八年级数学第13章轴对称知识点
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第十三章 轴对称知识点总结及常见题型
1、轴对称图形:
一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称:
两个图形沿一条直线对折,其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:
(1)区别:轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
(2)联系:把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质:
(1)成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 (3)对应点到对称轴的距离相等。 (4)对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线:
(1)定义:经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。 如图2,
∵CA=CB ,直线m ⊥AB 于C ,
∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
(2)性质:线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
如图3,
∵CA=CB ,直线m ⊥AB 于C ,点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
(3)判定:与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3,
∵PA=PB ,直线m 是线段AB 的垂直平分线,
∴点P 在直线m 上 。
6、等腰三角形:
(1)定义:有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明:底角顶角⨯-=2180ο
顶角顶角底角2
1
-902180︒=-︒=
可见,底角只能是锐角。
(2)性质:
①等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是“底边的垂直平分线”,只有一条。 ②“等边对等角”:等腰三角形的两个底角相等。 如图5,在△ABC 中 ∵AB=AC
∴∠B=∠C 。
③三线合一:顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。 (3)判定方法:
①定义法:有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5,在△ABC 中, ∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形 。 ②判定(“等角对等边”):有两个角相等的三角形是等腰三角形。 如图5,在△ABC 中 ∵∠B=∠C
∴△ABC 是等腰三角形 。 7、等边三角形:
(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形。
说明:等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形,因此,等边三角形是特殊的等腰三角形。 (2)性质:
①等边三角形是轴对称图形,其对称轴是“三边的垂直平分线” ,有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。 如图6,在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°。 (3)判定方法:
图6
m C A
B
D'D C'
B'A'
K J I
H 图1
图2 m
C
A
B
P
图3 底边
底角底角顶角
腰
腰
D
C
B A 图5 A B
C 图4
①定义法:三条边都相等的三角形是等边三角形。 如图6,在△ABC 中 ∵AB=AC=BC
∴△ABC 是等边三角形 。
②判定1:三个内角都相等的三角形是等边三角形。 如图6,在△ABC 中 ∵∠A=∠B=∠C
∴△ABC 是等边三角形 。
③判定2:有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 如图6,在△ABC 中
∵AB=AC (或AB=BC,AC=BC )
∠A=60°(∠B=60°,∠C=60°) ∴△ABC 是等边三角形 。
(4)重要结论1:在Rt △中,30°角所对直角边等于斜边的一半。 如图7,
∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30° ∴BC=2
1
AB 或AB=2BC
(5)重要结论2:在Rt △中,所对如果一条直角边等于斜边的一半,这条直角边所对的角是ο
30。 8、平面直角坐标系中的轴对称: (1)),()
,(b a x b a -横不变,纵反向轴对称关于 (2)),(),(b a y b a -横反向,纵不变
轴对称
关于
说明:要作出一个图形关于坐标轴(或直线)成轴对称的图形,只需根据作出各顶点的对称点,再顺次连结各对称点。对称点的作法见12(1)。 9、对称轴的画法:
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中,连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。
注意:①有的轴对称图形只有一条对称轴,有的不止一条,要画出所有的对称轴。 ②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。 10、常见的轴对称图形: (1)英文字母。
A B D E H I K M O T U V W X Y
(2)中文。日,目,木,土,十,士,中,一,二,三,六,米,山,甲,由,田,天,又,
只,支,圭,凹,凸,出,兰,合,全,仝,人,关,甘,等等。
(3)数字。0 3 8 (4)图形。
说明:①圆有无数条对称轴。对称轴为每一条直径所在的直线。 ②正n 边形有n 条对称轴。 11、其他结论
(1)三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三边的距离相等。
(2)三角形三个边的中垂线(垂直平分线)交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 12、掌握几个作图:
(1)作出点A 关于直线m 对称的点A / 。 作法:如图
①以点A 为圆心,适当的长为半径画圆弧。使圆弧与直线MN 交于两点C 、D 。 ②分别以点C,D 为圆心,大于
CD 2
1
的长为半径画圆弧,设两条圆弧交于点E 。 ③作射线AE ,设交直线mn 于点F 。
○
4在射线AE 上截取FA /=FA ,点A /即为所求。 (2)课本62页例题1、63页例题2。 (3)课本37页10、12题。 (4)课本82页第8题。
13、作图题专练
图7