线性系统理论-郑大钟(第二版)
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线性系统理论
郑大钟 清华大学出版社
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论 第二部分 线性系统的复频率域理论
第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第一章 绪论 控制理论发展概况： 第一阶段 20世纪40—60年代 经典控制理论 第二阶段 20世纪60—70年代 现代控制理论 第三阶段 20世纪70— 大系统理论 （广度） 智能控制理论 （深度）
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 (t ) x (t ) x (t ) 2 x n (t )
f ( x,u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x,u, t )
向量函数
g1 ( x,u, t ) f1 ( x,u, t ) g ( x,u, t ) f ( x,u, t ) 2 ，g( x,u, t ) 2 f ( x,u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) n q
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性
(5).系统任意两个状态变量组之间的关系
(6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述 （动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。 电路系统状态空间描述的列写示例
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的两类数学描述
u1
y1
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
(1) 系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
u1
ห้องสมุดไป่ตู้
y1
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bn1u ( n1) b1u (1) b0u
线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以 线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制 系统。
第一章 绪论
1.1系统控制理论的研究对象
系统是系统控制理论的研究对象
系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体
系统具有如下3个基本特征:
R1
C
iC
duc di L u R C L 0 2 c dt dt duc di L R1i L R1C L e dt dt
1 c ( R1 R2 )C u i R1 L L( R1 R2 ) R2 u R2 R1 R2
A(t ) x B(t )u x 线性时变系统 y C (t ) x D(t )u
连续时间线性系统的方块图
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
D(t )
x
u
B(t )
A(t )
x
C (t )
y
离散时间线性系统的状态空间描述
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性
三是:变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
复频率域描述即传递函数描述
bn1s n1 b1s b0 y ( s) g ( s) n u( s) s an1s n1 a1s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征—— 状态方程和输出方程。 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分。 内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的 线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个 组成元为x、u的非线性函数,该系统 称为非线性系统 非线性系统可以用泰勒展 开方法化为线性系统
经典线性系统理论→现代线性系统理论
代数理论
把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法 二是多项式矩阵方法
第一部分: 线性系统时间域理论
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析 和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法
Ra
i f const
e(t )
J, F
La
0 1 a
上式可表为形如
Ax Bu x y Cx Du
连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构
u1
u2
x1 x2
y1 y2
输出部件
up
动力学部件
xn
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
Ax Bu x 线性时不变系统 y Cx Du
状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统
x (k 1) Gx(k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
离散时间线性时变系统
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y (k ) C (k ) x (k ) D(k )u(k )
选择状态变量
2.2 线性系统的状态空间描述
1 c ( R1 R2 )C u i R1 L L( R1 R2 ) R2 u R2 R1 R2 1 1 ( R1 R2 )C x x R1 2 L( R1 R2 ) R2 y R1 R2 R1 1 ( R1 R2 )C uc ( R1 R2 )C e R1 R2 R i 2 L L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) e(t ) R1 R2 uc R2 i e R1 R2 L R1 R2
以上方程可表为形如
R1
C
iC
L
iL
Uc
R2 U R2
R1 1 ( R1 R2 )C x1 ( R1 R2 )C u R1 R2 R 2 x2 L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) R1 R2 x1 R2 x u R1 R2 2 R1 R2
L (c1u1 c 2u 2 ) c1L (u1 ) c 2 L (u 2 )
②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示
③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷
线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是 物理系统。
1.输入变量组 2. 内部状态变量组 3.输出变量组
u x
y
系统动态过程的数学描述
1. 白箱描述: 内部描述(状态方程和输出方程 ) 2.黑箱描述: 外部描述(输入, 输出变量组的关系 )
动态系统的分类
CVDS 从机制的角度 1.连续变量动态系统 2.离散事件动态系统 DEDS
从特性的角度
1.线性系统 2.非线性系统
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 综合理论
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
e(t )
L
iL
Uc
R2 U R2
R1 1 ( R1 R2 )C uc ( R1 R2 )C e R1 R2 R i 2 L L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) R1 R2 uc R2 i e R1 R2 L R1 R2
Ax Bu x y Cx Du
机电系统状态空间描述的列写示例
R a i a La
dia c e e dt d c M i a f J dt ce Ra 1 a L i i La a e a La c f M 0 J J i
状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态 的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1 (t0 ), x2 t0 ,, xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体 所决定 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式
郑大钟 清华大学出版社
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论 第二部分 线性系统的复频率域理论
第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第一章 绪论 控制理论发展概况： 第一阶段 20世纪40—60年代 经典控制理论 第二阶段 20世纪60—70年代 现代控制理论 第三阶段 20世纪70— 大系统理论 （广度） 智能控制理论 （深度）
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 (t ) x (t ) x (t ) 2 x n (t )
f ( x,u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x,u, t )
向量函数
g1 ( x,u, t ) f1 ( x,u, t ) g ( x,u, t ) f ( x,u, t ) 2 ，g( x,u, t ) 2 f ( x,u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) n q
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性
(5).系统任意两个状态变量组之间的关系
(6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述 （动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。 电路系统状态空间描述的列写示例
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的两类数学描述
u1
y1
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
(1) 系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
u1
ห้องสมุดไป่ตู้
y1
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bn1u ( n1) b1u (1) b0u
线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以 线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制 系统。
第一章 绪论
1.1系统控制理论的研究对象
系统是系统控制理论的研究对象
系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体
系统具有如下3个基本特征:
R1
C
iC
duc di L u R C L 0 2 c dt dt duc di L R1i L R1C L e dt dt
1 c ( R1 R2 )C u i R1 L L( R1 R2 ) R2 u R2 R1 R2
A(t ) x B(t )u x 线性时变系统 y C (t ) x D(t )u
连续时间线性系统的方块图
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
D(t )
x
u
B(t )
A(t )
x
C (t )
y
离散时间线性系统的状态空间描述
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性
三是:变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
复频率域描述即传递函数描述
bn1s n1 b1s b0 y ( s) g ( s) n u( s) s an1s n1 a1s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征—— 状态方程和输出方程。 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分。 内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的 线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统
A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个 组成元为x、u的非线性函数,该系统 称为非线性系统 非线性系统可以用泰勒展 开方法化为线性系统
经典线性系统理论→现代线性系统理论
代数理论
把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法 二是多项式矩阵方法
第一部分: 线性系统时间域理论
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析 和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法
Ra
i f const
e(t )
J, F
La
0 1 a
上式可表为形如
Ax Bu x y Cx Du
连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构
u1
u2
x1 x2
y1 y2
输出部件
up
动力学部件
xn
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
Ax Bu x 线性时不变系统 y Cx Du
状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统
x (k 1) Gx(k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
离散时间线性时变系统
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y (k ) C (k ) x (k ) D(k )u(k )
选择状态变量
2.2 线性系统的状态空间描述
1 c ( R1 R2 )C u i R1 L L( R1 R2 ) R2 u R2 R1 R2 1 1 ( R1 R2 )C x x R1 2 L( R1 R2 ) R2 y R1 R2 R1 1 ( R1 R2 )C uc ( R1 R2 )C e R1 R2 R i 2 L L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) e(t ) R1 R2 uc R2 i e R1 R2 L R1 R2
以上方程可表为形如
R1
C
iC
L
iL
Uc
R2 U R2
R1 1 ( R1 R2 )C x1 ( R1 R2 )C u R1 R2 R 2 x2 L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) R1 R2 x1 R2 x u R1 R2 2 R1 R2
L (c1u1 c 2u 2 ) c1L (u1 ) c 2 L (u 2 )
②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示
③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷
线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是 物理系统。
1.输入变量组 2. 内部状态变量组 3.输出变量组
u x
y
系统动态过程的数学描述
1. 白箱描述: 内部描述(状态方程和输出方程 ) 2.黑箱描述: 外部描述(输入, 输出变量组的关系 )
动态系统的分类
CVDS 从机制的角度 1.连续变量动态系统 2.离散事件动态系统 DEDS
从特性的角度
1.线性系统 2.非线性系统
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 综合理论
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
e(t )
L
iL
Uc
R2 U R2
R1 1 ( R1 R2 )C uc ( R1 R2 )C e R1 R2 R i 2 L L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) R1 R2 uc R2 i e R1 R2 L R1 R2
Ax Bu x y Cx Du
机电系统状态空间描述的列写示例
R a i a La
dia c e e dt d c M i a f J dt ce Ra 1 a L i i La a e a La c f M 0 J J i
状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态 的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1 (t0 ), x2 t0 ,, xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体 所决定 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式