Ch4.1 空间谱估计原理
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经典方法——波束形成法 基于空间谱定义E[P(φ)] = wHRxxw计算，分辨力受瑞利准则限制。 超分辨方法 所有分辨力超过波束形成法的谱估计算法，主要包括： IMP法、Capon法、参数化方法
. . . .
1 r
干扰
目标
Y ( ) [am e
m 1
]e
上式是典型的傅立叶变换公式。
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
9
实际阵列输入信号x=s+n，则单次快拍阵列输出功率为： P(φ) = |Y(φ)|2 = wHxxHw 多次快拍输出功率为： E[P(φ)] = wHRxxw 式中Rxx=E[xxH]为阵列信号空间相关阵。 上两式表明阵列输出功率为各阵元输出信号相关函数（阵列空间相关函数）的 傅立叶变换，即空间谱。波束形成法就是基于上式进行空间搜索，在P(Ф)取到极大 值时各Ф值就是空间各信源的方向。这种测向方法相当于利用周期图(periodogram) 法对时间序列进行谱分析，因而也具有直接法时间序列谱估计的缺点，如分辨力低 等特点。 2 N 1
哈尔滨工业大学电子工程系
21
空间谱估计领域主要研究问题
信源数估计——确定空间同频窄带源的数目
阵列/系统校正技术——补偿阵元位置不精确性、阵元互耦、通道不一
致性 空间色噪声处理——预白化
空间相干源处理——空间平滑解相干
任意阵谱估计——非均匀线阵、圆阵、L阵等其他阵型 特殊信号的谱估计算法研究——宽带信源、空间分布源、非圆信号
空域Shannon 采样定理
进一步假设信号来向Φr∈[0,π]，为保证波束指向为Φ0的方向图不出现栅 瓣，阵元间距应满足的条件(参考：丁鹭飞，雷达原理，3rd Ed., p213)：
d<λ/(1+|cosΦ0|) 或 d<λ/(1+|sinθ0|)
如取|θ0|≤45°、60°分别得d<0.59λ，d<0.53λ。
2019/3/20 16
哈尔滨工业大学电子工程系
空间滤波与频域滤波的等价性
（系统实现方式）
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
17
空时滤波的等价性
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
18
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
19
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
20
2019/3/20
周期图： I N
1 1 2 X ( ) N N
jn x ( n ) e n 0
为提高时间序列的谱估计分辨力，已提出许多现代谱估计方法，这些时间序列 的谱估计方法可以直接推广应用于空间谱估计情形。
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
10
《随机信号分析》随机序列谱估计： RX(τ) ↔ SX(ω) 上述研究表明对随机信号，我们仍然能够利用傅立叶变换分析其频率构成， 这种利用傅立叶变换进行随机信号功率谱分析通常称为经典功率谱分析(估 计)。各态历经过程的经典功率谱估计常有两种方法： 1．直接法(周期图法)：
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
2
谱估计应用领域
时间序列谱估计——时域谱估计：
振动及缺陷探测、隐周期估计、语音处理、医学诊断、地震预报、控制系 统设计、雷达声呐系统
空间序列谱估计——空间谱估计：
利用阵列对空间辐射源到达角DOA (Direction of Arrival)或AOA (Angle of Arrival)估计
阵元数M m=0, 1, 2, …, M-1 空域自相关函数
哈尔滨工业大学电子工程系
空域采样定理
am e
jm r
am e
j 2 (cosr ) m( d )
f s cos r t d
sn e
j 2f s nt
显然当Φr∈[0,π]时，复信号频率fs∈[-1,1]，由复信号采样定理知 ∆t≤1/Bfs，其中Bfs为信号带宽，则有d≤λ/2，这说明阵元间距必须小于雷达波 长的一半，否则会出现多值性。 故相控阵天线为避免栅瓣常取阵元满足如下条件： d≤λ/2
am e
j 2 (cosr ) m ( d )
sn e
j 2f s nt
信号频率 连续变量
采样间隔
空间频率 cos r 归一化天线口径 x x
归一化阵元间距 d
fs
时间 t
t
N n=0, 1, 2, …, N-1 时域自相关函数
14
采样点数 采样序号 相关函数
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
6
连续、离散天线方向图 法
线
由远场目标入射
根据天线理论，其远场方向图和天线的激励之间有：
F (sin ) f ( x )e j 2x sin dx
0
式中θ表示远场点方向偏离天线法线的偏角，xλ表示 天线上任意一点相对于天线中心点的位置(按波长归一 化)，f(xλ)表示天线照射函数。 FT
非色散波传播
信源数已知——实际未知需要估计，如AIC、MDL准则、盖氏圆半径法 阵元位置已知且特性相同——实际非理想，需要对阵列标定或校准
问题： 基于阵元接收信号估计各信源的DOA？
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
5
空间谱与时间序列功率谱的等价性
（谱表示形式）
2019/3/20
基于高阶累积量的谱估计算法研究——四阶累积量
谱估计算法性能的统计分析——分辨力、估计精度 高效谱估计算法研究——实时算法（小计算量）、单次快拍谱估计算法
（短数据）
多维空间谱估计——频域/空域（方位角、高低角）/极化域等
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 22
空间谱估计方法分类
如右图所示的线性等间距阵，对方位φr∈[0,π] 的入射信号矢量s，波束扫描法的输出为：
Y ( ) w s w (m) s (m)
H m 1
M
阵元M
式中w为阵列加权矢量，其元素w(m)=amexp[jψm]为
阵元m的加权系数，其中幅度加权am抑制旁瓣，相 位ψm=mψ用于补偿入射信号程差， M阵元数，入射 阵元2 信号矢量的s元素s(m)=exp[jmψr]，ψ=2πdcosφ/λ， ψr=2πdcosφr/λ。 阵元1 假设共用发射天 M 线，仅接收单程 jm r jm
哈尔滨工业大学电子工程系
23
参数化方法
基于空间谱特定模型假设的谱估计方法： 有理谱——自回归AR(最大熵法MEM)、滑动平均MA、自回归滑动平均
ARMA
白噪声+线谱——谐波分解、最大似然法(ML)、MUSIC、最小范数(MN)、
ESPRIT
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
24
分类2——基于估计算法所能达到的空间分辨力
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 15
由fs、φ0的非线性关系有空间频率分辨力与空间方位分辨力关系：
空间频率分辨力恒定
∆fs=|sinφ0|∆φ0
即当阵列所形成的波束指向不同时，其波束宽度也不同。因此当波束指向 偏离阵列法线方向时，阵列波束宽度将展宽。
典型地考虑波束正侧向指示即φ0=90°情形，此时∆fs=∆φ0。此时等幅 加权的均匀线性阵(ULA)的3dB波束宽度为(阵元数为M，阵元间距为d，且 Md>>λ时)：
0.5
0.886 0.5 Md
近似为瑞利限λ/L，L为阵长 等幅加权的结果，当采用非等 幅加权(如汉宁、切比雪夫等) 以抑制旁瓣时，主瓣会展宽。
则波束指向为Φ0的3dB波束宽度应为：
0.5 s
0.5 0.5 0.5 s sin 0 cos 0
利用fs=cosΦ r我们可以将时域谱分析的结果直接变换为空域形式。
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
3
空间谱估计一般应用模型
应用系统： 雷达
接收阵元： 天线 辐射波：
2019/3/20
声呐
水听器 声波
地震仪
地震检波器 地震波
哈尔滨工业大学电子工程系 4
电磁波
§4.1
假设条件：
空间谱估计原理
远场源且与阵列处于同一平面——一维线阵测向，可扩展到二维面阵等 情形
Francis Castanie Ed., Spectral Analysis – Parametric and Non-parametric
digital methods, ISTE Ltd, 2006(2003法语版) —— 时间序列谱估计，很基础 Petre Stoica, Spectral Analysis of Signals, Prentice Hall, 2005 (中译本：吴
仁彪译，《现代信号谱分析》，电子工业出版社，2007) —— 时间序列谱估计、
内容丰富、论证严谨、高水平教材 Sathish Chandran Ed., Advances in Direction-of-Arrival Estimation, Artech House, Inc., 2006 —— Part V, Ch 21, 空间谱估计最新进展介绍
N 1
可通过复数加权(幅度控制旁瓣、相位控制波束偏转)
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 7
均匀线性阵ULA(Unห้องสมุดไป่ตู้form Linear Array)模型
线性相位差：
k k 2 (k 1)d sin
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
8
数字波束形成DBF (Digital BeamForming)
可用于空域的基础。
空域ULA阵列对单目标回波的输出：
amexp[jmψr]=amexp[j2π(cosφr)(md/λ)]
时域单频信号的均匀采样序列： snexp[j2πfsn∆t]
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
13
空时采样的等价性
空域ULA 空域单目标回波 采样序列 时域均匀采样 时域单频信号
x
天线口径x
连续天线：由馈源形成不同的口径振幅分布 离散天线：各阵元的加权系数
天线方向图F(sinθ)和其照射函数f(xλ)构成傅里叶变换对
DFT 上式适用于面天线连续情形，也适用于阵列天线等离散情形，此时积分变成求和：
F (sin ) f ( xn )e j 2xn sin
n0
Ch 4 空间谱估计
谱估计主要参考图书——国内部分：
王宏禹，随机数字信号处理，科学出版社，1988——理论性强，很严谨，
重点随机信号的功率谱估计，基础学习参考
肖先赐，现代谱估计——原理与应用，哈尔滨工业大学出版社，1991—
—重点关于时间序列功率谱估计，可参考。
刘徳树等，空间谱估计及其应用，中国科学技术大学出版社，1997— —公式繁琐、物理意义不清、不建议
分类1——基于空间谱计算模型
非参数方法
对空间谱未作任何假设，适用于一般情形，实质为滤波法，主要包括： 波束形成法：基于空间谱定义E[P(φ)] = wHRxxw 递增阶数多参数估计(IMP)法：波束形成法的改进（正交投影、迭代） Capon法：最小方差信号无畸变响应波束形成器(MVDR)
2019/3/20
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 11
空域采样与时域采样的等价性 （输入信号形式）
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
12
阵列空间采样与时域信号采样的对偶性
一个等间隔线性阵对空域单目标平面波回波信号的空域采样与对一个 单频时域信号进行等间隔时域采样具有对偶特性，这也是时域谱分析方法
xT (t ) xT (n) X T (k ) S X (k )
2．间接法：(利用DFT)
1 2 X T (k ) N
xT (t ) xT (n) R X (m) S X (k )
经典谱估计方法虽然简便，但分辨力低，许多高分辨力的现代谱估计 方法已提出，如ARMA (Auto-Regressive Moving Average)法、MLM (Maximum Likelihood Method, Capon法)、MEM (Maximum Entropy Method、MUSIC (MUltiple SIgnal Classification)、ESPRIT (旋转子空间不 变法)等。
王永良，空间谱估计理论与算法，清华大学出版社，2004——内容丰富
可参考
谱估计主要参考图书——国外部分：
Steven Kay, Modern Spectral Estimation – Theory and Application, Prentice Hall, 1988 (中译本：黄建国等译，现代谱估计原理与应用，科学出版 社，1991) —— 国际上现代谱分析的第一部专著
. . . .
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干扰
目标
Y ( ) [am e
m 1
]e
上式是典型的傅立叶变换公式。
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9
实际阵列输入信号x=s+n，则单次快拍阵列输出功率为： P(φ) = |Y(φ)|2 = wHxxHw 多次快拍输出功率为： E[P(φ)] = wHRxxw 式中Rxx=E[xxH]为阵列信号空间相关阵。 上两式表明阵列输出功率为各阵元输出信号相关函数（阵列空间相关函数）的 傅立叶变换，即空间谱。波束形成法就是基于上式进行空间搜索，在P(Ф)取到极大 值时各Ф值就是空间各信源的方向。这种测向方法相当于利用周期图(periodogram) 法对时间序列进行谱分析，因而也具有直接法时间序列谱估计的缺点，如分辨力低 等特点。 2 N 1
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空间谱估计领域主要研究问题
信源数估计——确定空间同频窄带源的数目
阵列/系统校正技术——补偿阵元位置不精确性、阵元互耦、通道不一
致性 空间色噪声处理——预白化
空间相干源处理——空间平滑解相干
任意阵谱估计——非均匀线阵、圆阵、L阵等其他阵型 特殊信号的谱估计算法研究——宽带信源、空间分布源、非圆信号
空域Shannon 采样定理
进一步假设信号来向Φr∈[0,π]，为保证波束指向为Φ0的方向图不出现栅 瓣，阵元间距应满足的条件(参考：丁鹭飞，雷达原理，3rd Ed., p213)：
d<λ/(1+|cosΦ0|) 或 d<λ/(1+|sinθ0|)
如取|θ0|≤45°、60°分别得d<0.59λ，d<0.53λ。
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哈尔滨工业大学电子工程系
空间滤波与频域滤波的等价性
（系统实现方式）
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
17
空时滤波的等价性
2019/3/20
哈尔滨工业大学电子工程系
18
2019/3/20
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19
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周期图： I N
1 1 2 X ( ) N N
jn x ( n ) e n 0
为提高时间序列的谱估计分辨力，已提出许多现代谱估计方法，这些时间序列 的谱估计方法可以直接推广应用于空间谱估计情形。
2019/3/20
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10
《随机信号分析》随机序列谱估计： RX(τ) ↔ SX(ω) 上述研究表明对随机信号，我们仍然能够利用傅立叶变换分析其频率构成， 这种利用傅立叶变换进行随机信号功率谱分析通常称为经典功率谱分析(估 计)。各态历经过程的经典功率谱估计常有两种方法： 1．直接法(周期图法)：
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谱估计应用领域
时间序列谱估计——时域谱估计：
振动及缺陷探测、隐周期估计、语音处理、医学诊断、地震预报、控制系 统设计、雷达声呐系统
空间序列谱估计——空间谱估计：
利用阵列对空间辐射源到达角DOA (Direction of Arrival)或AOA (Angle of Arrival)估计
阵元数M m=0, 1, 2, …, M-1 空域自相关函数
哈尔滨工业大学电子工程系
空域采样定理
am e
jm r
am e
j 2 (cosr ) m( d )
f s cos r t d
sn e
j 2f s nt
显然当Φr∈[0,π]时，复信号频率fs∈[-1,1]，由复信号采样定理知 ∆t≤1/Bfs，其中Bfs为信号带宽，则有d≤λ/2，这说明阵元间距必须小于雷达波 长的一半，否则会出现多值性。 故相控阵天线为避免栅瓣常取阵元满足如下条件： d≤λ/2
am e
j 2 (cosr ) m ( d )
sn e
j 2f s nt
信号频率 连续变量
采样间隔
空间频率 cos r 归一化天线口径 x x
归一化阵元间距 d
fs
时间 t
t
N n=0, 1, 2, …, N-1 时域自相关函数
14
采样点数 采样序号 相关函数
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6
连续、离散天线方向图 法
线
由远场目标入射
根据天线理论，其远场方向图和天线的激励之间有：
F (sin ) f ( x )e j 2x sin dx
0
式中θ表示远场点方向偏离天线法线的偏角，xλ表示 天线上任意一点相对于天线中心点的位置(按波长归一 化)，f(xλ)表示天线照射函数。 FT
非色散波传播
信源数已知——实际未知需要估计，如AIC、MDL准则、盖氏圆半径法 阵元位置已知且特性相同——实际非理想，需要对阵列标定或校准
问题： 基于阵元接收信号估计各信源的DOA？
2019/3/20
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5
空间谱与时间序列功率谱的等价性
（谱表示形式）
2019/3/20
基于高阶累积量的谱估计算法研究——四阶累积量
谱估计算法性能的统计分析——分辨力、估计精度 高效谱估计算法研究——实时算法（小计算量）、单次快拍谱估计算法
（短数据）
多维空间谱估计——频域/空域（方位角、高低角）/极化域等
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 22
空间谱估计方法分类
如右图所示的线性等间距阵，对方位φr∈[0,π] 的入射信号矢量s，波束扫描法的输出为：
Y ( ) w s w (m) s (m)
H m 1
M
阵元M
式中w为阵列加权矢量，其元素w(m)=amexp[jψm]为
阵元m的加权系数，其中幅度加权am抑制旁瓣，相 位ψm=mψ用于补偿入射信号程差， M阵元数，入射 阵元2 信号矢量的s元素s(m)=exp[jmψr]，ψ=2πdcosφ/λ， ψr=2πdcosφr/λ。 阵元1 假设共用发射天 M 线，仅接收单程 jm r jm
哈尔滨工业大学电子工程系
23
参数化方法
基于空间谱特定模型假设的谱估计方法： 有理谱——自回归AR(最大熵法MEM)、滑动平均MA、自回归滑动平均
ARMA
白噪声+线谱——谐波分解、最大似然法(ML)、MUSIC、最小范数(MN)、
ESPRIT
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分类2——基于估计算法所能达到的空间分辨力
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 15
由fs、φ0的非线性关系有空间频率分辨力与空间方位分辨力关系：
空间频率分辨力恒定
∆fs=|sinφ0|∆φ0
即当阵列所形成的波束指向不同时，其波束宽度也不同。因此当波束指向 偏离阵列法线方向时，阵列波束宽度将展宽。
典型地考虑波束正侧向指示即φ0=90°情形，此时∆fs=∆φ0。此时等幅 加权的均匀线性阵(ULA)的3dB波束宽度为(阵元数为M，阵元间距为d，且 Md>>λ时)：
0.5
0.886 0.5 Md
近似为瑞利限λ/L，L为阵长 等幅加权的结果，当采用非等 幅加权(如汉宁、切比雪夫等) 以抑制旁瓣时，主瓣会展宽。
则波束指向为Φ0的3dB波束宽度应为：
0.5 s
0.5 0.5 0.5 s sin 0 cos 0
利用fs=cosΦ r我们可以将时域谱分析的结果直接变换为空域形式。
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空间谱估计一般应用模型
应用系统： 雷达
接收阵元： 天线 辐射波：
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声呐
水听器 声波
地震仪
地震检波器 地震波
哈尔滨工业大学电子工程系 4
电磁波
§4.1
假设条件：
空间谱估计原理
远场源且与阵列处于同一平面——一维线阵测向，可扩展到二维面阵等 情形
Francis Castanie Ed., Spectral Analysis – Parametric and Non-parametric
digital methods, ISTE Ltd, 2006(2003法语版) —— 时间序列谱估计，很基础 Petre Stoica, Spectral Analysis of Signals, Prentice Hall, 2005 (中译本：吴
仁彪译，《现代信号谱分析》，电子工业出版社，2007) —— 时间序列谱估计、
内容丰富、论证严谨、高水平教材 Sathish Chandran Ed., Advances in Direction-of-Arrival Estimation, Artech House, Inc., 2006 —— Part V, Ch 21, 空间谱估计最新进展介绍
N 1
可通过复数加权(幅度控制旁瓣、相位控制波束偏转)
2019/3/20 哈尔滨工业大学电子工程系 7
均匀线性阵ULA(Unห้องสมุดไป่ตู้form Linear Array)模型
线性相位差：
k k 2 (k 1)d sin
2019/3/20
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8
数字波束形成DBF (Digital BeamForming)
可用于空域的基础。
空域ULA阵列对单目标回波的输出：
amexp[jmψr]=amexp[j2π(cosφr)(md/λ)]
时域单频信号的均匀采样序列： snexp[j2πfsn∆t]
2019/3/20
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13
空时采样的等价性
空域ULA 空域单目标回波 采样序列 时域均匀采样 时域单频信号
x
天线口径x
连续天线：由馈源形成不同的口径振幅分布 离散天线：各阵元的加权系数
天线方向图F(sinθ)和其照射函数f(xλ)构成傅里叶变换对
DFT 上式适用于面天线连续情形，也适用于阵列天线等离散情形，此时积分变成求和：
F (sin ) f ( xn )e j 2xn sin
n0
Ch 4 空间谱估计
谱估计主要参考图书——国内部分：
王宏禹，随机数字信号处理，科学出版社，1988——理论性强，很严谨，
重点随机信号的功率谱估计，基础学习参考
肖先赐，现代谱估计——原理与应用，哈尔滨工业大学出版社，1991—
—重点关于时间序列功率谱估计，可参考。
刘徳树等，空间谱估计及其应用，中国科学技术大学出版社，1997— —公式繁琐、物理意义不清、不建议
分类1——基于空间谱计算模型
非参数方法
对空间谱未作任何假设，适用于一般情形，实质为滤波法，主要包括： 波束形成法：基于空间谱定义E[P(φ)] = wHRxxw 递增阶数多参数估计(IMP)法：波束形成法的改进（正交投影、迭代） Capon法：最小方差信号无畸变响应波束形成器(MVDR)
2019/3/20
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空域采样与时域采样的等价性 （输入信号形式）
2019/3/20
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12
阵列空间采样与时域信号采样的对偶性
一个等间隔线性阵对空域单目标平面波回波信号的空域采样与对一个 单频时域信号进行等间隔时域采样具有对偶特性，这也是时域谱分析方法
xT (t ) xT (n) X T (k ) S X (k )
2．间接法：(利用DFT)
1 2 X T (k ) N
xT (t ) xT (n) R X (m) S X (k )
经典谱估计方法虽然简便，但分辨力低，许多高分辨力的现代谱估计 方法已提出，如ARMA (Auto-Regressive Moving Average)法、MLM (Maximum Likelihood Method, Capon法)、MEM (Maximum Entropy Method、MUSIC (MUltiple SIgnal Classification)、ESPRIT (旋转子空间不 变法)等。
王永良，空间谱估计理论与算法，清华大学出版社，2004——内容丰富
可参考
谱估计主要参考图书——国外部分：
Steven Kay, Modern Spectral Estimation – Theory and Application, Prentice Hall, 1988 (中译本：黄建国等译，现代谱估计原理与应用，科学出版 社，1991) —— 国际上现代谱分析的第一部专著