第二章参数估计

第二章 参数估计

一、填空题

1、总体X 的分布函数为);(θx F ，其中θ为未知参数，则对θ常用的点估计方法有 ， 。

2、设总体X 的概率密度为

(),(;)0,x e x f x x θθ

θθ--⎧≥=⎨<⎩

而12,,

,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为

_______

3、设321,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，且μ=)(X E ，记

3211313131X X X ++=

μ，321221

4141X X X ++=μ 2132121X X +=μ， 32144

1

4141X X X ++=μ

则哪个是μ的有偏估计 ，哪个是μ的较有效估计 。

4、随机变量X 的分布函数);(θx F 中未知参数θ的有效估计量和极大似然估计量的关系为 。

5、随机变量X 的分布函数);(θx F 中未知参数θ的有效估计量和最优无偏估计量的关系为 。

6、称统计量),,,(21n X X X T T =为可估函数)(θg 的（弱）一致估计量是

指 。

7、判断对错：设总体),(~2σμN X ，且μ与2σ都未知，设n X X X ,...,,21是来自

该总体的一个样本，设用矩法求得μ的估计量为1ˆμ、用极大似然法求得μ的估计量为2ˆμ

，则1ˆμ=2ˆμ。 _________________

8、ˆn θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ .

解：ˆˆlim (), lim Var()0n n

n n E θθθ→∞

→∞

==． 9、已知1021,,x x x 是来自总体X 的简单随机样本，μ=EX 。令

∑∑==+=10

7

6

181ˆi i i i x A x μ

，则当=A 时，μˆ为总体均值μ的无偏估计。

10、 设总体()θ,0~U X ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为

0.51.30.61.7 2.21.20.81.5 2.01.6， ， ， ， ， ， ， ， ， 则参数θ的矩估计为 。

11、 设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .

解：1212

ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 12、设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。

13、在参数的区间估计),(21θθ中，当样本容量n 固定时，精度12θθ-提高时，置信度α-1 。

14、设n X X X ,,,21 是来自总体)1,(~μN X 的样本，则μ的置信度为0.95的置信区间为 。

15、设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，其中2σ未知，则μ的置信度为0.95的置信区间为 。

16、设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，其中μ未知，则2σ的置信度为0.95的置信区间为 。

17、设X 服从参数为λ的指数分布，)2(,,,,21>n X X X n 是来自总体X 的样本，

X 为其样本均值，则X n λ2服从 分布。

18、设总体服从正态分布)1,(μN ，且μ未知，设n X X X ,...,,21为来自该总体的一

个样本，记∑==n

i i X n X 1

1，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是

___________________________________；若已知95.01=-α，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取多大_______。

18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 。

19、设总体X 未知参数为λ，X 为样本均值, X N(0,1)，

则λ的一个双侧近似1-α置信区间为 。

20、设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。

21、设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、2σ 未知，则2σ的置信度为1－α的置信区间为 。

22、设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ ；

=)ˆ(θ

D 。

23、设总体),(~2σμN X ，若μ和2σ均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间为),(λλ+-X X ，则λ的值为________；

24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二、简述题

1、描述矩估计法的原理。

2、描述极大似然估计法的原理。

3、极大似然估计法的一般步骤是什么？

4、评价估计量好坏的标准有哪几个？

5、什么是无偏估计？

6、什么是较有效？

7、什么叫有效估计量？

8、判断可估函数)(θg 是有效估计量的充要条件是什么？ 9、什么是最优无偏估计量？

10、什么是一致最小方差无偏估计量？

11、有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么？ 12、什么叫均方误差最小估计量？ 13、叙述一致估计量的概念。

14、试述评价一个置信区间好坏的标准。

15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。

三、单选题

1、设总体未知参数θ的估计量θ满足()E θθ=,则θ一定是θ的( ) A 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计

2、设总体未知参数θ的估计量θ满足()E θθ≠,则θ一定是θ的( )

A 极大似然估计

B 矩估计

C 有偏估计

D 有效估计

3、设n X X X ,,,21 为来自均值为μ的总体的简单随机样本，则),,2,1(n i X i =（ ）

A ．是μ的有效估计量

B ．是μ的一致估计量