指数概念的推广

课题 2.1.1 指数概念的推广

第一课时根式

一教学目标：

1 了解指数函数模型背景及实用性必要性.

2 了解根式的概念及表示方法.

3 培养学生化归思想. 二学习重﹑难点:

重点:根式的概念与运算性质.

难点:理解n 次方根、n 次根式的概念,会利用性质化解根式. 三方法指导:

1 要结合生活实例体会指数概念推广的合理性.

2 理解n 次方根、n 次根式的概念,并会化解根式. 四自主学习:

认真阅读教材P74-P77,体会指数概念推广的合理性.

认真阅读教材P78-P79,对照学习目标,完成导学案,适当总结. 1 正整数指数幂

把n 个实数a 的连乘记作n

a ,后来又把幂扩大到整数范围,规定

)(1

,1,00N n a a a a n

n ∈=

=≠-有时当,整数指数幂运算有以下规则: =?n

a a , =n m

a ,=n m a )( ,=n a

b )( ,=n b a )( )0(≠b

2 方根

（1）方根的定义:若一个实数x 的n 次方（2,≥∈n N n ）等于a ,即a x =2

,就说x 是a 的 .

（2）方根的性质:①0的任何次方根都是 ,记作 .②当n 是奇数时,实数a 的n 次方根,记作 ,并且有a >0时, ;a <0时, .

③当n 是偶数时,正数a 的n 次方根有 ,它们互为 ;其中正的n 次方根叫 ,记作 ;其中负的n 次方根用表示,所以正数的偶次方根合并写成 .④负数没有方根. 3 根式

（1）根式的定义:式子叫根式,这里的n 叫作 ,a 叫作 . （2）根式的性质:①=n n a )( (N n n ∈≥且,2);②当n 为奇数时,=n n a ；

当n 为偶数时，()()?

??<-≥==0,0.,a a a a a a n

五课堂互动探究

例1 填空

(1)25的平方根等于____ __(2)27的立方根等于________(3)-32的五次方根等于____ ____

解（1）525,25)5(2±∴=±的平方根等于（2）327,2733的立方根等于∴=

（3）2-32,32-2-5的五次方根等于，）（=

点评：准确掌握方根的定义是解题的关键。变式练习1 填空

（1）16的四次方根等于______(2)64的三次方根等于_______(3)0的七次方根等于________ 答案（1）2 （2）4 （3）0 例2 化解下列各式:

()33)2(1-; ();)2(244- ()33)3(3a -;

()()()b a b a <-24;()()235a -.

解 ()()22133

-=- ()()24224

==-. ()()a a -=-33333

()()()()b a a b b a b a b a <-=--=-=-2

4. ()()?

??≥-≤-=-=-.3,3;3,33352

a a a a a a

点评：化解时要灵活运用根式的性质，含字母开偶次方时，要注意被开方数正负号的判断。

变式练习2 化解下列各式

（1）55)1.0(-;（2）2)3(π-; （3） 2)4(-π; （4）66

)(y x -)(y x >.

答案（1）-0.1 （2）3-π （3）π-4 （4）y x - 六当堂检测

1.化解2

)3(e -

答案

e e -=-3)3(2

2.化解[]

)2(-

答案[

]

)2()

2(22

=-- 七课堂小结：

根式的概念及表示方法数八课后作业： (一)选择题 1. 3a

a -等于( A )

A. －a -

B. －a

C. a -

D. a

解析：3a ·6a -=a 31

·（－a ）61=－（－a ）6

131+=－（－a ）2

化简3-+ （ C ）

A.2a

D.3. R b a ∈,,下列各式总能成立的是( B )

A.b a b a -=-666)(

B.2

28822)(b a b a +=+

C.b a b a -=-4444

D.b a b a +=+1010

)

(

4. 下列等式4

446233

32)3(23;)2(2;26?-=

?--=-=a a 中一定成立的有( A )

A.O 个

B.1个

C.2个

D.3个 5. 设全集为R ，

且{|0}A x =，2

{|1010}x

x B x -==，则B C A R 为（ D ）

A.{}2

B. {}1-

C. {}

2≤x x D 、? (二)填空题 6.计算 =-3

；=0π 1 ；()

255.

7.计算()

[]

-++-+----

-2

101.0162)8

7(064.080

143

. 8.化简)0,0(8144

(三)解答题 9.已知,5)2

)2(=+x

求x x )21(2+的值.

解由,5)2

)2(=+x

平方得25)21(22=++x x ,所以23)21(2=+x x .

10.已知11)32(,)32(---=+=b a ,求(1)33b a ;(2)b a -. 解 (1)[]

32)(32()(3

=-+

ab b a ;

(2) 32)32()32(-=--+=-b a .

11.已知函数??

???<≤+-<+=1,1

2,1)(2x c c x c

x cx x f 满足89)(2

=c f .

(1)求常数c 的值;(2)解不等式18

2)(+>

x f 解 (1)由题意知10<

0,18

)(22+?==

c c c f 得21=c .

(2)由(1)得???

???

?<≤-<<+=+1

21,422

10,121

)(1x x x x f x 由

182121+>+x 且210<

421+>-+x 且121<≤x

得

2142<

<≤x .

所以182

)(+>x f 的解集为???

? ??85,42.

课题 2.1.1 指数概念的推广第二课时分数指数幂

一教学目标：

1理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义. 2掌握分数指数幂与根式的互换，掌握幂的运算. 二学习重、难点

重点：分数指数幂的概念及运算性质并运用进行化解求值. 难点：分数指数幂的概念. 三方法指导：

在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”思想. 四自主学习

认真阅读教材P79-P80,对照学习目标,完成导学案,适当总结. 1正数的分数指数幂

（1）规定正数的正分数指数幂的意思是：=n

m a )2n ,,,0(≥∈>且N n m a

（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：=

m a

1 )2n ,,,0(≥∈>且N n m a

（3） 0的正分数指数幂等于 ,0没有负分数指数幂. 这样规定是把幂的定义从正整数指数幂推广到了正分数指数幂，运算性质仍然适合，还可以推广到有理指数幂。

2有理指数幂的运算性质

（1）=?n

a a ;（2）=n m

a ;3）()

a ;（4）()=m

ab ;

（5）=??

??m

b a )0(≠b .其中m,n 均为有理数,b a ,为正实数.

（6）对任意的正有理数r 和正数a ,若1,1..1,1<<>>r r a a a a 则若则对任意的负有理数

r 和正数a .若,1>a 则.1r a

3正数的无理数指数幂

无理数指数幂()

是无理数x a a x ,0>是一个有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 五课堂互动探究

例1 求值：（1）4316;（2）2

1-25;（3）3

-31??

? ??;（4）3

64125??

??. 解（1）4

16=()

822

34===? （2）2

25=

()

151

122

（3）()

27333133

-===??

??-- （4）3

2-64125??? ??=25165445452

32.3=

??=??? ??=?

??-??

? ??-? 点评：牢固掌握分数指数幂的运算性质进行化解求值. 变式练习1 求值：(1) ;83

(2) 2

13-;

答案(1) 16 (2)

例 2 把下列式子改写成分数指数幂的形式（0>a ）（1）3a a ? （2）432a a ? （3）3a a ? 解（1）.343

113

13a a

a a a a ==?=?+ （2）.4

114

324

32432a a

a a a a ==?=?+

（3）.)()(3

1313

a a a a a a ==?=?

点评：先把根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的性质进行运算. 变式练习2 把下列式子改写成分数指数幂的形式.(1) )0(5

10>a a ; (2))()(42n m n m <-

答案(1)2

a (2) 2

1)(m n - 例 3 计算下列各式：

（1）);6()4()3(652131412

343n m n m n m -÷-?-

(2)66

1)(-

a .

解（1）[].22)6()4(3)6()4()3(06

531232

141436

3n n m n

n m n m n m ==-÷-?=-÷-?-+---

(2) .)()()(525

266

316

a b

a b a b

a ===--

- 点评：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程. 例4 用分数指数幂表示下列根式：

（1）

);,(33

2+∈??R b a b

a b a （2）;3)273(63÷- （3）.)(332xy xy

解（1）

.)(6

1212

1323

2ab b a b a

a b a ===??--

（2）.333

3)33(3)273(3

4616

1236

1316

-=-=÷-=÷---

（3）.)()(67

653

323

y x y x xy xy xy xy =??

???=??????=

点评：总体思路是把根式化为分数指数幂的形式,利用分数指数幂的性质进行运算化解.当有常数先提出进行数的运算,有多层根式时,按从里到外或者从外到里依次化解即可.

变式练习3 化解:)0()(113

432>?--a b a

答案 9

143b a -

思考:能不能继续推广到实数范围呢？

一般地,无理数指数幂p

a (0>a 是无理数)的值就可以用两个指数为p 的不足近似值和过剩

近似值构成的有理数列无限逼近而得到是一个确定的实数. 可以证明有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 这样指数的概念就扩充到了整个实数范围. 六当堂检测

化解(1)5

)32

243(- ; (2) )0(4

12>a a ;

(3)

答案: (1) 9

4 (2)3

a (3) 525121

七课堂小结

1、根式和分数指数幂的意义.

2、根式与分数指数幂之间的相互转化.

3、有理指数幂的含义及其运算性质. 八课后作业（一）选择题

1.下列运算正确的是（ C ）

A ．6

a a a =? B ．326a a

a = C ．632)(--=a a D ．5

32a a a =+

2.327-的值是（ C ）

A ．-9

B ．9±

C ．-3

D ．3± 答案 3.46

9436

9)()(

a a ?化简为( B )

A ．16

a B.4

a C ．8

a D ．2

4.1

11)

(---+ab b a 化简为( A ) A ．b a + B ．b a - C ．ab D ．

a 5.化简)0,0(1644

A ．y x 22

B ．xy 2

C ．y x 24

D ．y x 22- （二）填空题

6. 化解12131

(1243)27162(8)--+-+-为 .

解析:

原式12

133(1)246

(113

-?-?

=-+-?

2133

113222

118811?

=+-?=+-=

7化解246347625---++为 .

. 2

2223223)22()32()23(2

222432234322232

22=+--++=---++=

??-+-??-++??++=解：原式

8. 定义两种运算:a b ⊕

,a b ?=判断函数2()(2)2

f x x ⊕=

?-的奇偶

性为 .(填奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数, 既不是奇函数又不是偶函数中之一) (三)解答题

9.112

3x x

+=，求

22332

x x x x

--+-+-的值

解 112

3x x

+=，∴112

2()9x x -

+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，

∴12()49x x -+=，∴2

47x x -+=，

又∵33111

()(1)3(71)18x x

x x x x ---+=+?-+=?-=，∴

22332

2472

3183

x x x x

--+--=

=-+-

10.函数)10()(≠>=-a a a x f x 且,4)2(=f ,则)2(-f 与)1(f 的大小关系___ __．解由4)2(2==-a f ,得2

a .得x x f 2)(=,所以)1(24)2(f f =>=-. 11.已知

b a ,是方程0462

=+-x x 的两根,且0>>b a ,求2

1b a +的值. 解由根与系数的关系得??

?==+4

ab b a ,

104262)(22

1=+=++=+=+ab b a b a b a .

角的概念推广(一)

课题：4.1 角的概念推广（一）教学目的： 1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义 2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法 3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的表示. 授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法方法可以选为讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的. 教学过程：一、复习引入： 1．复习：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是]360,0[0 0，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘” 2．生活中很多实例会不在改范围]360,0[00 体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围]360,0[0 0，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）二、讲解新课：

(完整版)角的概念的推广教学设计

角的概念的推广一教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的： 1?掌握用旋转”定义角的概念，理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。 2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法。 3?从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。教学难点：终边相同的角的表示。设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。教学过程：一、复习引入： 1. 回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于狭隘” 2. 生活中很多实例会不在范围0°

角的概念的推广

技工学校教案用纸教学过程一、引入课题通过生活中常见现象的解释来引入知识点，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，确定“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握。二．知识点 1、角的概念 ⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．学科数学角的概念的推广授课班级２０１５级机械二班授课时数 6课授课时间第二周教学目的使学生了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要如何让学生用数学的观点分析、解决实际问题教学重点和难点 1.使学生初步理解用“旋转”定义角的概念； 2．理解“正角” 、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义； 3．掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法复习提问 B A O 始边终边

2100 -1500 旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”、“0o角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660° （3）．象限角与终边相同角 1.“象限角” 为了方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30 、390 、 330 是第Ⅰ象限角， 300 、60是第Ⅳ象限角 585 、1300是第Ⅲ象限角， 135、2000 是第Ⅱ象限角等 6600

《2.1.1指数概念的推广》教案新部编本

精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案 [20 -20学年度第—学期] 任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________ xx市实验学校

《2.1.1指数概念的推广》教案教学目标：通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幕的概念，掌握指数幕的性质、根式与分数指数幕的互化，能熟练地运用有理指数幕运算性质进行化简、求值。教学重点： 1) 掌握并运用分数指数幕的运算性质。 2) 运用有理指数幕运算性质进行化简、求值。教学难点：有理指数幕性质的灵活应用授课类型：新授课教学过程：一、新课引入回顾初中学习的整数指数幕及其运算性质 a n a a a(n N ) a 0 1(a 0) 1 a n n (a 0,n N ) a 二、新课讲授提出问题 (1)观察以下式子，并总结出规律： a > 0 10 a 7 (2)利用上例你能表示出下面的式子吗? N ，且 n >1,) (3)你能推广到一般的情形吗? m ________ 师生讨论得到正数的正分数指数幕的意义：正数的正分数指数幕的意义是 a 下n a m (a >0, m , n N ，且 n > 1) 提出问题 ①5/ a 2 10 a 5 ②.a 8 ■，(^ ③ 4 a 12 4 (a 3)4 12 a 7 (x >0, a >0, m , n

负分数指数幕的意义是怎样规定的？你能得到负分数指数幕的意义吗？你认为如何规定0的分数指数幕的意义? 分数指数幕的意义中，为什么规定 a > 0? 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广? 讨论结果有以下结论: 性质 (1) r a s a r s a (a > 0, r , s € Q ) (2) ( a 丁 rs a (a >0, r , s € Q ) (3) ( a b)r r r a b (a >0, b >0, r € Q ) 规定: 0 的正分数指数幕是0, 0的负分数指数幕没有意义。例题讲解 (1 )求下列各式的值 2 1 83 25 2 N ), m a 7 1 (a > 0, m , n m a n N ，且 n >1) (2)用分数指数幕的形式表示下列各式中的 b (式中a > 0) b 5 =32 ■ 5 4 b 25 5n 3m b

指数的运算

指数运算 1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a *),0(1 N n a a a n n ∈≠= -2．运算性质： ) ()() ,()() ,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=n m a - ② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 根式： ⑴计算 ①2 3= 9 ，则3是9的平方根；②3)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根；③若46=1296 ，则6是1296 的 4次方根；④5 7.3=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 . ⑵定义：一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根。 n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数 ⑶性质： ①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： n a x = ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： n a x ±= 算数平方根为非负数，n a x = ③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0 ⑷常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5 =-32.

②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=?? ?<-≥) 0() 0(a a a a . 例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2 )3(-=|-3|=3. ⑶根式的基本性质： n m np m p a a =，（a ≥0）. 注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3 62 8)8(-≠ -. 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 讲解例题：例1求值 ①33)8(-；②2 )10(- ；③44)3(π- ；④)()(2b a b a >-. 例2求值： 6 3 12 5.132)2(;246347625)1(??---++ 整数指数幂的运算性质： ) ()() ,()() ,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定： (1)n m n m a a 1= - (a ＞0，m ,n ∈N * ,且n ＞1) (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

(完整版)角的概念的推广(教学设计)

§2 角的概念的推广【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】六环节分层导学法【课前准备】（学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。（检查反馈）学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.

【教学过程】一、导入新课初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题：（1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？（2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？（3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？（4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广二、展示评价学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价. 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 探究1：判断角所在象限例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：（1）480°；（2）-760°；（3）932°；归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限. 跟踪训练1：象限角的概念：第一象限角的集合可表示为____________ ______；第二象限角的集合可表示为_________ ________ _；第三象限角的集合可表示为；

角的概念的推广——教学设计

《角的概念的推广》——教学设计一、教材分析 1、地位与作用我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力；通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性；通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。

二、学情分析学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。三、教学策略选择与设计针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。（2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。（3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。（2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。

角的概念的推广及弧度制

第一节：角的概念的推广及弧度制一、基础知识 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转） 2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”） 3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法（1）终边相同的角例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合（2）区域角和对顶角例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界）

例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合（3）对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限例1、若θ为第三象限，求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题例1、当12点过4 1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？

指数与指数幂的运算备课教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）第一课时根式教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法：学导式教学过程：（I）复习回顾引例：填空 m n =(m,n∈Z)； a+

（II ）讲授新课 1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=；又因为n b a )(可看作 m n a a -?，所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有：

2.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。从而有：3273=，2325-=-，236a a = 解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；

指数教案.doc

指数教案教学目的：(1)掌握根式的概念； (2)规定分数指数幂的意义；授课类型：新授课课时安排：1课时教具：课本教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．教学过程：一、引入课题 1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性； 2．由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性； 3．复习初中整数指数幂的运算性质； n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)()( 4．初中根式的概念；如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正

数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．思考： n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．三、作业练习： 1．a 4·a m ·a n =（） A ．a 4m B ．a 4(m+n) C ．a m+n+4 D ．a m+n+4 2．（－x ）·（－x ）8·（－x ）3=（） A ．（－x ）11 B ．（－x ）24 C ．x 12 D ．－x 12 3．下列运算正确的是（）

角的概念的推广——教学设计

《角的概念的推广》一一教学设计一、教材分析 1、地位与作用我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。能力目标：通过布置课前任务一一培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解一一锻炼学生的语言表达能力；通过让学生解决生活中与数学相关的问题一一提高学生分析问题、解决冋题的能力。情感目标：通过解决生活中的数学问题一一让学生感悟数学的实用性；通过小组活动一一培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。二、学情分析学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。

三、教学策略选择与设计针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。（2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。（3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。（2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。

指数式

2.1.1 指数与指数幂的运算一、学习目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂、无理指数幂的概念； 2.正确运用运算性质进行运算(2 ) 体会分类讨论思想在解题中的运用二、学习重难点：重点：根式的概念、分数指数幂、无理指数幂的概念和运算性质难点：根式概念和分数指数幂概念的理解三、学习过程：（II ）讲授新课问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？结论1：结论2：结论3：0的n 次方根是，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。 2、n 次方根的性质：其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 3、根式运算性质：①a a n n =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ n a

注意：根指数n为偶数的运算。分数指数次幂 a>0时， 10 25 a a ===，则类似可得=； 2 3 a ==，类似可得 4、正数的正分数指数幂的意义： n m n m a a= (1 , ,0> ∈ >n N n m a且) ． 5、正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1) n m n m a a 1 = - (1 , ,0> ∈ >n N n m a且) ． (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 6、规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当0 > a时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.对于任意有理数s r,,均有下面的运算性质： ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈ ? = ∈ = ∈ = ?+ 例2 例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0）： 3 32 2 3)3( )2( )1(a a a a a a? ? ?

(新)教案1：5.1角的概念的推广

5.1 角的概念的推广【教学目标】 1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算． 2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念． 3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．【教学重点】理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．【教学难点】任意角和终边相同的角的概念．【教学方法】本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．环节教学内容师生互动设计意图复习导入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？师：初中学过的角的定义是什么？生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．师：如图： ∠AOB=∠BOA=120 ， B 初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．新课1．任意角的概念．（1）射线的旋转方向：逆时针方向——正角；顺时针方向——负角；没有旋转——零角．画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角．教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边. 教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角．

角的概念的推广经典练习题

4.1 角的概念的推广【知识归纳】一、轴线角（终边落在坐标轴上的角）： x 轴正半轴：{}0|360,k k Z αα=?∈；x 轴负半轴：{}00|360180,k k Z αα=?+∈ ； y 轴正半轴：{}00|36090,k k Z αα=?+∈； y 轴负半轴：{}00|36090,k k Z αα=?-∈或{}00|360270,k k Z αα=?+∈； x 轴：{}0|180,k k Z αα=?∈； y 轴： {}00|18090,k k Z αα=?+∈（注意区别）所有坐标轴：{}0|90,k k Z αα=?∈。二、象限角：第一象限角：{}000|36036090,k k k Z αα?<

角概念推广优秀教案

【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】

0°（1）（2）

终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角．运用知识强化练习教材练习5.1.1 ．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°；⑵?210°；⑶225°；⑷?300°．动手操作实验观察用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时

终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为

角终边相同的角的集合是说明写出终边在y轴上的角的集合．

高中数学角的概念的推广

角的概念的推广教学目标： 1、知识与技能（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。三、学法与教学用具在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。教学用具:多媒体、三角板、圆规四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。【探究新知】如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备) 1．正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度?是不是

指数的概念与分类

第四部分统计——第二十二章统计指数近两年本章考试题型、分值分布【知识点一】指数的概念与分类 1.（2007年）狭义的讲，指数是用于测定多个项目在不同场合下综合变动的一种特殊（）。 A.算术平均数 B.相对数 C.总量指标 D.几何平均数『正确答案』B 『答案解析』本题考查指数的概念，指数是用于测定多个项目在不同场合下综合变动的一种特殊相对数。 2.（2009年）按照所反映的内容不同，指数可以分为（）。 A.基期指数和报告期指数 B.数量指数和质量指数 C.简单指数和加权指数 D.个体指数和综合指数『正确答案』B 『答案解析』本题考查指数的类型。（1）按所反映的内容不同，可以分为数量指数和质量指数。（2）按计入指数的项目多少不同，可分为个体指数和综合指数。（3）按计算形式不同，可分为简单指数和加权指数。 3.（2015年）关于统计指数分类的说法，正确的有（）。 A.按所反映的内容不同，统计指数可分为数量指数和质量指数 B.按物量水平不同，统计指数可分为产量指数和销售指数 C.按计算形式不同，统计指数可分为简单指数和加权指数 D.按计量单位不同，统计指数可分为数量指数和价值指数 E.按计入指数的项目多少不同，统计指数可分为个体指数和综合指数『正确答案』ACE 『答案解析』本题考查统计指数的分类。按所反映的内容不同，统计指数可分为数量指数和质量指数。按计入指数的项目多少不同，统计指数可分为个体指数和综合指数。按计算形式不同，统计指数可分为简单指数和加权指数。【知识点二】加权综合指数 1.（2006年）在利用指数体系分析价格（用p表示）和销售量（用q表示）变动对销售额的影响时，销售量指数的计算公式是（）。 A.∑p1q1/∑p0q0 B.∑p1q1/∑p1q0 C.∑p1q1/∑p0q1 D.∑p0q1/∑p0q0 『正确答案』D 『答案解析』销售量指数计算公式用的是拉氏数量指数∑p0q1/∑p0q0，价格指数计算公式用的是

高中数学2.1.1指数概念的推广教学设计湘教版必修1

指数概念的推广教学目标：通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的性质、根式与分数指数幂的互化，能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。教学重点： 1) 掌握并运用分数指数幂的运算性质。 2) 运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。教学难点：有理指数幂性质的灵活应用授课类型：新授课教学过程：一、新课引入回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质 ()n a a a a n N +=????∈ 01(0)a a =≠ 1(0,)n n a a n N a -+=≠∈ 二、新课讲授提出问题（1）观察以下式子，并总结出规律：a ＞0 1025 a a === 842a a = == 1234a a === 1052a a === （2）利用上例你能表示出下面的式子吗？（x ＞0，a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1，）

（3）你能推广到一般的情形吗？师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是m n a =（a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1）提出问题负分数指数幂的意义是怎样规定的？你能得到负分数指数幂的意义吗？你认为如何规定0的分数指数幂的意义？分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广？讨论结果有以下结论： 1n n a a -=（a ≠0，n N +∈），1m n m n a a -==（a ＞0，m ，n N +∈，且n ＞1）性质（1）r s r s a a a +?= （a ＞0，r ，s ∈Q ）（2）()r s rs a a =（a ＞0，r ，s ∈Q ）（3）()r r r a b a b ?=（a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）规定：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。例题讲解（1）求下列各式的值 238 12 25- 31()4- 3416()81- （2）用分数指数幂的形式表示下列各式中的b （式中a ＞0） 5b =32 5425b -= 53n m b π-= b = b = 学生练习66p 点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结