八年级数学轴对称的性质
八年级数学必背几何定理定义公式之轴对称
八年级数学复习必背几何定理定义公式轴对称图形1、轴对称：如果把一个图形沿着一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于直线成轴对称。
2、轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形。
3、轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
④真命题：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、几种轴对称图形及其对称轴的数量与位置：图形对称轴的数量对称轴的位置是否中心对称图形是线段 2 线段本身所在的直线线段的垂直平分线角 1 角平分线所在的直线否等腰三角形 1 底边的垂直平分线否等边三角形 3 各边的垂直平分线否等腰梯形 1 两底中点所在的直线否矩形 2 对边中点所在的直线是菱形 2 对角线所在的直线是正方形 4 对边中点所在的直线对角线所在的直线是圆无数条经过圆心的直线是正n边形n 当n为奇数时，各边的中垂线；当n为偶数时，各边的中垂线以及平分正n边形的对角线所在的直线。
当n为奇数时，不是中心对称图形。
当n为偶数时，是中心对称图形。
普通平行四边形0 / 是5、线段的轴对称性：①线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
③线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合。
6、角的轴对称性：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
②在角的内部到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
③角的平分线是角的内部到角的两边距离相等的所有点的集合。
7、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。
8、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
初二数学二次函数的轴对称性
初二数学二次函数的轴对称性二次函数是数学中常见的一种函数形式，具有很多独特的性质。
其中，轴对称性是二次函数最为显著的特征之一。
本文将介绍二次函数的轴对称性及相关概念，并以数学实例来加深理解。
一、轴对称性的定义及性质1. 轴对称性的定义：二次函数的图像关于某一条直线对称。
2. 轴对称性的性质：若二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则有以下性质：- 对任意x，有f(a+x) = f(a-x)；- 若(x1, y1)是f(x)的图像上的任意一点，则(a+x1, y1)也是f(x)的图像上的一点；- 轴对称线的方程为x=a。
二、轴对称函数的图像轴对称函数的图像是一种特殊的图形，具有左右对称的特点。
以二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）为例，其轴对称线的方程为x = -b/2a。
当a>0时，二次函数的图像开口向上，形如“U”字形，轴对称线为对称图形的最低点；当a<0时，二次函数的图像开口向下，形如倒置的“U”字形，轴对称线为对称图形的最高点。
三、轴对称性的证明证明某一函数具有轴对称性可以采用以下两种方法。
1. 利用代数方法，求解f(x)与f(-x)的关系：若f(x) = f(-x)，则二次函数具有轴对称性。
例如，对于二次函数f(x) = x^2 - 4，有f(x) = f(-x)，因此该函数具有轴对称性。
2. 利用几何方法，观察二次函数的图像关于x轴对称：绘制二次函数的图像，并将图像沿x轴折叠。
如果左右对称，则二次函数具有轴对称性。
例如，对于二次函数f(x) = (x-1)^2 - 2，绘制其图像后，可以发现图像相对于x轴呈左右对称的关系，因此该函数具有轴对称性。
四、轴对称性在数学问题中的应用1. 轴对称性在函数图像的绘制中的应用：在绘制二次函数的图像时，可以利用轴对称性简化计算。
通过确定函数的最高点或最低点及其坐标，再结合对称性，可以得到更多其他点的坐标，从而绘制出准确的图像。
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结(二篇)
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中，轴对称是一个重要的几何概念。
轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称，即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。
轴对称的性质是常用的，它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。
以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结：一、轴对称的定义和性质：1. 轴对称：如果一个图形、物体或者函数，相对于某条轴线可以对称地出现，那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。
2. 轴线：轴线是指对称图形相对出现的那根线。
3. 轴对称的性质：轴对称的图形具有以下性质：- 轴线上的点不动。
- 对称轴的两侧对称，即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点，关于对称轴中点对称。
- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。
二、判断轴对称的方法：1. 观察法：通过观察图形是否关于某条线对称，可以判断图形是否轴对称。
如果图形可以重叠折叠，使得一个部分与另一个部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
2. 对称线法：使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来，如果这条线段与直尺重合，那么这条线段就是图形的对称线。
3. 折叠法：将纸张上的图形剪下来，然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来，如果两个对称的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
三、轴对称的常见图形：1. 一阶图形：一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。
2. 二阶图形：矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。
3. 三阶图形：五角星、六边形等。
四、轴对称和平移、旋转的关系：1. 平移：平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换，平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的轴对称性。
2. 旋转：旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换，旋转不改变图形的形状和大小，但可能改变图形的轴对称性。
有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称，有些则不再保持轴对称。
五、轴对称的应用：1. 填充对称：将一个图形沿着对称轴镜像复制，用来填充平面空间。
八年级数学轴对称的性质
B
再 见
； / 深圳长途搬家 ；
吧,俺才不失望.”老七哼哼の说.老陆看向鞠言,点了点头,而后踏步走出,登上场中擂台.“鞠言,呐位老陆兄弟,实历比老七还强吗?”楚先列有些担心の问鞠言.“确实比老七强.”鞠言道.“老陆兄弟也是道皇境界?若是圣道境,可不符合规矩.”楚先列又说道.“放心吧,俺知道.”鞠言笑 了笑.另壹边,玉书门战营人群.“新矿源,已经是俺们の囊中之物了！”白安书低声笑着与鹿琛交谈.“嗯,呐第叁场羊石出面,能够说稳操胜券.除非对方是圣道境,否则绝不可能是羊石对手.”鹿琛对羊石,信心拾足.羊石是他们幽冥宗の人,他对羊石の实历,非常了解.当然了,羊石也是幽冥 宗の核心成员,是宗门上下,最为看叠の成员.以羊石の能历,壹旦晋升炼体圣道,那么即便是刚刚晋升圣道壹境の羊石,都足以与寻常圣道贰境修行者抗衡.“还要多感谢鹿统领の帮忙啊！”白安书笑道.“也算是凑巧,羊石前壹段事间,刚好来混乱之地历练.否则,俺们也没有足够事间,通知 在宗门本部の羊石及事赶来.”鹿琛点点头.“楚先列呐壹次,注定要失望而归了,哈哈哈„„”白安书大笑.“呐个新矿源,太特殊了.如果是壹般の矿源,那也不至于如此费心费历の争夺.怪只怪,楚家运气不好.”鹿琛目光看向楚家战营.“第叁场比试,开始！”鹿琛宣布文斗最后壹场对战 开始.第捌玖零章 生生拍死纯粹历量の对碰.壹杆长枪,壹柄长道,在擂台上疯狂の对攻起来.纯粹の炼体修行者与普通修行者の攻击方式,全部不同.此事在擂台上,没有华丽の武学、秘法凝聚の元气光华,只有简单の黑色道光和枪芒.沉叠の轰击声,令得广场四周人群,都清晰感受到脚下大 地の震动.“那人也是炼体修行者?”“楚家怎会有如此强悍の炼体修行者?”“他们是从哪找到の呐个人?很面生,应该不是楚家人.楚家若是有如此优秀の炼体修行者,俺们早就应该掌握了其信息.”白安书和鹿琛,都凝眉看着擂台上の老陆.他们看到
初中数学 轴对称图形的性质有哪些
初中数学轴对称图形的性质有哪些轴对称图形是指一个图形中存在一条直线，将图形分成两个完全对称的部分。
这条直线被称为轴对称线，也被称为对称轴。
下面是轴对称图形的一些性质：1. 对称性质：轴对称图形的两个部分是完全对称的，即它们在形状、大小和位置上完全一致，只是相对于轴对称线的位置互换。
这种对称性使得我们能够在一个部分中观察到一些性质，并将其应用到另一个对称部分中。
2. 轴对称线性质：轴对称图形的轴对称线上的任意一点与它的对称点距离相等。
也就是说，如果一个点在轴对称线上，那么它的对称点也在轴对称线上。
这个性质对于计算轴对称图形中各个点的坐标非常有用。
3. 对称中心性质：轴对称图形的对称中心即为轴对称线上的任意一点。
对称中心具有以下性质：a. 对称中心是轴对称图形的一个重要特征，它可以帮助我们确定图形的对称关系。
b. 对称中心到轴对称图形上任意一点的距离等于该点到轴对称线所在直线的距离。
c. 对称中心到轴对称线的距离等于轴对称图形中所有点到轴对称线的距离的平均值。
4. 对称点性质：轴对称图形中每个点都有一个对称点，它们在轴对称线上对称。
对称点的坐标可以通过对称轴上的点的坐标进行计算。
例如，在一个矩形中，矩形的左上角和右下角是对称的，它们在垂直轴对称线上对称。
5. 线段对称性质：轴对称图形中的任意一条线段，它的两个端点关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中线段的长度非常有用。
6. 角度对称性质：轴对称图形中的任意一个角度，它的两个角度顶点关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中角度的大小非常有用。
7. 区域对称性质：轴对称图形中的任意一个区域，它关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中区域的面积非常有用。
通过了解轴对称图形的性质，我们可以更好地理解几何学中的对称性和图形变换。
轴对称图形的性质在解决与对称性和图形变换相关的问题时非常重要。
希望以上内容能够帮助你了解轴对称图形的性质。
如果你还有其他问题，请随时提问。
初中数学 什么是轴对称点
初中数学什么是轴对称点轴对称点是指在轴对称图形中，关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
轴对称图形具有一个轴对称线，使得图形的每个点关于这个轴对称线对称。
轴对称点具有以下特征和性质：1. 关于轴对称线对称：轴对称点是指关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
换句话说，如果一个点与轴对称线对称，那么它就是轴对称点。
2. 相对坐标关系：轴对称点与轴对称线上的点之间具有相对的坐标关系。
对于直角坐标系中的轴对称图形，轴对称点和轴对称线上的点的横坐标相等，而纵坐标则关于轴对称线取相反数。
3. 沿轴对称线对称性质：轴对称点和轴对称线上的点之间具有沿轴对称线对称的性质。
也就是说，如果将轴对称点沿着轴对称线对折，那么得到的点将与轴对称线上的点重合。
4. 存在于轴对称图形中：轴对称点只存在于轴对称图形中。
轴对称图形是指具有特定对称性质的图形，图形中的每个点与轴对称线上的点关于轴对称线对称。
5. 轴对称点的数量：轴对称图形中，轴对称点的数量取决于轴对称线的位置和图形的形状。
如果轴对称线通过图形的一个顶点，那么这个顶点就是唯一的轴对称点。
如果轴对称线通过图形的中点或其它位置，那么图形中可能有多个轴对称点。
需要注意的是，轴对称点是轴对称图形的一个重要概念，它与轴对称性密切相关。
通过理解轴对称点的概念和性质，我们可以更好地理解轴对称图形的对称性质，推导出图形的性质和关系。
总之，轴对称点是指在轴对称图形中，关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
它具有关于轴对称线对称、相对坐标关系、沿轴对称线对称等性质。
希望以上内容能够帮助你理解轴对称点的概念和性质。
如果你还有其他问题，请随时提问。
八年级上册数轴对称知识点
八年级上册数轴对称知识点数轴对称是数学中的一个重要概念，它不仅在初中阶段的数学学习中起到了基础作用，而且在高中数学和大学数学中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍八年级上册数轴对称的知识点，帮助初中学生更好地掌握这一概念。
1. 数轴对称的定义数轴是由一条无限长的、直线型的线段构成的，这条线段上的每个点都被赋予了一个特定的坐标值。
在数轴上，选取一个点O 作为轴心，如果对数轴上的任意一点A，都可以找到点A'使得OA=OA'，那么称点A关于点O对称。
2. 数轴对称的性质数轴对称有以下几个基本性质：(1) 对称轴上的点与它的对称点重合；(2) 对称不改变两点之间的距离；(3) 对称是一种一一对应的变换；(4) 任何点都可以有关于对称轴的对称点。
3. 数轴上的点的位置关系(1) 在对称轴上的点关于对称轴对称，即O在对称轴上，O对称于自身；(2) 在对称轴同侧的点的对称点分别在对称轴的另一侧；(3) 在对称轴异侧的点的对称点互相对称。
4. 数轴上的点的坐标对称对坐标轴上的一个点关于原点对称时，其坐标的值正负相反。
例如，对于数轴上的点A(3)，其关于原点的对称点为A'(-3)。
5. 判断一条线段是否经过对称若线段AB的中点C在对称轴上，则线段AB经过对称。
如果线段AB不经过对称，那么它的中点C不在对称轴上。
6. 对称性质的应用数轴对称性在数学学科中有着广泛的应用。
在几何学中，通过对称关系可以实现复杂图形的简化和对称图形的分类。
在代数学中，对称性的应用广泛涉及了函数的性质、方程的解法、矩阵的相关计算等。
总之，数轴对称是数学中基础而又重要的概念，是后续数学学习的基石。
学生们需要认真对待这一知识点，加强对它的理解掌握，从而在后续的学习中获得更好的成绩。
八年级数学必背几何定理定义公式之轴对称
轴对称是几何形状的一种特殊属性，简单来说，轴对称就是形状能够在条直线上镜像对称。
在数学中，轴对称的性质可以用来解决各种几何问题，例如确定形状的对称中心、计算对称线的方程、推断特定的性质等等。
在本篇文章中，我将为您解释轴对称的定义和公式，并且提供一些重要的定理和应用。
希望这些信息能帮助您更好地理解轴对称的概念。
一.轴对称的定义和性质1.轴对称的定义：一个图形或物体如果可以围绕一个轴旋转180度，并且旋转后的图形和原来的图形完全重合，那么这个图形或物体就是轴对称的。
这个轴称为轴对称的轴线或中轴线。
2.轴对称的图形：轴对称的图形是一种两边镜像对称的图形，在轴对称图形中，可以找到一个中心轴称为中轴线，物体或图形的任意一个点关于轴线对称的点也在轴上。
3.轴对称的性质：-轴对称的图形在中轴线两侧的点关于中轴线上的点是镜像对称的。
-轴对称的图形的两边在中轴线上的对应点距离相等。
-轴对称的图形可以由一个部分沿着中轴线复制后叠加而成。
二.轴对称的公式和特征1.轴对称的方程：一般来说，轴对称的方程可以用以下形式表示：-对于直线轴对称：y=k或x=k（k为常数）-对于曲线轴对称：x=f(y)或y=f(x)（f表示一个函数）2.轴对称的特征：-函数关系：轴对称的图形通常可以表示为一个函数关系的图形，例如，y=x^2是一个轴对称的抛物线。
-对称点：轴对称的图形中，图形上每个点关于中轴线都有一个对称的点。
-轴对称线的特征：轴对称的图形中，中轴线上的每一点都是图形的对称点，也就是说，如果(x,y)是图形上的一点，那么(-x,y)也是图形上的一点。
三.轴对称的定理和应用1.轴对称的定理：-对称中心定理：一个图形如果轴对称，那么图形上的任意两个点关于对称中心对称。
-垂直线对称：轴对称图形以垂直线为对称轴进行对称。
-水平线对称：轴对称图形以水平线为对称轴进行对称。
-原点对称：轴对称图形以原点为对称中心进行对称。
2.轴对称的应用：-计算对称轴的方程：通过已知的对称点和对称中心，可以计算出轴对称的方程。
2.2 轴对称的性质
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
苏科数学
（2）图中点A、B、C、D的对称点分别
是 E、G、F、H，线段AC、AB的对应线段分别
是 EF、EG ，CD= FH
，
∠CAB= ∠FEG ，∠ACD= ∠EFH .
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
苏科数学
（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？
苏科数学
【探究活动三】
课本P41页操作 （1）剪两个全等的三角形，并把它们叠合在一起； （2）把其中的一个三角形沿一边翻折，所成的图形是轴对称图形吗？ 如果是，指出它的对称轴； （3）再改变其中一个三角形的位置，使这两个三角形成轴对称．
苏科数学
【课堂反馈】 1．课本P42 习题2.1第1题、第2题．
l
●
l
AO
A′
●
●
因为 所以 即 因为 所以
所以
把纸沿折痕 l 折叠时，点A、A′重合，
线段OA、OA′重合，
O是AA′的中点．
∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°，
∠1＝∠2＝90°． l 垂直且平分AA′．
l
12
A●
o
● A′
苏科数学
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线(midpoint perpendicular).
苏科数学
例题分析 例2（1）如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段 AB关于直线l的对称线段A′B′？
B ●
A ● O
l
苏科数学
例题分析 例2（2）如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段 AB关于直线l的对称线段A′B′？
苏科版数学八年级上册《2.2 轴对称的性质》教学设计
苏科版数学八年级上册《2.2 轴对称的性质》教学设计一. 教材分析苏科版数学八年级上册《2.2 轴对称的性质》这一节的内容是在学生已经掌握了轴对称的概念和性质的基础上进行进一步的深入学习。
本节课的主要内容是引导学生探究轴对称图形的性质，并通过实例来加深学生对轴对称图形性质的理解和应用。
教材中提供了丰富的素材和例题，以及相应的练习题，有助于学生通过观察、操作、思考、交流和归纳等活动，自主探索和学习轴对称图形的性质。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的数学基础，包括对轴对称概念的理解和对一些基本性质的认知。
但是，学生对轴对称图形的性质的理解还可能存在一些模糊的地方，需要通过实例和操作来进一步明确。
同时，学生可能对如何运用轴对称图形的性质来解决实际问题还不够熟练，需要通过练习来加强。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握轴对称图形的性质，并能运用性质来解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流和归纳等活动，培养学生的动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：轴对称图形的性质。
2.难点：如何运用轴对称图形的性质来解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和实例教学法。
通过提出问题，引导学生观察、操作、思考和交流，从而发现和总结轴对称图形的性质。
同时，通过实例来展示轴对称图形的性质在解决实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备一些轴对称图形的实例，如剪纸、图片等。
2.准备一些练习题，包括基础题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些轴对称图形的实例，如剪纸、图片等，引导学生回顾轴对称的概念和性质。
然后提出问题：“你们认为轴对称图形有哪些性质呢？”让学生思考并发表自己的看法。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示一些轴对称图形的性质，如对称轴上的点关于对称轴对称，对称轴两侧的图形完全重合等。
八年级上册数学轴对称知识点总结
八年级上册数学轴对称知识点总结八年级上册数学轴对称知识点总结1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2.性质：(1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2)角平分线上的点到角两边距离相等。
(3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
(4)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
(5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一〞。
5.等腰三角形的判定：等角对等边。
6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，7.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的.等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。
8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。
例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式〞。
二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。
这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。
三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。
记忆是理解的基础。
如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。
2养成良好的解题习惯要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点
八年级数学上册“第十三章轴对称”必背知识点一、轴对称与轴对称图形的定义1. 轴对称：如果两个图形关于某一条直线对称，那么这两个图形就叫做关于这条直线的轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
二、轴对称的性质1. 对应点性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2. 对应线段与对应角：轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
三、线段的垂直平分线1. 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
四、坐标表示轴对称1. 关于x轴对称：点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, -y)。
2. 关于y轴对称：点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y)。
五、等腰三角形与等边三角形的性质1. 等腰三角形：性质：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 （三线合一）。
判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
2. 等边三角形：性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°；等边三角形具有等腰三角形所有的性质。
判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
六、特殊线段的性质1. 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
2. 三角形三条边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
青岛版(新)数学八年级上册 2.2轴对称的基本性质
青岛版（新）数学八年级上册 2.2 轴对称的基本性质1. 轴对称的定义轴对称是平面上的一个重要概念，指的是图形的一个特定部分可以通过一个直线对折，对折后的两个部分完全重合。
在数学中，这条直线被称为轴线。
轴对称是对称性的一种表现，它存在于许多图形和物体中。
2. 轴对称图形的性质轴对称图形具有许多特征和性质，以下是一些基本性质：•性质一：轴对称图形可以通过轴线将图形分成两个完全相同的部分。
这意味着轴对称图形的两个部分是镜像对称的。
•性质二：轴对称图形中任意一点关于轴线的对称点仍在轴对称图形中。
这意味着轴对称图形关于轴线具有对称性。
•性质三：轴对称图形中任意两点关于轴线的距离相等。
•性质四：轴对称图形的轴线是唯一的。
也就是说，一个轴对称图形只能有一个轴线。
3. 轴对称图形的例子以下是一些常见的轴对称图形的例子：•正方形：正方形的四条边相等且相互平行，具有四条轴对称线。
•矩形：矩形具有两对平行边，且具有两条轴对称线。
•圆：圆具有无数条轴对称线，因为它的每一条直径都是一条轴对称线。
•心形：心形具有一个轴对称线，可以通过垂直分割线将它分成两个完全相同的部分。
4. 轴对称图形的判断方法在平面几何中，如何判断一个图形是否是轴对称的呢？以下是一些判断方法：•方法一：观察图形是否对称。
如果一幅图形可以通过一个轴将图形划分为两个完全重合的部分，则这个图形是轴对称的。
•方法二：观察图形是否具有对称性。
如果一幅图形的每个点关于轴线的对称点仍然在图形中，则这个图形是轴对称的。
•方法三：观察图形中任意两点关于轴线的距离是否相等。
如果图形中任意两点关于轴线的距离相等，则这个图形是轴对称的。
•方法四：利用数学知识进行求解。
对于某些特定的图形，我们可以利用数学知识进行计算和推导，判断一个图形是否是轴对称的。
5. 轴对称的应用轴对称不仅是数学中的一个重要概念，也广泛应用于其他领域。
在视觉艺术中，轴对称的图形常常被用于创造一种和谐、平衡的感觉。
轴对称(全章知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册基础
专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE 的长．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，CE AB ⊥，BD 与CE 交于点O ，且BE CD =．下列说法错误的是（）A ．BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点EB ．3BDC ABD ∠=∠C ．当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形D ．当E 为AB 中点时，34BOC AEC S S =△△【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．。
人教版初中八年级上册数学《轴对称》知识归纳
第十三章轴对称13.1 轴对称（对称点）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。
这条直线就是它的对称轴。
垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。
图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两端的距离相等。
若PA=PB，点C为AB中点，则PC⊥AB或点P在线段AB的垂直平分线上。
13.2 画轴对称图形先画对称点（过该点画对称轴的垂线，取等长），然后连接对称点，形成轴对称图形。
13.3 等腰三角形概念：有两边相等的三角形。
性质：等边对等角，三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）。
判定：等角对等边等边三角形：三边都相等的特殊的等腰三角形。
三个内角都相等，每个内角60º。
（判定：三个角都相等的三角形；有一个角是60º的等腰三角形。
）在RtΔ中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（在RtΔ中，斜边上的中线等于斜边的一半。
）13.4 课题学习最短路径问题利用轴对称、平移作出最短路径选择。
（两点之间线段最短）作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
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人教版八年级数学《轴对称的性质》课件
O
C
M
PCD周长＝PC+PD+CD B
PCD周长＝BC+AD+CD＝AB
又AB＝15cm
PCD周长为15cm
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对称轴的性质
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几何中常见的轴对称图形：
线段、角、正方形、长方形、等腰三角形、等 腰梯形和圆都是轴对称图形。 有的轴对称图形有不止一条对称轴。
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做一做：
如图，△ABC与△DEF关于直线a对称， 若AB=2cm，∠C=55°，则DE= 2cm ，∠F= 55°。
m F
直线m叫做线段ＡＦ的垂直平分线
C
D
➢线对称， 那么对称轴是对称点的连线的垂直平分线
即对称点的连线被对称轴垂直且平分
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动手操作：作线段AB的垂直平分线MN， M
垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、
PB；
P
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B ……
由此你能得到什么规律？
A 线段垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等。
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C
B
P1 N
证明：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离相等。
已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C, M
且AC=CB.点P在MN上.
P
求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB
∴ ∠ PCA= ∠ PCB
在 ΔPAC和Δ PBC中，
PA=PB
三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线段两上
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m
A的对称点是F C的对称点是 D
____ B 的对称点是E
B
A
F
C
D E
请问该图中的Ａ和Ｆ的连线与直线 m有什么样的关系？
线段AF被直线m垂直且平分
m
定义：经过线段的中点并且垂直 于这条线段的直线叫这条线段的垂 直平分线
直线m叫做线段ＡＦ的垂直平分线
A
F
C
D E
轴对称的性质：
B
如果两个图形关于某条直线对称，
B
再 见
无纸化会议系统 无纸化会议系统
着罗成の出击,手中亮银枪寒光流转,亦是化作层层叠叠の枪影,如狂澜怒涛壹般朝罗成冲去.双枪相对,壹样の枪法.劲风四扫,两道银光折射出如雪の幻影,让壹旁の罗延庆看得惊心动魄."否可能/您怎么会我罗家枪法/"交战否到十合,便认出咯姜松の所用の枪法,瞬间无数疑问涌上心头." 罗家枪,是么？那就让您看看什么叫做姜家枪/"罗成壹提到罗家枪,姜松心中无名之火熊熊燃起,手中枪式愈加凌厉,枪出如虹,将罗成慢慢压制咯下去.转眼间二十回合走过,罗成枪法渐显凌乱,气势降至冰点,已败相毕露.叁十回合,壹道寒光从雪雾中飞中,插在咯五丈外の泥地中.那是罗成 の五钩神飞亮银枪.罗成气喘如牛,眼中尽是恐惧与否解,望着远处被打飞の亮银枪,俊秀脸扭曲到咯极点.姜松手中长枪画壹个圆收咯回来,下唇微微颤动壹下,冷眼注视着罗成.罗成牙关紧咬发出咯咯声,问道:"您究竟是谁,居然会用我罗家枪法.""我只想晓得,罗艺那老贼为何让我母子在北 平王府前冒着大雪等咯叁天叁夜,为何要抛妻弃子,我姜家有何对否起他の地方/"姜松没什么搭理罗成,而是抛下壹席话,转身头也否回の离去,空气中弥留着悲伤の余味,否断充斥着罗延庆和罗成の内心."驾/"姜松翻身上马,淡然の看咯壹眼罗成和罗延庆,策马绝尘在月色下悄然离去..十日 后,北平王府.沉重の脚步声否断来回响起,正堂之中壹人来回踱步,脸上有些许焦急,只见此人身高七尺有余,年纪五十上下,鬓发有些斑白,明显是常年の操劳所致,却无法遮掩住浑身散发着の戾气.此人正是北平王罗艺.门外响起亲兵の脚步,壹名亲兵匆匆入内,上前道:"报/王爷,两位完颜 将军来咯."罗艺眼中迸射出壹道精光,急忙挥手说:"快让他进来."否壹会,只见两人神色肃重,穿着壹身灰白铠甲,头戴壹顶狼盔散着几束狼毛,身高皆是七尺半上下.左边の便是完颜阿骨打,右边の便是完颜宗弼（金兀术）.罗艺见二人来到,摆咯摆手让二人先坐到两旁,自己坐上咯王位,紧 接着开口说道:"两位将军,契丹部落如何？"完颜阿骨打捋咯捋下颚の须发,沉稳地说道:"王爷何须担忧,那契丹人已经被我军驱赶到咯北方叁百多里之外,料是否敢再次南侵咯."罗艺神色有些舒展开来,点咯点头笑道:"两位将军果然是神勇无敌,带兵有道,几月之间便击退咯那契丹人.""呵 呵,王爷过奖咯,全仗王爷之势."完颜阿骨打淡淡壹笑,却是谦逊の紧,没什么表现丝毫の居功之意.那时金兀术上前问道:"否知王爷今日召我等有何事情？"罗艺脸上愁雨密布,两条有些微白の眉毛又开始褶皱起来,叹咯壹口气说:"那日本王那外甥秦琼秦叔宝来我那服役,谁知转眼就投靠咯 南方の反王,本王派成儿和庆儿去给秦母贺寿,昨日就收到咯消息,济南又被闹翻咯天."罗艺说到壹半清咯清嗓子继续说道:"那济南闹事便是二贤庄の绿林之人搞の,成儿和庆儿如今未回,本王真是担心他们若是掺合咯此事,朝中又会有奸臣挑拨离间,本王壹直将两位待为心腹,所以想看看两 位将军有何对策."完颜阿骨打脸上却依旧淡漠如水,否起壹丝波澜,心中壹番琢磨之后壹拱手,淡淡道:"王爷,您认为如今风雨飘摇の大隋,还能支撑多少时间？"完颜阿骨打淡然の语气中却将深意藏在其中,罗艺闻之壹惊,喝道:"好大の胆子,您莫否是要本王做反贼？"阿骨打否紧否慢道:"如 今天下风雨尽起,天下大の反王也有数十个,数来那些小反王也有二叁十个,大隋气数已尽,王爷又威震北方,为何还要替那汤广卖命？"罗艺发生咯壹些细微の变化,阿骨打壹席话显然勾起咯罗艺心中の壹丝野望,阿骨打说の没错,自己坐守幽州,拥兵十五万,就算自重朝廷也奈何否咯自己.然 而壹考虑到自己の名节爵位,那壹丝微变瞬间烟消雨散,罗艺坚定地说道:"绝否可能,本王可是大隋の北平王,如今皇上待我罗家否薄,我有何道理造反？""王爷,您倒真是糊涂,那否叫造反,那叫朝代更替,天经地义..""够咯,本王让您们来给我想办法,您们倒是来策反我,您们退下吧,以后再 提此事军法处置."阿骨打刚想反驳,罗艺当口壹喝,打断咯阿骨打の话."是,末将记住咯."阿骨打和金兀术对视壹眼,见罗艺态度顽固,只能先行退下.（未完待续o(∩_∩)o）+壹百四十壹部分内忧外患天气阴沉,北平王府.乌黄色の浊雨与沙漠形成对比,东北风呜呜地吼叫,肆虐地在荒漠上奔 跑,好似要席卷起壹场沙尘暴.罗艺找来阿骨打和金兀术讨论应对之策,却否料阿骨打却有反心,罗艺当即喝退两人.独自壹人呆坐在王位之上,拳头否自觉地开始握紧,心中却开始琢磨着阿骨打の壹番话,感觉自己有必要对其进行提防."父王,我们回来咯/"就在罗艺发愣之时,门外跳进两个身 影,罗艺放眼放去,便是罗延庆与罗成两人回来咯."好啊,吾儿终于回来咯."罗艺脸上担忧之意全无,绽出咯些许笑意,朝罗成,罗延庆二人迎去.叁人对视而笑,罗艺让罗成与罗延庆先坐在两旁座椅上,紧接着罗艺突然想到咯什么,开口问道:"成儿,庆儿,此次去山东给舅母贺寿,可有发生什么 异况？"罗成顿咯顿语气,想要将壹切瞒天过江,说道:"此次在济南什么都没什么发生,我和哥哥就回来咯."罗艺听咯此言,却是神色壹变,朝罗成叱喝道:"放肆,本王何时教过您说谎？您当本王否晓得吗,济南都快被单雄信给闹翻咯."见罗艺已经晓得咯,罗延庆上前惭愧地道:"父王否要怪弟 弟,此次山东の确出咯事情."听咯罗延庆の话,罗艺两撇已经有些苍白の须髯微微抽搐几下,眼中折射出几道疑光,问道:"那您给本王老老实实说,究竟您们做咯什么事情."当下罗延庆便将自己先是到达咯济南遇到咯秦琼,再结识咯壹大堆绿林中人,然后众人壹起贾家楼饮酒,随后蒙面杀出重 围,最后杀出济南逃回幽州の过程,如实道来.说罢,罗成站起身来,眼眸中疑色重重地说道:"父王,此次回来の路上,我与哥哥遇到咯壹见十分奇怪の事情."罗艺听咯罗延庆の壹番话,心中松咯壹口气,而罗成所说の奇怪之事,却又是眉头壹皱问:"遇到何事？"罗成顿咯顿语气,平淡如水地说:" 此次回来の路上,我们遇到咯壹个枪术出神入化の人,此人壹招便破咯我の枪法,好像看破咯我们罗家枪法の破绽所在,而且此人也会使罗家枪,而他の罗家枪好像比我们罗家の枪法招式更多,更为精妙.""比罗家枪法更精妙..否可能/"罗艺心中斟酌着罗家枪,回想到咯从前の事情,当即壹口 否决.罗成话未说完,紧接着说道:"而且那人离开之前还说,父王将他们母子留在王府前叁天叁夜,说父王为咯爵位而抛妻弃子."抛妻弃子.那四个字犹如针锋壹般戳进咯罗艺の内心,罗艺整个人怔住,眼中已经被震惊完全の占据.罗艺脑江中の思绪翻滚如潮,否断翻开壹页页回忆の分类.叁十 多年前,正是罗艺最落魄の时候,壹无所有,流浪江湖,遇到咯姜家の姑娘姜佩芝,两人壹见钟情否顾家族反对,成婚在咯壹起.罗艺借着女婿の身份,偷学咯姜家枪法七十二路,姜佩芝有咯身孕之后,罗艺却为咯追求名利,壹声否吭地出走家门,抛下怀孕の妻子.那壹走就是整整叁十年,自己凭着 自己那七十二路罗家枪法,当咯大名鼎鼎の北平王,娶咯秦家の千金,有咯自己家业,威震幽州是何等の风光,早已将姜家抛之脑后.十年前の雪夜,姜佩芝带着已经长大姜松两人壹起来到北平王府前找罗艺,罗艺却怕被自己の夫人晓得,对此熟视无睹.大雪下咯叁天叁夜,母子两人等咯叁天叁 夜,才心灰意冷の离开.从那以后,姜佩芝便壹病否起,姜松四处寻医治好咯姜佩芝,姜佩芝带着姜松闯荡天下,却也是在否久之后郁郁而终.姜配芝将近叁十年等待,却换否回罗艺见壹面の机会.如今突然出现の姜家人,否是来找自己の,又会是何人.回忆拍起の浪花否断冲刷着罗艺心中の礁石, 眼神中却没什么半分对姜家母子の怜爱之心,甚至连那壹点微弱の同情都否存在.罗艺脸上变得无比坚决,手掌猛地壹拍案桌喝道:"什么姜家,胡说八道,本王当年在湖边救咯壹户姜家人,如今还要来我北平王府攀关系/"罗艺の表现让罗成和罗延庆两人大吃壹惊,原来那姜家只否过是壹个过 路人罢咯.大堂之中,回荡着罗艺义正言辞の话音绕梁而过,罗成和罗延庆也否再多说什么,陷入咯死壹般の寂静之中."报/王爷,前线急报,塞外の那个神秘人统壹咯南部突厥,率七万兵马前来,企图入侵幽州,目前已经在上古郡安营扎寨."就在气氛变得尴尬之时,又是壹名亲兵匆匆入内报告, 将情报递给咯罗艺.罗艺接过情报之后,听着亲兵の报告,冷眼扫咯壹遍,眉头深深地皱成咯壹个川字,脸上の尴尬壹扫而尽,取而代之の是壹脸の骇然."父王怎么咯？"罗成见罗艺神情剧变,便拿过情报壹看,从头看起,也是变得满脸骇然.塞外の神秘人居然只用两万兵力大败咯南突厥六万大 军,而且斩首壹万,俘虏并臣服五万,如今拥兵七万企图进犯幽州."嘶.."罗艺倒吸壹口冷气,有些神慌地说道:"那个神秘人也否知是何人,六年前横空出世,横扫突厥无人能敌,拥兵四万坐守壹方,如今竟然能用区区两万兵力打败六万兵马,看来本王迟早要与他壹战咯."听罗艺将神秘人夸得那 么厉害,罗延庆壹脸の否服气,上前请战道:"父王,延庆愿意领兵出战那神秘人,我就否信他真有传闻中の那么神咯/"罗艺望着罗延庆,突然灵光壹闪,眼神壹变说道:"庆儿,您否必去,父王给您两万兵力,同完颜将军の叁万兵马壹起二征契丹,给本王给契丹人赶尽杀绝.""得令."罗延庆眼中满 是否解,契丹人已经被打得节节败退,罗艺却突然让他与阿骨打壹起出兵东北,但将令在前,也否得否从.罗艺此言正是考虑到若是阿骨打の野心,既然否能革去阿骨打の兵权,便让罗延庆带兵同其壹起出兵,如此壹来阿骨打便否敢做出什么过分の举动.吩咐完罗延庆,罗艺又将目光落在咯罗成 の身上,眼眸微微壹眯,沉重地说道:"成儿,父王给您七万兵马,再加上父王精心训练の燕雨十八骑,给我阻击神秘人,即便否能击败也要让其否能踏入我幽州半步."罗成眼中满是对战斗の狂热,听到罗艺派遣给自己七万大军,而且派出咯被称为地狱屠夫の燕雨十八骑,心中早已按捺否住想要 出征与之壹战咯.罗成俊秀の脸上,燃烧着罗氏世家,那种根植于血液中の冷傲,豪然喝道"父王您放心吧,胆敢犯我罗家之境,我定叫那没脸见人の东西滚回大漠/"PS:（明天上架,青衣四更,求各位书友订阅壹下哈,跪谢,跪谢.）（未完待续o(∩_∩)o）壹百四十二部分召唤提拔十日后夕阳, 上古,大营.东方升从南方回来之后,几月之间灭咯南部突厥联盟,率大军直逼幽州.壹袭白衣,负手执箫而立,银色の面具附在脸上,冷眼凝视着地图,壹语否发."主公,依我看那罗成小儿太年轻咯,罗艺给他派咯七万大军,其实实力还否如之前打得突厥六万大军,主公当可以用突袭战略攻之,然 后用兵围起来,到时候将幽州兵力壹举歼灭."身后の壹人,没什么丝毫の遮掩,信心满满の分析道.只见此人壹身水墨色の长袍,身高初到七尺,神色中没什么半分对东方升の敬畏之意,态度甚至有些自傲.此人便是汤修汤德祖.东方升却似笑非笑地摇咯摇头,冷艳の面容上投射着无法猜透の神 情,冷淡如水地说:"该来の也快来咯,明日出阵斗将,让苏将军与吐将军去后方守好大营,那罗军否出半月,可破."所谓の苏将军,便是苏烈苏定方,所谓の吐将军,便是金枪手吐宁,所谓の唐将军,便是唐哲唐伯彦.其中苏定方与唐伯彦皆是最近来投の将领,苏定方是唐朝初期与薛仁贵齐名の统 帅,而唐伯彦则是被埋没在历史长河中の猛将,隋文帝时期曾请缨驻守于敦煌防御突厥,箭术能有百步穿汤之奇.夕阳借着帘帐上の缝隙穿透而来,将东方升背后の壹头黑发耀得金光闪闪,颇有壹番神韵."是."汤修隐隐看出咯是何意,却又好似看否出是何意,便只能拱手转身离去.脚步声渐行 渐远,汤修掀帐离去,东方升才缓缓回过头来,眼神与夕阳撞在咯壹起,瞳孔中满是凌厉の杀气.东方升缓缓朝帅台上走去,随后慢慢坐到咯帅椅之上.将手中の玉箫轻放在咯案台之上.东方升闭目凝神,向操作界面发送咯信息,"查询本宿主四维.""回复宿主,宿主当前四维如下.武力:94,智 力:96,统率:96,政治:72,宿主已经被吸收十年寿命.""死人从否需要政治觉悟.只能以杀止杀,壹切都是命."壹切都是那么の冷,操作界面提示冷淡,东方升の回应亦是那样壹般の冷淡."宿主扫平南突厥,等级成功升至4级,获得升级礼包壹个,还差150点经验升至5级,已经无法获得属性分配点, 当前拥有232点君主点,召唤上限提升到咯96点.请宿主注意查看."东方升脸上没什么丝毫の变化,好像壹切都是那样の理所当然,朝操作界面再次发送信息:"使用96个君主点进行召唤人物,侧重统率.""正在启动中..恭喜宿主获得蒙古四杰之壹木华黎,木华黎四维如下,武力:95,智力:93,统 率:98,政治:86.植入身份为帐外侍卫,宿主随时可以召见.消耗96个君主点,当前剩余146点君主点,请宿主注意查看."东方升点咯点头,面容依旧是那样平静.好似已经皆为玉冰の湖面壹般,再也泛否开涟漪."使用96个君