2010江苏高考数学试卷含答案

2010年江苏高考数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1. 设集合{}3,1,1-=A ，{}

4,22

++=a a B ，{}3=⋂B A ，则实数a 的值为 ▲ .

2. 设复数z 满足i i z 46)32(+=-（其中i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ .

3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 ▲ .

4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 ▲ 根在棉花纤维的长度小于20mm.

5. 设函数))(()(R x ae e x x f x

x

∈+=-是偶函数，则实数a = ▲ .

6. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线

112

42

2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标 是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ▲ .

7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ▲ .

8. 函数)0(2

>=x x y 的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正 整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= ▲ .

9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆42

2

=+y x 上有且仅有四个点到直线

0512=+-c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是 ▲ .

10. 定义在区间⎪⎭

⎫

⎝

⎛

20π,

上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，

过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与x sin =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的 长为 ▲ .

11. 已知函数21,0

()1,

0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 ▲ .

12. 设实数y x ,满足94,8322

≤≤≤≤y x xy ，则43

y

x 的最大值是 ▲ . 13. 在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b

a C a

b +

=，则tan tan tan tan C C A B

+= ▲ . 14. 将边长为m 1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2

(S =梯形的周长）梯形的面积

,则S 的最小值是 ▲ .

（第4题图）

（第7题图）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1). （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.

16. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. （1）求证：PC ⊥BC ；

（2）求点A 到平面PBC 的距离.

17. （本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度m h 4=，仰角 ∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之

差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？

（第17题图）

18. （本小题满分16分）

在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TB TA ,与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中0>m ,0,021<>y y . （1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；

（2）设3

1

,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点.（其坐标与m 无关）

19.（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n

S 是公差为d 的等差数

列.

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）

（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求

证：c 的最大值为

2

9.

（第18题图）

20.（本小题满分16分）

设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2

+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . （1）设函数)(x f )1(1

2

)(>+++

=x x b x h ，其中b 为实数 （ⅰ）求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； （ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；

（2）已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，

设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围.