简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用

简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用

摘要：在解圆锥曲线题，尤其是在比较复杂的、涉及多条曲线时，求交点、求方程往往成为令人头疼的事情，本文介绍高中数学竞赛常用的一种工具——曲线系来解题，并借几道习题来探究其实用性。

关键词：圆锥曲线，曲线系

一、介绍曲线系（本文只讨论二次曲线系） 首先，方程 Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0

表示的是一条二次曲线，包括高中涉及的圆、椭圆、双曲线、抛物线， 另补充一种情况：两条直线

我们知道 方程 A 1x+B 1y+C 1=0 和 A 2x+B 2y+C 2=0 表示的是两条直线 那么 方程 （A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0 将表示这两条直线 并且方程展开后为一个二次式。原因很简单， 所有满足上述两条直线的点的坐标都满足这个方程，故它表示的是这两条直线，特别的，当12

12

A A

B B =时，表示的是两条平行线。

我们设两个二次曲线方程 C 1=0 C 2=0

有方程 1λC 1+2λC 2=0 表示所有经过C 1与C 2交点的二次曲线 同样，不难解释，首先这是一个二次的方程，表示一条二次曲线，其次所有同时满足C 1=0 C 2=0的点都符合上式。

利用这一个关系，当我们已知该曲线方程为 S=0时

我们可以得到 1λC 1+2λC 2=S 利用左右的系数对比便可以解出问题。 二、例题分析

首先我们先以一道竞赛题来感受曲线系的威力：

（1993年全国高中数学联赛）设0

分析：以常规思路，先设出点P 坐标 P （x 0,y 0） 然后找出“四点公园”的等价条件，用含有x 0、y 0的方程表示，便能解出P 点轨迹。但是，其中不可避免的要不断进行求直线方程、求交点坐标的过程，并且要把“四点共圆”应用出来，其中运算量较大。我们考虑用系来避开这些麻烦。

解：设P （x 0，y 0）由A （a ，0）B （b ，0）写出 直线PA 、PB 方程

PA

0(a)y y x x a

=--

PB 0

0()y y x b x b

=

-- 则二次曲线 PA ·PB [00()y y x a x a -

--]·[00()y

y x b x b

---]=0 又由 抛物线方程 y 2-x=0

得 过四个点的二次曲线系方程为 λ [00()y y x a x a -

--]·[00()y

y x b x b

---]+μ（y 2-x ）=0

又由已知，四点共圆，其四点必满足方程 S ： （x-x 1）2+(y-y 1)2-r 2=0 (x 1、y 1、r 为常数)

则我们得到

λ [0

()y y x a x a ---]·[00()y y x b x b ---]+μ（y 2-x ）=（x-x 1）2+(y-y 1)2-r 2

对比两侧 xy 项的系数 可得

λ

（0000y y

x a x b

-

---）=0

得 x 0=

2

a b +（）

即为点P 轨迹

我们成功避开了求交点的繁杂过程，巧妙应用了“四点共圆”的已知条件。 需要注意的是，在对比系数是，有 x2、y2、xy 、x 、y ，以及常数项六项的系数可以对比，但我们只要找出其中最有用的即可。本例中，由于圆方程的特点：没有xy 项，故用之。

下面来看一下2014年石家庄市高三一模的圆锥曲线试题，

椭圆C ：22

221x y a b

+=，

e=2，过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为1，

1）求椭圆方程C

2）设C 的左右顶点A ，B ，点P 为直线x=1上一动点，PA 、PB 交C 于M 、N ，

解：1）2

214

x y +=，过程略

2） 设 P （1，a ） PA 0(x 2)(x 2)1(2)3

a a

y -=

+=+--

PB (x 2)y a =--

则 PA ·PB （3y-ax-2a ）（y+ax-2a ）=0

则过A 、B 、 M 、N 四点的二次曲线系方程为

22

22321)2(0y ax a ax a x y a b

μλ+-+-=--（）(y ）+

观察M 、N 、A 、B 四点，我们发现，它们也是另一条二次曲线上的点：AB ·MN ，

即x 轴与直线MN! 注意 x 轴的直线方程为 y=0！！ 故，我们只需设出MN 方程 y=kx+b 由上述曲线系方程我们得到

22

22322(1)y ax a ax a y y kx b x y a b

λμ--+-+--=-（）(y ）+（）

我们只要分别找出k 、b 即可，对比系数我们得到

32k a a a λλλ-=-= 628b a a a λλλ-=--=-

故MN ：282(4)y

a x a a x λλλ=-+=--， 恒过点（4,0） 证毕。

在这道题目中，我们同样省去了联立方程求点、展开计算的过程，这也是我们选

择曲线系的最重要的原因。

通过以上两例，读者可能已经发现，应用曲线系的过程中，交点的重要性不可忽略，所有的曲线都是围绕着交点找到并写出的。 三、总结

下面我们总结以下应用曲线方程的条件与常用步骤：

1）必须出现或者能够出现两条或两条以上的二次曲线（特别注意出现两条相交直线）；

2）存在多个交点，是应用曲线系的关键

3）调整123C C C λμ+=中C 1、C 2、C 3 的位置，通过恰当的系数对比来求出未知量。

应用曲线系时特别注意以下几点：

1）方程123C C C λμ+=与交点的存在是等价的

2）熟悉不同曲线方程的特点，有选择、有针对的对比系数

3）曲线系应用的限制较多，只适用于部分（特别是一些证明）题目，要掌握对不同题目有不同方法，不可固执。 四、

最后，以一个著名定理的推广结束本文