随机过程随机分析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一般函数存在导数的前提是函数必须连续，因 此随机过程存在导数的前提也需要随机过程必须 连续。但是，对一个随机过程要求它们所有样本 函数都连续很困难，为此我们定义了所谓的均方 连续，并给出随机过程的均方导数与它的相关函 数关系
性质3.2 如果自关函数 RX (t1 , t2 ) 在 t1 t2 时连续，
X (t t ) X (t ) Y (t ) X (t ) l i m t 0 t
X (t t ) X (t ) (t )] E l i m E [Y (t )] E [ X t 0 t
E [ X (t t ) X (t )] lim t 0 t E [ X (t t )] E [ X (t )] lim t 0 t
lim E{xn } E{lim xn } E{x}
n n
ms ms xn x 和xn y （2）均方收敛是唯一的。如果
则必有x = y
ms ms （3）如果 xn x 和 yn y 则有 ，
n , m
ms
lim E[ xn yn ] E [ xy]
3. 随机过程的的导数的自相关函数
性质3.3 如果 X (t ) 的导数 X (t ) Y (t ) 存在，
则 Y (t ) 的自相关函数可表示为：
2 Rx (t1 , t2 ) RY (t1 , t2 ) t1t2
证
RY (t1 , t2 ) E [Y (t1 )Y (t2 )]
如果它的每一个时间样本函数 X (t ) 可积，在一般意
义下可理解随机过程可积，然而在实际问题中要求
所有的时间样本函数都可积很困难，于是我们给出
在大多数样本函数可积条件下的所谓随机过程均方 可积定义。该定义类似高等数学函数可积定义：简 述为， f ( x) 在 [a, b]上可积，则有
x 0
lim f ( i )xi I f ( x)dx
lim E xn x
n
2
0
则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x，并记 为
l i m xn x
n
ms 或 xn （m· s——是英文Mean—Square缩写） x
1. 两个均方收敛性判据 里斯—菲希尔定理：对随机变量序列 构造柯西序列 xn xm 如果满足
∴
RXY (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) RY (t1 , t2 ) t1 t1 t2 2 R(t1 , t2 ) t1t2
§3.4 随机过程的积分
对于一个随机过程 X (t ) {X (t, e1 ),, X (t, en ),} {X1 (t ),, X n (t ),}
§3.2 随机过程的连续性
定义：若随机过程X(t)满足lim E [ | X (t t ) X (t ) |2 ] = 0， t 则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续（简称
m s 连续）。
另一方面，由定义知
2 E X (t t ) X (t )
∵ ∴
mX (t t ) mX (t ) dmX (t ) lim t 0 t dt
dmX (t ) E [Y (t )] mY (t ) dt
上式说明：随机过程 X (t ) 的导数 X (t ) 的数 学期望等于它的数学期望的导数，且上式的 量都是普通非随机函数，因此这个导数具有 一般意义。
t 0
lim E[ X (t t )] E[ X (t )]
证 设
Y X (t t ) X (t )
是一个随机变量
D [Y ] E [Y 2 ] E 2 [Y ]
E [Y 2 ] D [Y ] E 2 [Y ] E 2 [Y ]
E [Y ] ≥ E [Y ]
且存在二阶偏导数
R t1t2
2
t1 t2
则随机过程在均方意义下存在导数（证明略） 应当指出，随机过程有导数，首先过程必须是连 续的，但随机过程的连续性不能保证过程一定有 导数。
2. 随机过程的均方导数 X (t )的数学期望
设 Y ( x) X (t ) ，由均方导数定义，有
随机分析简介
§3.1 随机过程的收敛性
随机过程的收敛性是研究随机分析的基础，由于随 机过程的不确定性，其收敛性的选择也是多种多样 的，本节主要介绍均方收敛，这是因为均方收敛能 简化分析、比较实用。今后，本书分析和研究问题 一般都使用均方收敛概念。 定义依均方收敛：
考虑随机变量序列 {xn , n 0t2 t2 )] E [ X (t1 ) X (t2 )] lim t 20 t2
RX (t1 , t2 t2 ) RX (t2 , t1 ) RX (t1 , t2 ) lim t2 t2 0 t2
RX (t1 , t2 ) ∴ RXY (t1 , t2 ) t 2
则称Y为随机过程在均方意义下的积分。可表示为：
Y l i m X (ti ) ti X (t ) dt
b t 0 i 1 a n
注意，由随机过程均方可积定义可知其积分结果Y应 为一个随机变量。
由随机过程的均方可积定义，我们还可给出带有权 函数的随机过程均方可积定义，即
式中， 是一个权函数，且该函数为普通函数， h ( , t ) 而积分结果是一个新的随机过程。 在第二章，我们将看到， (t ) 在工程上的解释 Y 可看成线性时不变系统的输出，这个输出就是输入 的随机信号与系统冲激响应的卷积。 b 由于随机过程的均方积分 Y a X (t )dt 是一个随 机变量，下面我们来更进一步讨论随机过程的积分 Y的数学期望、均方值、方差和相关函数。
X (t1 t1 ) X (t1 ) E l i m Y (t2 ) t1 0 t1
X (t1 t1 ) Y (t2 ) X (t1 )Y (t2 ) E l i m t1 0 t1
E[ X (t1 t1 )Y (t2 )] E[ X (t1 )Y (t2 )] lim t1 0 t1 RXY (t1 t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) lim t1 0 t1
我们说当随机过程的所有样本函数，即
xn (t t ) xn (t ) x1 (t t ) x1 (t ) lim , , lim , t 0 t 0 t t
的极限都存在，则可以说随机过程的导数存在， 然而在随机过程 X (t ) {x1 (t ) xn (t )} 中可能有某些 样本函数的极限不存在，但大部分都存在，为此 我们给出一个条件较弱的随机过程在均方意义下 （即平均意义下）的导数存在定义。 定义均方可微：如果 X (t ) 满足下式
2 2
E [| X (t t ) X (t ) |2 ] ≥ E 2[ X (t t ) X (t )] ≥ 0
又∵ X (t ) 均方连续 2 lim E [| X (t t ) X (t ) | ] 0 t 0 由夹挤定理知
t 0
lim E [| X (t t ) X (t )] 0
ms
（4）如果 xn x 和 yn y ，a和b是任意常 数，则有
l i m (axn byn ) ax by
n
研究随机过程的统计变化规律，在一定条件下，有 时我们也可以借助数学分析的工具建立起随机过程的收 敛性、连续性、可微性、可积性等概念，进而可对随机 过程的变化规律有更清楚的分析了解。这部分内容属于 随机分析，这里我们只作简介。当然在此基础上，我们 还可建立随机微分方程，自从伊藤1961年建立随机微分 方程理论以来，随机微分方程发展很快，已渗透到各领 域。
2 x(t t ) X (t ) l i m X (t ) 0 t 0 t
则 X (t )称在t时刻具有均方导数 为
dx(t ) X (t ) ，记 dt
dX (t ) X (t t ) X (t ) X (t ) l i m t 0 dt t
§3.3 随机过程的微分及其数学期望与相 关函数
1. 随机过程的微分
我们知道一般函数导数定义是
y ( x x) y ( x) dy lim t 0 x dx
对于一个随机过程，在一定条件下，是不是也有 类似的导数定义，即：
X (t t ) X (t ) dX (t ) lim X (t ) t 0 t dt
RXY (t1 , t2 ) t1
又∵
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
X (t2 t2 ) X (t2 ) E X (t1 ) l i m t2 0 t2
X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t1 ) X (t2 ) lim E t2 0 t2
E X (t t ) X (t t ) X (t t ) X (t ) X (t ) X (t t ) X (t ) X (t )
RX (t t , t t ) RX (t t , t ) RX (t , t t ) RX (t , t )
t 0
lim E [ X (t t ) lim E [ X (t )] E [ X (t )]
t 0
t 0
t 0
lim E [ X (t t )] E[lim X (t t )] E[ X (t )]
这表明求极限和求数学期望的次序可以交换，这是 一个非常有用的结果，以后经常可用到。
∴有
X (t t ) X (t ) 2 lim E t 0
lim RX (t t , t t ) RX (t t , t ) RX (t , t t ) RX (t , t )
t 0
对于右边极限式，自相关函数 t1 , t2 是的函数。
b i 1 n a
n
lim f ( i )xi I 0 t 0 i 1
仿此，类似可给出随机过程均方可积定义。 定义随机过程均方可积：当我们把积分区间[a,b]分 成n个小区间并令 t max ti ，当 n 或 t 0
时，若
2 n l i m Y X (ti )ti 0 t 0 i 1
欲使右边极限为零，则需 RX (t1 , t2 ) 中,t1 t2 t ，才能 保证随机过程均方连续。 对于左边，若随机过程均方连续，则随机过程的自 相关函数，在上也处处连续。
总之，若随机过程处处均方连续，则它的自相关函
数所在上也处处连续，反之也成立。
性质3.1 若随机过程X(t)是 m s 连续的，则 它的数学期望也必定连续，即：
则必然存在一个随机变量x，使得
n , m
lim E xn xm
2
0
{xn , n 0,1,2}
ms xn x
。
洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量 序列 {xn , n 0,1, 2,}均方收敛于x的充要条件是 lim E[ xn xm ] c （c取常数） n , m 2. 均方收敛的性质 （1）如果随机变量序列 xn , n 0,1,2,}均收敛于 随机变量x，则有
性质3.2 如果自关函数 RX (t1 , t2 ) 在 t1 t2 时连续，
X (t t ) X (t ) Y (t ) X (t ) l i m t 0 t
X (t t ) X (t ) (t )] E l i m E [Y (t )] E [ X t 0 t
E [ X (t t ) X (t )] lim t 0 t E [ X (t t )] E [ X (t )] lim t 0 t
lim E{xn } E{lim xn } E{x}
n n
ms ms xn x 和xn y （2）均方收敛是唯一的。如果
则必有x = y
ms ms （3）如果 xn x 和 yn y 则有 ，
n , m
ms
lim E[ xn yn ] E [ xy]
3. 随机过程的的导数的自相关函数
性质3.3 如果 X (t ) 的导数 X (t ) Y (t ) 存在，
则 Y (t ) 的自相关函数可表示为：
2 Rx (t1 , t2 ) RY (t1 , t2 ) t1t2
证
RY (t1 , t2 ) E [Y (t1 )Y (t2 )]
如果它的每一个时间样本函数 X (t ) 可积，在一般意
义下可理解随机过程可积，然而在实际问题中要求
所有的时间样本函数都可积很困难，于是我们给出
在大多数样本函数可积条件下的所谓随机过程均方 可积定义。该定义类似高等数学函数可积定义：简 述为， f ( x) 在 [a, b]上可积，则有
x 0
lim f ( i )xi I f ( x)dx
lim E xn x
n
2
0
则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x，并记 为
l i m xn x
n
ms 或 xn （m· s——是英文Mean—Square缩写） x
1. 两个均方收敛性判据 里斯—菲希尔定理：对随机变量序列 构造柯西序列 xn xm 如果满足
∴
RXY (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) RY (t1 , t2 ) t1 t1 t2 2 R(t1 , t2 ) t1t2
§3.4 随机过程的积分
对于一个随机过程 X (t ) {X (t, e1 ),, X (t, en ),} {X1 (t ),, X n (t ),}
§3.2 随机过程的连续性
定义：若随机过程X(t)满足lim E [ | X (t t ) X (t ) |2 ] = 0， t 则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续（简称
m s 连续）。
另一方面，由定义知
2 E X (t t ) X (t )
∵ ∴
mX (t t ) mX (t ) dmX (t ) lim t 0 t dt
dmX (t ) E [Y (t )] mY (t ) dt
上式说明：随机过程 X (t ) 的导数 X (t ) 的数 学期望等于它的数学期望的导数，且上式的 量都是普通非随机函数，因此这个导数具有 一般意义。
t 0
lim E[ X (t t )] E[ X (t )]
证 设
Y X (t t ) X (t )
是一个随机变量
D [Y ] E [Y 2 ] E 2 [Y ]
E [Y 2 ] D [Y ] E 2 [Y ] E 2 [Y ]
E [Y ] ≥ E [Y ]
且存在二阶偏导数
R t1t2
2
t1 t2
则随机过程在均方意义下存在导数（证明略） 应当指出，随机过程有导数，首先过程必须是连 续的，但随机过程的连续性不能保证过程一定有 导数。
2. 随机过程的均方导数 X (t )的数学期望
设 Y ( x) X (t ) ，由均方导数定义，有
随机分析简介
§3.1 随机过程的收敛性
随机过程的收敛性是研究随机分析的基础，由于随 机过程的不确定性，其收敛性的选择也是多种多样 的，本节主要介绍均方收敛，这是因为均方收敛能 简化分析、比较实用。今后，本书分析和研究问题 一般都使用均方收敛概念。 定义依均方收敛：
考虑随机变量序列 {xn , n 0t2 t2 )] E [ X (t1 ) X (t2 )] lim t 20 t2
RX (t1 , t2 t2 ) RX (t2 , t1 ) RX (t1 , t2 ) lim t2 t2 0 t2
RX (t1 , t2 ) ∴ RXY (t1 , t2 ) t 2
则称Y为随机过程在均方意义下的积分。可表示为：
Y l i m X (ti ) ti X (t ) dt
b t 0 i 1 a n
注意，由随机过程均方可积定义可知其积分结果Y应 为一个随机变量。
由随机过程的均方可积定义，我们还可给出带有权 函数的随机过程均方可积定义，即
式中， 是一个权函数，且该函数为普通函数， h ( , t ) 而积分结果是一个新的随机过程。 在第二章，我们将看到， (t ) 在工程上的解释 Y 可看成线性时不变系统的输出，这个输出就是输入 的随机信号与系统冲激响应的卷积。 b 由于随机过程的均方积分 Y a X (t )dt 是一个随 机变量，下面我们来更进一步讨论随机过程的积分 Y的数学期望、均方值、方差和相关函数。
X (t1 t1 ) X (t1 ) E l i m Y (t2 ) t1 0 t1
X (t1 t1 ) Y (t2 ) X (t1 )Y (t2 ) E l i m t1 0 t1
E[ X (t1 t1 )Y (t2 )] E[ X (t1 )Y (t2 )] lim t1 0 t1 RXY (t1 t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) lim t1 0 t1
我们说当随机过程的所有样本函数，即
xn (t t ) xn (t ) x1 (t t ) x1 (t ) lim , , lim , t 0 t 0 t t
的极限都存在，则可以说随机过程的导数存在， 然而在随机过程 X (t ) {x1 (t ) xn (t )} 中可能有某些 样本函数的极限不存在，但大部分都存在，为此 我们给出一个条件较弱的随机过程在均方意义下 （即平均意义下）的导数存在定义。 定义均方可微：如果 X (t ) 满足下式
2 2
E [| X (t t ) X (t ) |2 ] ≥ E 2[ X (t t ) X (t )] ≥ 0
又∵ X (t ) 均方连续 2 lim E [| X (t t ) X (t ) | ] 0 t 0 由夹挤定理知
t 0
lim E [| X (t t ) X (t )] 0
ms
（4）如果 xn x 和 yn y ，a和b是任意常 数，则有
l i m (axn byn ) ax by
n
研究随机过程的统计变化规律，在一定条件下，有 时我们也可以借助数学分析的工具建立起随机过程的收 敛性、连续性、可微性、可积性等概念，进而可对随机 过程的变化规律有更清楚的分析了解。这部分内容属于 随机分析，这里我们只作简介。当然在此基础上，我们 还可建立随机微分方程，自从伊藤1961年建立随机微分 方程理论以来，随机微分方程发展很快，已渗透到各领 域。
2 x(t t ) X (t ) l i m X (t ) 0 t 0 t
则 X (t )称在t时刻具有均方导数 为
dx(t ) X (t ) ，记 dt
dX (t ) X (t t ) X (t ) X (t ) l i m t 0 dt t
§3.3 随机过程的微分及其数学期望与相 关函数
1. 随机过程的微分
我们知道一般函数导数定义是
y ( x x) y ( x) dy lim t 0 x dx
对于一个随机过程，在一定条件下，是不是也有 类似的导数定义，即：
X (t t ) X (t ) dX (t ) lim X (t ) t 0 t dt
RXY (t1 , t2 ) t1
又∵
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
X (t2 t2 ) X (t2 ) E X (t1 ) l i m t2 0 t2
X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t1 ) X (t2 ) lim E t2 0 t2
E X (t t ) X (t t ) X (t t ) X (t ) X (t ) X (t t ) X (t ) X (t )
RX (t t , t t ) RX (t t , t ) RX (t , t t ) RX (t , t )
t 0
lim E [ X (t t ) lim E [ X (t )] E [ X (t )]
t 0
t 0
t 0
lim E [ X (t t )] E[lim X (t t )] E[ X (t )]
这表明求极限和求数学期望的次序可以交换，这是 一个非常有用的结果，以后经常可用到。
∴有
X (t t ) X (t ) 2 lim E t 0
lim RX (t t , t t ) RX (t t , t ) RX (t , t t ) RX (t , t )
t 0
对于右边极限式，自相关函数 t1 , t2 是的函数。
b i 1 n a
n
lim f ( i )xi I 0 t 0 i 1
仿此，类似可给出随机过程均方可积定义。 定义随机过程均方可积：当我们把积分区间[a,b]分 成n个小区间并令 t max ti ，当 n 或 t 0
时，若
2 n l i m Y X (ti )ti 0 t 0 i 1
欲使右边极限为零，则需 RX (t1 , t2 ) 中,t1 t2 t ，才能 保证随机过程均方连续。 对于左边，若随机过程均方连续，则随机过程的自 相关函数，在上也处处连续。
总之，若随机过程处处均方连续，则它的自相关函
数所在上也处处连续，反之也成立。
性质3.1 若随机过程X(t)是 m s 连续的，则 它的数学期望也必定连续，即：
则必然存在一个随机变量x，使得
n , m
lim E xn xm
2
0
{xn , n 0,1,2}
ms xn x
。
洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量 序列 {xn , n 0,1, 2,}均方收敛于x的充要条件是 lim E[ xn xm ] c （c取常数） n , m 2. 均方收敛的性质 （1）如果随机变量序列 xn , n 0,1,2,}均收敛于 随机变量x，则有