小区的距离相等，请你确定超市
的位置.
初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.2知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.2 画轴对称图形一、学习任务1. 能够作一个图形关于一条直线的轴对称图形．体会轴对称和线段垂直平分线的性质．2. 在平面直角坐标系中，会求图形轴对称后的点坐标，能够用轴对称设计简单美观的图案．3. 感受轴对称的美，感受数学的美．二、知识清单轴对称 点的坐标与坐标系三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有 个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和 ，可得 ，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、 为 为 、 上的两个顶点，请你在 边上找一点 ，使 周长最小？分析：由于 的周长 ，而 是定值，故只需在 上找一点，使 最小．如果设 关于 的对称点为 ，所以只要使 最小即可．作法：① 作 关于 的对称点 ；② 连接 交 于 点；③ 连接 ，则 周长最小， 为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：2.点的坐标与坐标系有序数对有顺序的两个数 与 组成数对，叫做有序数对（ordered pair ），记作 ．当 时， 和 是不同的两个有序实数对．平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinatesystem ）．水平的数轴称为 轴或横轴，习惯取向右为正方向，竖直的数轴称为 轴或纵轴，习惯取向上为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 轴和 轴把坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，每个部分称为象限（quadrant ），按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．点的坐标对于平面内任意一点 ，过点 向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 ，分别叫做点 的横坐标和纵坐标，有序数对 叫做点 的坐标，记作 ．坐标轴上的点不属于任何象限．点到坐标轴的距离点 到 轴的距离是点的纵坐标的绝对值，即 ；点 到 轴的距离是点的横坐标的绝对值，即 ．各象限的点的坐标点 在第一象限 ，；点 在第二象限 ，；点 在第三象限 ，；点 在第四象限 ，．坐标轴上点的坐标点 在 轴上， 为任意实数；点 在 轴上， 为任意实数；点 既在 轴上，又在 轴上，，即点 的坐标为 ．象限角平分线上的点当点在第一、三象限夹角平分线上时，则点的横纵坐标相等；当点在第二、四象限夹角平分线上时，则点的横纵坐标互为相反数．a b （a ,b ）a ≠b(a ,b )(b ,a )x y x y P P x y x y a b P （a ,b ）P P （a ,b ）P (a ,b )x |b |P (a ,b )y |a |P (x ,y )⇔x >0y >0P (x ,y )⇔x <0y >0P (x ,y )⇔x <0y <0P (x ,y )⇔x >0y <0P (x ,y )x ⇔y =0x P (x ,y )y ⇔x =0y P (x ,y )x y ⇔x =0y =0P (0,0)例题：平行于坐标轴的直线上的点平行于 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标不相等；平行于 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标不相等．关于 轴、 轴、原点对称的点① 两点关于 轴对称 两点坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数；② 两点关于 轴对称 两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同；③ 两点关于原点对称 两点坐标横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．点的平移平移口诀：在横坐标上左减右加，在纵坐标上上加下减．x yx yx⇔y⇔⇔如果将一张“ 排 号”的电影票简记为 ，那么 表示的电影票是___排___号．解：，．68(6,8)(15,20)1520如图，写出 、、、 各点的坐标．解：，，，．A B C DA(1,1)B(3,−2)C(−4,4)D(−2,−3)若点 在第二象限，则：（1） 点 在第___象限；（2） 点 在第___象限；（3） 点 在第___象限；（4） 点 在第___象限．解：（1）三；（2）一；（3）四；（4）四．先根据第二象限点的横、纵坐标的特点，判断 ， 的符号，再判断其余点所在的象限．P(a,b)(a,−b)P1(−a,b)P2(−a,−b)P3(b,a)P4a b点 到 轴的距离为____，到 轴的距离为_____．解：；．到 轴的距离就是该点纵坐标的绝对值，到 轴的距离就是该点横坐标的绝对值．P(5,−6)x y65x y已知：点 、，若 轴，则 _____；若 轴，则 _____．解： ；．过 、 两点的直线平行于 轴，显然两点的纵坐标相同，所以 ．同理，当 轴时，可知 ．E(a,1)F(−3,b)EF∥x b=EF∥y a= 1−3E F x b=1EF∥ya=−3在平面直角坐标系，点 关于 轴对称的点的坐标为_____，关于 轴对称的点的坐标为_____，关于原点对称的点的坐标为_____．解：；；．A(2,3)x y(2,−3)(−2,3)(−2,−3)在平面直角坐标系，点 向上平移 个单位长度，向右平移 个单位长度后的坐标是_______．P(−1,2)13四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）解：．在横坐标上左减右加，在纵坐标上上加下减．(2,3)答案：1. 如图，有一矩形纸片 ，将纸片折叠，使 边落在 边上，折痕为 ，再将 以 为折痕向右折叠， 与 交于点 ，则 的面积为．A ．B ．C ．D ．C ABCD ,AB =10,AD =6AD AB AE △AED DE AE BC F △CEF ()46810答案：2. 如图，在坐标平面上， 为直角三角形， ， 垂直 轴， 为 的外心．若点坐标为 ， 点坐标为 ，则 点坐标为 ．A ．B ．C ．D ．B △ABC ∠B =90∘AB x M △ABC A (3,4)M (−1,1)B ()(3,−1)(3,−2)(3,−3)(3,−4)答案：3. 下列图形中，轴对称图形的个数是 ．A ．B ．C ．D ．B ()12344. 如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有 ．()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
2022八年级数学上册 第十三章 轴对称13.3 等腰三角形 1等腰三角形第1课时 等腰三角形的性质
考查角度二 运用等腰三角形的性质判断线段间的数量关系与位置关系
13.如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于点B， CE⊥AD交AD的延长线于点E. (1)求证：CE＝CB； (2)连接BE，请写出BE与AC的位置关系，并证明.
B.AD平分∠BAC
C.AB＝2BD
D.∠B＝∠C
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若△ABC的周长为36， △ABD的周长为30，求AD的长.
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD. ∵△ABC的周长为36，∴AB＋BC＋AC＝36， ∴AB＋BD＝18. ∵△ABD的周长为30， ∴AB＋BD＋AD＝30， ∴AD＝30－18＝12.
∠OPP′的度数为( B )
A.40° B.50°
C.70°
D.80°
3.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为 48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为___2_4_°___.
4.(课本P77练习T3改编)如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠DBC＝ 28°，求∠ABC和∠C的度数. 解：设∠A＝x°.∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝x°，∴∠BDC＝2x°. ∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°. ∵∠DBC＝28°，∠BDC＋∠C＋∠DBC＝180°， ∴2x＋2x＋28＝180，∴x＝38， ∴∠C＝76°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝38°＋28°＝66°.
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E.求 证：∠CBE＝∠BAD.
八年级上册数学第十三章 轴对称 知识点总结
第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (x, y) 关于x 轴对称的点的坐标为P ' (x, y) .②点P (x, y) 关于y 轴对称的点的坐标为P " ( x, y) .⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1 条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3 条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.。
八年级数学上册第十三章轴对称知识汇总笔记(带答案)
八年级数学上册第十三章轴对称知识汇总笔记单选题1、如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的边，则这个三角形是（ ）．A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．不能确定答案：B分析：依据题意作出简单图形，根据角平分线的定义和平行线的性质得到∠A 和∠B 相等，即可得到这个三角形的形状．解：如图，CD 平分∠ACE ，且AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠DCE ，∠A ＝∠ACD ，∠B ＝∠DCE ，∴∠B ＝∠A ，∴△ABC 为等腰三角形，故选B ．小提示：本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义和平行线的性质定理（两直线平行，内错角相等），掌握三角形的外角性质，及角平分线的性质，正确作出一个简单的图形，根据等量代换得到∠A 和∠B 相等是解决本题的关键．2、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知AB =AC =3,BC =4，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2C ．127D ．125或2答案：B分析：分两种情况：若∠BFD =∠C 或若∠BFD =∠A ，再根据相似三角形的性质解题∵△ABC 沿EF 折叠后点C 和点D 重合，∴FD =CF ，设CF =x ，则FD =CF =x,BF =4−x ，以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①若∠BFD =∠C ，则BF BC=FD AC ，即4−x 4=x 3，解得x =127； ②若∠BFD =∠A ，则BF AB =FD AC ，即4−x 3=x 3，解得x =2．综上，CF 的长为127或2， 故选：B ．小提示：本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、如图，在Rt △ABC 中，观察作图痕迹，若BF =2，则CF 的长为（ ）A ．52B ．3C ．2D ．72 答案：C分析：由作图痕迹可知，DE 是BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质求解即可．解：由作图痕迹可知，DE 是BC 的垂直平分线，∴CF =BF =2，故选：C ．小提示：本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于基础题型．4、下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．答案：D分析：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．小提示：此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．5、小明用尺规在△ABC上作图，并留下如图所示的痕迹，若AB=6，AC=4，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3:2B．9:4C．9:2D．3:1答案：A分析：由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据三角形面积公式求解即可．解：由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE =DF ，∵S △ABD =12AB •DE ，S △ACD =12AC •DF ，∴S ΔABDS ΔACD =AB AC ，∵AB =6，AC =4，S ΔABDS ΔACD =64=32， 故选：A ．小提示：此题考查了三角形的面积，熟记角平分线的作法及性质是解题的关键．6、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AB =7，BD 是△ABC 的角平分线，点P ，点N 分别是BD ，AC 边上的动点，点M 在BC 上，且BM =1，则PM +PN 的最小值为（ ）A ．3B ．2√3C ．3.5D ．3√3答案：A分析：作点M 关于BD 的对称点M ′，连接PM ′，则PM ′=PM ，BM =BM ′=1，当N ，P ，M ′在同一直线上，且M ′N ⊥AC 时，PN +PM ′的最小值等于垂线段M ′N 的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM +PN 的最小值．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，∴PN+PM=PN+PM′，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，此时，∵Rt△AM′N中，∠A=30°，∴M′N=12AM′=12(7−1)=3，∴PM+PN的最小值为3，故选择A．小提示：本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7、如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误．．的是（）A．∠ADC=90∘B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD答案：C分析：根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．解：∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC,BD=CD，∴∠ADC=90∘，故选项A、D结论正确，不符合题意；又AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF，故选项B结论正确，不符合题意；由已知条件推不出AD=BC，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．小提示：本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．8、剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．答案：A分析：依据翻折变换，将图4中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．解：将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是：故选：A．小提示：本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．9、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，－3），点B的坐标为（3，－3），下列说法不正确的是（）A．点A在第三象限B．点B在第二、四象限的角平分线上C．线段AB平行于x轴D．点A与点B关于y轴对称答案：D分析：根据点坐标特征、特殊直线的解析式可以作出判断．解：A、根据点坐标的符号特征，点A在第三象限，正确；B、第二、四象限的角平分线为y=-x，并且点B坐标符合y=-x，正确；C、线段AB为y=-3，平行于x轴，正确；D、与点A关于y轴对称的点为（2，-3），错误；故选D．小提示：本题考查点坐标的应用，熟练掌握点坐标特征及特殊直线的解析式是解题关键．10、某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．答案：B分析：用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．作点A关于直线的对称点A′，连接BA′交直线l于M，根据两点之间线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．故选B小提示：本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．填空题11、如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，AD=CE，连接BD，AE，点M、N分别在线段BE、BD 上，满足BM=BN，MN=ME，若∠DBC：∠BEN=8：7，则∠AEN的度数为_______．答案：45°分析：由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，再由AD=CE，利用SAS得出三角形ACE与三角形BAD全等，得到∠EAC=∠ABD，由∠BGE为三角形ABG的外角，利用外角性质得到∠BGE=60°，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出14x+14x+8x=180°，得出x的值，利用三角形外角的性质即可得出答案；解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，在△ACE和△BAD中，{CE=AD∠C=∠BAC=60°CA=AB∴△ACE≌△BAD（SAS），∴∠CAE=∠ABD；∴∠BGE=∠ABD+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，∵∠DBC：∠BEN=8：7，设∠DBC=8x，∠BEN=7x，∵MN=ME，∴∠MNE=∠BEN=7x，∴∠BMN=14x，∵BM=BN，∴∠BMN=∠BNM =14x，在△BMN中，14x+14x+8x=180°，∴x=5°∵∠BNE=∠BGE+∠AEN=∠BNM+∠MNE=21x=105°，∴∠AEN=105°-60°=45°；所以答案是：45°小提示：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠BEG=60°和利用方程的数学思想．12、如图，ΔABC和△ABE关于直线AB对称，ΔABC和ΔADC关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若∠ABC= 32°，∠ACB=18°，则∠CFE的度数为______．答案：118°分析：根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，所以答案是：118°．小提示：此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．13、如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=_____．答案：32°分析：先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）解答即可．解：在△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−106°＝74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，∴∠EAN＝∠BAC−（∠BAE＋∠CAN）＝106°−74°＝32°．故答案为32°．小提示：本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C ＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键．14、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边AC、BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C 恰好落在AB边上的F点，若CD=4，CE=3，DE=5，则AB的长为_____________．答案：485分析：连接CF交DE于O，由已知DE=5，由三角形面积公式可求OC=125，由折叠的性质可求CF=245，由等腰三角形的判定可得AF=CF=BF=245，即可求AB的长．解：如图，连接CF交DE于O，∵将ΔCDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC=OF，CF⊥DE，∵CD=4，CE=3，∠ACB=90°，DE=5，∵SΔCDE=12×CD×CE=12×DE×CO，∴OC=125，∴CF=245，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，且∠CDE+∠ACF=90°，∠CDE=∠B，∴∠A=∠ACF，∴AF=CF=245，同理可求：BF=CF=245，∴AB=AF+BF=485，所以答案是：485．小提示：本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定，证明AF=CF=BF是本题的关键．15、如图，△ABC中，∠B=32°，∠BCA=78°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α______°．答案：81分析：根据作图痕迹可得AD是∠BAC平分线，EF是线段BC的垂直平分线，根据角与角之间关系即可求解．解：∵∠B=32°，∠BCA=78°，∴∠BAC=70°，根据作图痕迹可得AD是∠BAC平分线，∴∠CAD=35°，根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线，∴∠BCF=∠B=32°，∴∠ACF=∠ACB−∠BCF=78°−32°=46°，∴∠α=∠CAD+∠ACF=35°+46°=81°．所以答案是：81．小提示：本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握相关性质并熟练运用数形结合的思想．解答题16、如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：∠2=∠1+∠C．答案：见解析分析：延长AD交BC于点F，由BE是角平分线、AD⊥BE可知△ABF是等腰三角形且∠2＝∠AFB，根据∠AFB＝∠1＋∠C可得证．证明：如图，延长AD交BC于点F，∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，∴AB=FB，∴∠2=∠AFB，∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C．小提示：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．17、在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥BC，∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFB(AAS)．同理可得__________________④∴S△BCE=S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD．答案：∠A=∠EFB、∠AEB=∠FBE、BE=EB、△EDC≌△CFE(AAS)分析：过点E作BC的垂线EF，垂足为F，分别利用AAS证得△BAE≌△EFB，△EDC≌△CFE，利用全等三角形的面积相等即可求解．证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．如图所示，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴∠EFB=∠A①∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBE②又BE=EB③∴△BAE≌△EFB(AAS)．同理可得△EDC≌△CFE(AAS)④∴S△BCE=S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD．所以答案是：∠A=∠EFB、∠AEB=∠FBE、BE=EB、△EDC≌△CFE(AAS)小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键．18、已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）AB∥x轴；（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．答案：（1）a＝4，b＝3；（2）a＝－4，b＝－3；（3）b＝3，a为≠－4的任意实数；（4）a＝－3，b＝4 分析：（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．解：（1）A、B两点关于y轴对称，故有b＝3，a＝4；（2）A、B两点关于x轴对称；所以有a＝－4，b＝－3；（3）AB∥x轴，即b＝3，a为≠－4的任意实数．（4）如图，根据题意，a＋3＝0；b－4＝0；所以a＝－3，b＝4．小提示：本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．。
八年级数学上册第十三章轴对称知识点总结归纳(带答案)
八年级数学上册第十三章轴对称知识点总结归纳单选题1、如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB′C，再将△AB′C沿AB′所在的直线翻折得到△AB′C′，点B,B′,C′在同一条直线上，∠BAC=∠α，则∠CB′B=（）A．2αB．αC．90°−αD．90°−2α答案：A分析：由翻折的性质可得∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=∠α，∠AB′C′=∠AB′C，再根据角的和差解答即可．解：由翻折的性质可知：∠B′AC′=∠B′AC=∠BAC=∠α，∠AB′C′=∠AB′C，∴∠AB′B=90°−∠B′AC=90°−∠α，∴∠AB′C′=180°−∠AB′B=180°−(90°−∠α)=90°+∠α，∴∠AB′C=90°+∠α，∴∠CB′B=∠AB′C−∠AB′B=90°+∠α−(90°−∠α)=2∠α，∴∠CB′B=2∠α．故选：A．小提示：本题考查了翻折变换，直角三角形的两个锐角互余，解决本题的关键是掌握翻折的性质．2、如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（）A．（﹣m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，﹣n）D．（m，n）答案：D分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2020除以4，然后根据商的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，点A第二次关于x轴对称后在第四象限，点A第三次关于y轴对称后在第三象限，点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2020÷4＝505，∴经过第2020次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，其坐标为（m，n）．故选：D．小提示：本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．3、下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．小提示：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4、过直线l外一点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是( )A．B．C．D．答案：C分析：根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP=BP，AQ=BQ，∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，∴直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，∵AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；故选：C．小提示：本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．5、在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1,2)，则点A2的坐标是（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−1,2)D．(−1,−2)答案：D分析：直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，A2点坐标，即可得出答案．解：∵点A1的坐标为（1，2），点A与点A1关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），∵点A与点A2关于y轴对称，∴点A2的坐标是（-1，﹣2）．故选：D．小提示：此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．6、一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里答案：C分析：根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB 即可．解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.小提示：本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．7、如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条答案：B分析：根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．小提示：本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．8、山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．小提示：本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．9、下列四种图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．圆C．长方形D．正方形答案：B分析：分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．故选：B．小提示：此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．10、如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．2B．3C．4D．5答案：A分析：连接OP1，OP2，P1P2，点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，即得OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，根据OP1＋OP2＞P1P2，可知0＜P1P2＜2.6，即可得答案．连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，∵OP1＋OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜2.6，故选：A．小提示：本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．填空题11、如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连结P1P2交OA于M，交OB于N，若线段P1P2的长为12cm，则△PMN的周长为______cm．答案：12分析：根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2．解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴NP=NP2，MP=MP1，∴△PMN的周长=PN+MN+MP=P2N+NM+MP1=P1P2=12cm，所以答案是：12．小提示：本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．12、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中不正确结论的序号是____．答案：④×180°=90°，分析：根据全等三角形的性质可得∠AOB=∠AOD，根据平角的定义可得∠AOB=∠AOD=12即可判断①，根据全等三角形的性质得出AB=AD，BO=DO，结合①可得AC是BD的垂直平分线，即可判断②，根据SSS即可证明③，不能得出结论④．解：∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD，AB=AD，BO=DO∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠AOB=∠AOD=1×180°=90°，2∴①AC⊥BD正确；∵AB=AD，BO=DO∴AC是BD的垂直平分线，∴②CB=CD正确；∵AB=AD,BC=DC,AC=AC，∴③△ABC≌△ADC正确；由已知条件不能判断④DA=DC．所以答案是：④．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．13、在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）答案：180°﹣α．分析：根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．解：延长AE至M，使EM＝AE，连接AF，FM，DM，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△AEC与△MED中，{AE=EM∠AEC=∠DEMCE=DE，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵点F在BD的垂直平分线上，∴FB＝FD，在△MDF与△ABF中，{AB=DMBF=DF AF=FM，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，所以答案是：180°﹣α．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．14、如图，∠A=∠C=90°，且AB=AC=4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD=CE，当BD+ BE有最小值时，则ΔBDE的面积为________．答案：6分析：延长AC，以点C为圆心，AC为半径，作圆弧交延长线于点G，得AC=CG．连接AE、GE、BG，ΔADB≅ΔCEA≅ΔCEG，得BD=AE=GE，当点B，E，G三点在一条直线，BD+BE=GE+BE距离最短．过点E′作E′H∥AC交BA于点H，得ΔBHE′≅ΔE′CG，得BH=E′C=AH，BE′=E′G，D′，E′为中点时BD+BE值最小．又根据S△BD′E′=S△BAG−S△BAD′−S△D′E′G，即可求出ΔBDE的面积．延长AC，以点C为圆心，AC为半径，作圆弧交延长线于点G，连接AE、GE、BG∴AC=CG，AD=CE又∵AD=CE，BA=AC=CG∴RtΔADB≅RtΔCEA≅RtΔCEG∴BD=AE=GE∴BD+BE=GE+BE由图可知，当点B，E，G在一条直线上，距离最短过点E′作E′H∥AC交BA于点H∴E′H∥AC∴∠BE′H=∠E′GC又∵AC=HE′=CG，∠BHE′=∠E′CG=90°∴ΔBHE′≅ΔE′CG∴CE′=BH=AH=12AB=2∴S△BD′E′=S△BAG−S△BAD′−S△D′E′G∴S△BD′E′=12×8×4−12×4×2−12×6×2=6所以答案是：6．小提示：本题考查动点距离问题，平行线之间的距离相等，三角形全等知识点；熟练掌握动点距离最短，三角形全等是解题的关键．15、如图，CD垂直平分线段AB，且垂足为点M，则图中一定相等的线段有________对．答案：3分析：由CD垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线商店的点到线段两端点的距离相等，可得AC=BC，AM=BM，AD=BD，从而求得答案．∵CD垂直平分线段AB，∴AC=BC,AM=BM,AD=BD．∴图中一定相等的线段有3对．所以答案是：3．小提示：此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握其性质并能灵活运用是解题关键．解答题16、△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB= PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．答案：(1)证明见解析(2)图②结论：PB=PA+PC，证明见解析(3)图③结论：PA+PB=PC分析：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取BF=CP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△CAP≌△BAF（SAS），得∠CAP=∠BAF，AF=AP，然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论；（3）在CP上截取CF=BP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△BAP≌△CAF（SAS），得出∠CAF=∠BAP，AP=AF，然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论：PA+PB=PF+CF=PC．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴PA+PB=PC或PA+PC=PB；（2）解：图②结论：PB=PA+PC证明：在BP上截取BF=CP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AC=AB，CP=BF，∴△CAP≌△BAF（SAS），∴∠CAP=∠BAF，AF=AP，∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PC=PF+BF=PB；（3）解：图③结论：PA+PB=PC，理由：在CP上截取CF=BP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，BP=CF，∴△BAP≌△CAF（SAS），∴∠CAF=∠BAP，AP=AF，∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PB=PF+CF=PC，即PA+PB=PC．小提示：本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．17、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．(1)如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG＋DC＝AD；(2)如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．答案：(1)①见解析；②见解析(2)FG＝DC+AD分析：（1）①可以证明△ABD为等腰直角三角形，得到AD＝BD，再利用ASA判定三角形全等即可；②由上一小问中三角形全等可知DF＝DC，再去证明FA＝FG，则FG+DC＝FA+DF＝AD；（2）易知△ABD、△AGF为等腰直角三角形，BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，再证明△BDF≌△ADC，得到DF＝DC，则得到FG＝DC+AD．（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG，∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．小提示：本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意熟练掌握．18、已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）(1)如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM；(2)如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等．答案：(1)见解析(2)见解析分析：(1)作BC的垂直平分线交AC于M点，根据线段垂直平分线的性质可判断M点满足条件；(2)延长BA、CD，它们相交于点P，再作∠BPC的平分线交AC于N，利用角平分线的性质得到N点到AB和CD的距离相等，则根据三角形面积公式得到△ABN和△CDN的面积相等．（1）解：点M即为所求；（2）如图，点N即为所求．小提示：此题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线的作图，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．。
八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点
八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点一、轴对称与轴对称图形的定义1. 轴对称：如果两个图形关于某一条直线对称，那么这两个图形就叫做关于这条直线的轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
二、轴对称的性质1. 对应点性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2. 对应线段与对应角：轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
三、线段的垂直平分线1. 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
四、坐标表示轴对称1. 关于x轴对称：点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)。
2. 关于y轴对称：点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)。
五、等腰三角形与等边三角形的性质1. 等腰三角形：性质：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 （三线合一）。
判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
2. 等边三角形：性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°；等边三角形具有等腰三角形所有的性质。
判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、特殊线段的性质1. 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
2. 三角形三条边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
八年级数学上册第十三章轴对称知识点汇总(带答案)
八年级数学上册第十三章轴对称知识点汇总单选题1、已知有序数对(a,b )及常数k ，我们称有序数对(ka +b,a −b )为有序数对(a,b )的“k 阶结伴数对”．如(3,2)的“1阶结伴数”对为(1×3+2,3−2)即(5,1)．若有序数对(a,b )(b ≠0)与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为（ ）A ．－2B ．−32C ．0D ．−12答案：B分析：根据“k 阶结伴数对”的定义求出有序数对(a,b )(b ≠0)的“k 阶结伴数对”为(ka +b,a −b )，再利用(a,b )和(ka +b,a −b )关于y 轴对称，求出{b =a −b a =−(ka +b )，进一步可求出k =−32． 解：由题意可知：有序数对(a,b )(b ≠0)的“k 阶结伴数对”为(ka +b,a −b )，∵(a,b )和(ka +b,a −b )关于y 轴对称，∴{b =a −b a =−(ka +b )， 解得：k =−32． 故选：B小提示：本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，解题的关键是理解新定义，求出有序数对(a,b )(b ≠0)的“k 阶结伴数对”为(ka +b,a −b )，掌握坐标轴对称的特点，得到{b =a −b a =−(ka +b )． 2、下列说法正确的是（ ）A ．已知点M （2，﹣5），则点M 到x 轴的距离是2B ．若点A （a ﹣1，0）在x 轴上，则a ＝0C ．点A （﹣1，2）关于x 轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）D ．点C （﹣3，2）在第一象限内答案：C分析：分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x 轴上的点的纵坐标为零；关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；故选：C．小提示：本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．3、如图，在ΔABC中，AC=BC , ∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°答案：C分析：利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A=∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数.由作法得CG⊥AB，∵AB=AC，∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，∵∠ACB=180°−40°−40°=100°，∴∠BCG=1∠ACB=50°．2故选C．小提示：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.4、如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种答案：C分析：将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形．解：如图，将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5、下列润滑油1ogo标志图标中，不是．．轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6、下列体现中国传统文化的图片中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据轴对称图形的定义分析即可求解，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．是轴对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．7、下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B分析：根据等腰三角形三线合一的性质，即可判断①；根据等腰三角形三线合一的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断②；根据等腰三角形的分类，即可判断③；根据等腰三角形的性质，即可判断④；根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对称，两边的图形能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可判断⑤等腰三角形一定是轴对称图形．解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高线三线重合，故该项错误；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故该项正确；③等腰三角形不一定是锐角三角形，故该项错误；④等腰三角形两个底角相等，故该项正确；⑤等腰三角形是轴对称图形，故该项正确．综上可得：②、④、⑤正确故选：B小提示：本题考查了真假命题的判断、角平分线的性质、轴对称图形的定义、等腰三角形的性质与分类，熟练掌握相关定义与性质是解本题的关键．8、如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（）A．若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PC B．若PB=PC，AD⊥BC，则AB=ACC．若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PC D．若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC答案：D分析：根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．小提示：本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．9、如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为（）A．4B．3C．5D．6答案：A分析：先作出点C关于AD的对称点，判断出CC'=BC，进而判断出∠C'=30°，再构造出直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．解∶如图，延长CD至C'，使C'D=CD，∵∠ADC=90°，C'D=CD，∴点C'与点C关于AD对称，连接C'B交AD于P'，此时P'C'+BP'=BC'最小，∵∠A=∠ADC=90°∴CD//AB，∴∠C'=∠ABC'，∠BCC'=180°-∠ABC= 120°，∵C' D=CD，∠ADC=90°∴CC' =2CD，∵BC=2CD，∴CC' =BC，∴∠C'=∠CBC'，∴∠C'=∠ABC'=∠CBC'=30°，过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E，则BE=AD=2，在Rt△BEC'中，∠C'=30°，BE=2，∴BC' =2BE=4，即PB+ PC的值最小值为4，故选∶A．小提示：此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出CC'= BC是解本题的关键．10、如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（）A．(40,−a)B．(−40,a)C．(−40,−a)D．(a,−40)答案：B分析：直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，∵飞机E的坐标为(40，a)，∴飞机D的坐标为(-40，a)，故选：B．小提示：此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．填空题11、仔细观察图1，体会图1的几何意义．用图1的方法和结论操作一长方形纸片得图2或图3或······，OC，OD均是折痕，当B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∠A'OB'的度数是___________．答案：30°分析：由折叠的性质知，∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，再利用∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°，即可得出答案．解：由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，所以答案是：30°．小提示：本题主要考查了翻折的性质，角的和差关系等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．12、如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是边AC的中点．当△ECF的周长取得最小值时，∠EFC的度数为_____________．答案：60°##60度分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，△CEF的周长最小，根据等边三角形性质求出∠CME，∠FEM,即可求出答案．解：过E作EM∥BC，交AD于N，∴∠AMN=∠ABC,∵等边三角形ABC的边长为4，E是边AC的中点．∴AC=AB=BC=4，AE=2，∠ABC=60°=∠AMN,∠AEM=∠ACB=60°,∴EC=2=AE，△AME为等边三角形，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，△CEF的周长最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC=AB，∵AM=BM，CM⊥AB,∠ACB=30°，∠AMC=90°,．∴∠ECF=12∴∠CME=90°−60°=30°,由轴对称的性质可得：∠MEF=∠FME=30°,∴∠CFE=30°+30°=60°.所以答案是：60°小提示：本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练想利用轴对称的性质确定F的位置是解本题的关键．13、如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN 的周长为最小时，∠MPN的度数为____度．答案：84分析：作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM，得ME=MP，∠MPO=∠OEM；作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，得PN=FN，∠OPN=∠OFN；根据PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF；E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，再根据对称性质，即可求出∠MPN的角度．作P点关于OB的对称点E，连接EP，EO，EM；∴EM=MP，∠MPO=∠OEM，∠EOM=∠MOP作P点关于OA的对称点F，连接NF，PF，OF，∴PN=FN，∠OPN=∠OFN，∠PON=∠NOF∴PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF∠AOB=∠MOP+∠PON∴∠EOF=2∠AOB又∵∠AOB=48°∴∠EOF=96°∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°∴∠OEM+∠OFN=180°−96°=84°∵∠MPO=∠OEM，∠OPN=∠OFN∴∠MPO+∠OPN=84°∵∠MPN=∠MPO+OPN=84°所以答案是：84．小提示：本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．14、在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP再将△PCQ,△ADQ，分别沿PQ,AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：（1）∵∠C+∠D=180°，∴AD与BC位置关系为_________；（2）线段CD与QR的数量关系为__________．答案：AD∥BC CD=2QR分析：（1）由同旁内角互补，两直线平行即可得出；（2）由折叠的性质即可得出．（1）由折叠性质可得：∠D=∠QRA,∠C=∠QRP，∵∠QRA+∠QRP=180°，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC；（2）由折叠性质可知：DQ=QR,CQ=QR，∴CD=DQ+CQ=2QR．所以答案是：AD∥BC，CD=2QR．小提示：本题考查了折叠的性质，平行线的判定，掌握折叠的性质是解题的关键，15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC,AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于1DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为α，则α=________°．2答案：55°．分析：根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线的定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出α．如图，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠B=20°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−20°=70°，∵AM是∠BAC的平分线，∴∠2=12∠BAC=12×70°=35°，∴PQ是AB的垂直平分线，∴△AMQ是直角三角形，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=90°−∠2=90°−35°=55°，∵∠α与∠1是对顶角，∴∠α=∠1=55°．所以答案是：55°．小提示：此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．解答题16、如图，ABCD为一长方形纸片，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在长方形外的F点．(1)如图1，当∠BEA＝35°时，∠FAD的度数为．（直接填空）(2)如图2，连BD，若∠CBD＝25°，AF∥BD，求∠BAE；(3)如图3，当AF∥BD时，设∠CBD＝α，请你求出∠BAE的度数．（用α表示）答案：(1)20°(2)57.5°(3)45°+1α2分析：（1）先求出∠BAE的度数，然后根据翻折得出∠FAE的度数，再根据平行线的性质求出∠DAE的度数，即可得出结论；（2）先根据AD∥BC，∠CBD=25°得出∠ADB=25°，再由AF∥BD得出∠FAD=25°，故可得出∠AGF的度数，由平行线的性质得出∠BEF的度数，根据翻折变换的性质得出∠BEA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论；（3）同（2）的证明过程即可．（1）解：由题意知AD∥BC，∠B=90°，又∠BEA＝35°，∴∠BAE=55°，∵翻折，∴∠FAE=∠BAE=55°，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠BEA=35°．∴∠FAD=∠FAE-∠EAD=20°所以答案是：20°；（2）解∶如图2，∵AD∥BC，∠CBD=25°，∴∠ADB=25°．∵AF∥BD，∴∠FAD=25°，∴∠AGF=90°-25°=65°．∵AD∥BC，∴∠BEF=∠AGF=65°．∵△AEF由△AEB反折而成，∠BEF=32.5°，∴∠BEA=12∴∠BAE=90°-32.5°=57.5°；（3）解∶如图3，∵AD∥BC，∠CBD=α，∴∠ADB=α．∵AF∥BD，∴∠FAD=α，∴∠AGF=90°−α．∵AD∥BC，∴∠BEF =∠AGF =90°−α．∵△AEF 由△AEB 反折而成，∴∠BEA =12∠BEF =12(90°−α)=45°−12α，∴∠BAE =90°−(45°−12α)=45°+12α．所以答案是：45°+12α． 小提示：本题考查的是平行线的性质与翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．17、（1）方法呈现：如图①：在△ABC 中，若AB =6，AC =4，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE =AD ，再连接BE ，可证△ACD ≌△EBD ，从而把AB 、AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DE ⊥DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE +CF 与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，AB //CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．答案：（1）1＜AD ＜5，（2）BE +CF ＞EF ，证明见解析；（3）AF +CF ＝AB ，证明见解析．分析：（1）由已知得出AC ﹣CE ＜AE ＜AC +CE ，即5﹣4＜AE ＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD 至点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，同（1）得△BMD ≌△CFD ，得出BM ＝CF ，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵{BD=CD∠BDE=∠CDADE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；所以答案是：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．小提示：此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．18、如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明答案：(1)证明见解析；(2)AB+AC=2AE，理由见解析分析：（1）连接CD，BD，根据线段垂直平分线的性质可得CD=BD，再证明Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，可得DF=DE，再证明Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，即可得证；（2）根据全等三角形的性质可得AE=AF，进一步可得AB−AE=AF−AC，从而可得AB+AC=2AE．（1）证明：连接CD，BD，如图所示：∵DG为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，{BE=CF，BD=CD∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴DE=DF，在Rt△AFD和Rt△AED中，{DF=DE，AD=AD∴Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，∴∠FAD=∠EAD，∴AD为∠CAB的角平分线；（2）解：AB+AC=2AE，理由如下：∵Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AF，又∵BE=CF，∴AB−AE=AF−AC，即AB+AC=AE+AF=2AE，∴AB+AC=2AE．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法HL是解题的关键．。
人教版八年级数学上册第十三章线段、角的轴对称性知识点归纳及典例练习(无答案)
A
B
A
D
C
P
O
E
B
例 1：已知 ABC 中， AB=AC=10 ， DE 垂直平分 AB ，交 AC 于 E，已知 16 。求 ABC 的周长 .
BEC 的周长是
例 2：如图，已知∠ AOB 及点 C、D ，求作一点 P，使 PC=PD ，并且使点 P 到 OA 、OB 的 距离相等。
A
·D C·
断线段 AD 与 EF 有何关系 ?并说明理由。
C E
D
A
B
F
3、如图，已知：在△ ABC 中，∠BAC ＝ 90°，BD 平分∠ABC ， DE ⊥BC 于 E 。试说明 BD 垂 直平分 AE
b c
例 5：已知：如图，在Δ ABC 中， O 是∠B、∠C 外角的平分线的交点，那么点 O 在∠A 的平
分线上吗？为什么？
A
C B
D
E
O
例 6：如图，已知： AD 和 BC 相交于 O，∠1= ∠2，∠3= ∠4 。试判断 AD 和 BC 的关系，并说 C
1
A
2
3
4
O
D
明理由。
例 7：已知：如图，△ ABC 中， BC 边中垂线 ED 交 BC 于 E ，交 BA 延长线于 D，过 C 作
CF ⊥BD 于 F，交 DE 于 G，DF= 1 BC ，试说明∠ FCB= 1 ∠B
D
2
2
F
A
G
B
E
C
例 8：已知： 在∠ABC 中，D 是∠ABC 平分线上一点， E、F 分别在 AB 、AC 上，且 DE=DF 。 试判断∠BED 与∠BFD 的关系，并说明理由 .
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第十三章 轴对称知识点总结及常见题型
1、轴对称图形：
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：
两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：
（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线：
（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
如图2，
∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，
∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
如图3，
∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3，
∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，
∴点P 在直线m 上 。
6、等腰三角形：
（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰。
第三条边叫做底。
②两腰的夹角叫做顶角。
③腰与底的夹角叫做底角。
说明：底角顶角⨯-=2180ο
顶角顶角底角2
1
-902180︒=-︒=
可见，底角只能是锐角。
（2）性质：
①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。
②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。
如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC
∴∠B=∠C 。
③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。
（3）判定方法：
①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形 。
②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C
∴△ABC 是等腰三角形 。
7、等边三角形：
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（2）性质：
①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°。
（3）判定方法：
图6
m C A
B
D'D C'
B'A'
K J I
H 图1
图2 m
C
A
B
P
图3 底边
底角底角顶角
腰
腰
D
C
B A 图5 A B
C 图4
①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴△ABC 是等边三角形 。
②判定1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC 中 ∵∠A=∠B=∠C
∴△ABC 是等边三角形 。
③判定2：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC 中
∵AB=AC （或AB=BC,AC=BC ）
∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°） ∴△ABC 是等边三角形 。
（4）重要结论1：在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
如图7，
∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30° ∴BC=2
1
AB 或AB=2BC
（5）重要结论2：在Rt △中，所对如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是ο
30。
8、平面直角坐标系中的轴对称： （1）),()
,(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 （2）),(),(b a y b a -横反向，纵不变
轴对称
关于
说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。
对称点的作法见12（1）。
9、对称轴的画法：
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。
注意：①有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。
②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。
10、常见的轴对称图形： （1）英文字母。
A B D E H I K M O T U V W X Y
（2）中文。
日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，
只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。
（3）数字。
0 3 8 （4）图形。
说明：①圆有无数条对称轴。
对称轴为每一条直径所在的直线。
②正n 边形有n 条对称轴。
11、其他结论
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
（2）三角形三个边的中垂线（垂直平分线）交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
12、掌握几个作图：
（1）作出点A 关于直线m 对称的点A / 。
作法：如图
①以点A 为圆心，适当的长为半径画圆弧。
使圆弧与直线MN 交于两点C 、D 。
②分别以点C,D 为圆心，大于
CD 2
1
的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E 。
③作射线AE ，设交直线mn 于点F 。
○
4在射线AE 上截取FA /=FA ，点A /即为所求。
（2）课本62页例题1、63页例题2。
（3）课本37页10、12题。
（4）课本82页第8题。
13、作图题专练
图7
1、如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
2．、已知：
．．．．A．、．B．两点在直线
．．．．．l．的同侧，试分别画出符合
．．．．．．．．．．．
条件的点
．．．．M．．．
（．1．）如图，在
．．．．．l．上求作一点
．．．．．M．，使得
．．．AM
．．＋．BM
．．最小．
．．．（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题
A
C
·
·D O B。