零件的变形及强度计算

绝对变形与杆件的原有尺寸有关，为消除原长度的影响，通 常用单位长度的变形来表示杆件变形的程度，即
ε，ε’分别称为轴向线应变和横向线应变。显然，二者 的符号总是相反的，它们是无量纲量。
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2．虎克定律
实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某一
限度时，轴线变形Δl与轴向载荷FN及杆长l成正比，与杆
附加内力的大小随外力的增加而增加，当附加内力 增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在研究 零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面 的讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。
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1．截面法
截面法是用以确定零件内力的常用方法。 通过取截面，使零件内力显示出来以便确定其数值的方法。
如图a所示的杆在外力Fp的作用下处于平衡状态，力Fp的 作用线与杆的轴线重合，求截面m—m上的内力。
构件受载后保持原有平衡状态的能力。 例如千斤顶的螺杆，内燃机的连杆等。
本单元主要研究构件在载荷 （外力）作用下的变形、受力 与破坏的规律，在保证构件既 安全适用又尽可能经济合理的 前提下，为构件选择合适的材 料、确定合理的截面形状和尺 寸提供必要的基础知识和实用 的计算方法。
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第一节 零件的拉伸和压缩
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如将杆件设想为由无数纵向纤维所组成，由此推想它们的受 力是相同的，在横截面上各点的内力是均匀分布的，横截面 上各点的应力也是相等的。若以FN表示内力（N），A表示 横截面积（mm2），则应力σ(MPa)的大小为
这就是拉（压）杆横截面上的应力计算公式。 σ 的方向与 FN一致，即垂直于横截面。垂直于横截面的应力，称为正 应力，都用 表示。和轴力的符号规定一样，规定拉应力为 正；压应力为负。
（二）许用应力
零件由于变形和破坏而失去正常工作的能力，称为失效。零件在失效前，
允许材料承受的最大应力称为许用应力，常用[σ]表示。为了确保零件的安
全可靠，需有一定的强度储备，为此用极限应力除以一个大于1的系数
（安全系数）所得商作为材料的许用应力[σ]。
对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显著的塑性变形而失 效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故拉、压许用应力同为
（1）确定AB、BC两杆 的轴力 用截面法在图a上按m-n 截面取研究对象，其受 力图如图c所示，可得
F N2F B C, F N 1F A B
列平衡方程求解：
Fy 0
FN1sin60 FP 0
FN1
FP sin60
20103
(
)N 23.09kN
0.866
Fx 0
FN2 FN1 cos60 0
FN2 .FN1 cos60 23.09kN0.511.55kN
（2）校核BC杆强度
BC
FN2 ABC
FN2
dB2C
41(210.5510130)32
Pa
4
36.76106Pa36.76MPa[]
故BC杆满足强度要求。 （3）确定AB杆直径
A FN [ ]
其中 AAB dA2B /4
所以 d A B4 F [N 1 ]4 2 3 5 .8 0 9 1 0 1 6 0 3m 2 2 .5 1 0 3 m 2 2 .5 m m
的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即
引进比例常数E，则有
比例常数E称为弹性模量，其值随材料不同而异。 EA乘积越大，零件变形越小，EA称为抗拉（压）刚度。
则有
σ = Eε
上式是虎克定律的又一表达形式，即虎克定律可以表述 为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。
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五、零件拉伸与压缩时的强度计算
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三、拉伸和压缩时的应力
杆件是否破坏，不取决于整个截面上的内力大小，而取 决于单位面积上所分布的内力大小。 单位面积上的内力称为应力，它所反映的是内力在截面 上的分布集度。 其单位为帕斯卡（Pa），工程上常用兆帕（MPa）。 1Pa=1N/m2，1Mpa=106Pa。
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通过观察拉杆的变形情况来推测内力的分布情况 取一等直杆，在其侧面上划两条垂直于轴线的直线ab、cd， 如图a所示。并在杆的两端加一对轴向拉力FP，使其产生拉 伸变形。
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根据拉伸过程中试样承受的应力σ和产生的应变ε 之间的关
系，可以绘出该金属的σ— ε 曲线。
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通过对低碳钢的 曲线分析可 知，试样在拉伸过程中经历了 弹性变形（oab段）、塑性变 形（bcde段）和断裂（e点） 三个阶段。
上述比例极限 、p 屈服点 和s 抗 拉强度 分 别b 是材料处于弹性比 例变形时和塑性变形、断裂前 能承受的最大应力，称为极限 应力。
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（2）分段计算轴力 按外力作用位置，将杆分成三段，并在每段内任意取一个 截面，用截面法计算截面上的轴力，如图c所示
AB段
Fx 0
FN1 R 0 得 FN1 R 6kN
计算结果为正值，表明图示N1 的方向正确，AB段受拉伸。
BC段
Fx 0
FN2P 1R0 得 FN2RP 1(618)kN12kN
用假象平面在m—m处将杆
截开，分成左右两段，根据
F N
作用力与反作用力定理,
F
和
N
F N大小相等、方向相反。
取左段为研究对象
FX 0
FN FP 0
FN FP
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综上所述，用截面法求内力的步骤为：
1. 一截为二。即在欲求内力处，假想用一截面将零件一截 为二；
2. 弃一留一。即选其中一部分为研究对象并画受力图（包 括外力和内力）；
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例2 某车间自制一台简易吊车（图a）。已知在铰接点B处吊起 重物最大为FP=20kN，杆AB与BC均用圆钢制作，且 dBC=20mm，材料的许用应力[σ]=58Mpa。试校核BC杆的强度， 并确定AB杆的直径dAB（不计杆自重）。
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解 由受力分析可知， AB杆和BC杆分别为轴 向受拉和轴向受压的 二力杆，受力图如图b 所示。
即本单元研究的对象为构件是均 匀连续的、各向同性的理想弹性
体，限于小变形的范围内。
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二、变形的基本形式
杆件在各种不同方式的外力作用下产生不同形式的变形。 变形的基本形式有四种： ➢ 轴向拉伸（压缩）变形 ➢ 剪切（挤压）变形 ➢ 扭转变形 ➢ 弯曲变形
其它复杂的变形都 可以看成是这几种 基本变形的组合。
式中，nS是塑性材料的屈服安全系数。
对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失效（如铸铁）。 考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般不同，故有
式中，nb是脆性材料的断裂安全系数；[σl] 和 [σy]分别是拉伸许用应力和 压缩许用应力；σbl和σby分别是材Leabharlann Baidu的.抗拉强度和抗压强度。
（三）强度条件
为了保证零件有足够的强度，就必须使其最大工作应力σmax不 超过材料的许用应力[σ]。即
上式称为拉（压）强度条件式，是拉（压）零件强度计算的 依据。式中，FN是危险截面上的轴力；A是危险截面面积。
根据强度条件式，可以解决三类问题： 强度校核：已知零件的尺寸、所承受的载荷以及材料的许用应力。 设计截面：已知零件所承受的载荷和材料的许用应力。 确定许可载荷：已知零件的尺寸及材料的许用应力。
和确定许可载荷问题
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变形分析的基本知识
一、变形固体及其基本假设
任何物体受载荷（外力）作用后其内部质点都将产生相对 运动，从而导致物体的形状和尺寸发生变化，称为变形。
例如，橡皮筋在两端受拉后就发生伸长变形；工厂车间 中吊车梁在吊车工作时，梁轴线由直变弯，发生弯曲变形。 在外力的作用下会产生变形的物体可统称为变形固体。
其值表示各横截面位置，取垂直于χ轴的FN为纵坐标轴，其值表示对应 截面的轴力值，正值画在χ轴上方，负值画在χ轴下方。
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例1 试计算如图a所示等直杆的轴力，并画出轴力图。
解：
（1）求约束反力 取全杆为研究对象，作受力图，如图b所示。 根据平衡方程：
Fx 0
则
P 1P2P3R0
得 R P 1 P 2 P 3 ( 1 8 8 4 ) k N 6 k N
变形固体在外力的作用下会产生两种不同的变形： ✓当外力消除后，变形也会随着消失，这种变形称为弹 性变形； ✓外力消除后，变形不能完全消除并且具有残留的变形， 称为塑性变形。
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当物体的外力在一定的范围时，塑性变形很小，可 以把构件当作只发生弹性变形的理想弹性变形体。
假设弹性体内连续不断地充满着物质，各点处的材 料性质完全相同，且各方向上的性质都相同。这就是 变形固体的基本假设。
二、刚度
构件抵抗变形的能力。
在某些情况下，构件虽有足够的强度，但若受力后变形过 大，即刚度不够，也会影响正常工作。例如机床主轴变形 过大，将影响加工精度；吊车梁变形过大，吊车行驶时会 产生较大振动，使行驶不平稳，有时还会产生“爬坡”现 象，需要更大的驱动力。因此对这类构件要保证有足够的 刚度。
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三、稳定性
3. 列式求解。即列研究对象的静力平衡方程，并求解内力。
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2．轴力
与杆轴线重合的内力又称为轴力。 轴力的符号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线方 向一致时，轴力为正；反之为负。由此可知，拉杆的轴力 为正，压杆的轴力为负。
为了形象直观地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘制成轴力图。 作法是：以杆的左端为坐标原点，取平行于轴线的χ轴为横坐标轴，
一、拉伸和压缩的概念
工程上经常遇到承受拉伸或压缩的零件。如图a所示的起 重机吊架中的拉杆AB（拉伸），图b所示的建筑物中的支柱 （压缩）。
受力零件的共同特点是：外力的作用线与零件的轴线重 合，零件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。
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二、轴向拉伸和压缩时的内力
构件上的载荷和约束力统称为外力。 零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位 置的变化，材料内部会产生一种附加内力，力图使各 质点恢复其原来位置。
计算结果为负值，表明图示N2的方向相反，BC段受压缩。
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CD段
Fx 0
FN3 P3 0
得
FN3 P3 4kN
计算结果为负值，表明图示N3 的方向相反，AB段受压缩。
（3）绘制轴力图
正轴力画在x轴上方，负轴力 画在x轴下方，如图d所示
轴力图不仅显示了轴力随截面位置的变化情况和最大轴力所在 截面的位置，而且还明显地表示了杆件各段是受拉还是受压。
（一）极限应力
在应力作用下，零件的变形和 破坏还与零件材料的力学性能有关。 力学性能是指材料在外力作用下表 现出来的变形和破坏方面的特性。 金属材料在拉伸和压缩时的力学性 能通常由拉伸试验测定。
把一定尺寸和形状的金属试 样（图a）装在拉伸试验机上，然 后对试样逐渐施加拉伸载荷，直至 把试样拉断为止（图b）。
零件的变形及强度计算
主讲人：李文达 班级：机械1301
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零件的变形及强度计算
➢ 零件的拉伸和压缩 ➢ 零件的剪切和挤压 ➢ 圆轴的扭转 ➢ 直梁的弯曲 ➢ 零件组合变形的强度计算 ➢ 交变应力作用下零件的疲劳强度
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学习任务
１.明确材料力学的基本任务，理解构件的强度、刚度和稳定 性的力学意义。
２.理解内力的概念，能熟练利用截面法求解内力。 ３.理解应力、变形和应变的概念。 ４.能熟练地计算轴力，作轴力图。 5.理解零件强度条件，并能够熟练解决强度校核、设计截面
塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变形。该阶 段又弹分性屈变服形阶阶段段（，b试c-样塑的性变变形形与迅应速力增加）、强化阶段（cd材料始恢终复呈抵线抗性能关力系）。和应颈力缩σp阶称段为（比d例e-试样局部出现颈缩）。 应力极σ限s称。为图屈中服直点线，oa当的零斜件率实就际是应材力料达到屈服点时，将会引起 显著的的弹塑性性模变量形E。。应力σb称为抗拉强度，当零件实际应力达 到抗拉强度应力值时，将会出现. 破坏。
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零件变形过大时，会丧失工作精度、引起噪声、降低使用寿 命，甚至发生破坏。
为了保证机械设备在载荷作用下能安全可靠地工作， 必须要求每个构件具有足够的承受载荷的能力，简称 承载能力。
构件的承载能力分为：
强度、刚度、稳定性
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一、强度
强度要求是对构 件的最基本要求。
构件抵抗破坏的能力。
构件在外力作用下不破坏必须具有足够的强度，例如房屋大 梁、机器中的传动轴不能断裂，压力容器不能爆破等。
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四、拉伸和压缩时的变形
1．变形与应变 杆件在受轴向拉伸时，轴向尺寸伸长，横向尺寸缩小。受轴向 压缩时，轴向尺寸缩短，横向尺寸增大。设等直杆的原长为l， 横向尺寸为b。变形后，长为l1，横向尺寸为b1，如图所示。
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杆件的轴向变形量为 横向变形量为
Δl称为轴向绝对变形，Δb称为横向绝对变形。 拉伸时，Δl为正，Δb为负；压缩时，Δl为负，Δb为正。