韩伯棠管理运筹学(第三版)_第十六章_层次分析法
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13
其中 wi 0, wi 1 . 则 w1 , w2 , ..., wn 叫各因素对于目标
i 1
做成对比较时得到
于是,所谓的权重即指各小石块在大石头中所占的比重,即各wi 一般地,如果一个正互反矩阵A满足 aij.ajk=aik, i,j,k=1,2, … , n 则称A为一致性矩阵，简称一致阵. 一致阵的性质: 1.A的秩为1,A的唯一非零 特征根为n; 2.A的任一列向量都是对应 于特征根n的特征向量. 若A为一致阵,则对应于特征 根n的,归一化的特征向量(即 分量之和为1)即表示各因素对 上一层因素Z的权向量,各分 量即为各因素对于Z的权重!
计算组合权向量 在”旅游问题”中已经得到了第2层(准则层)对于 第1层(目标层)的权向量,记为
w( 2) ( w1( 2) , w2 ( 2) , ..., w5 ( 2) )
即
w (0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110)T
用同样的方法构造第3层(方案层)对于第2层的每 一个准则的成对比较矩阵,不妨设为:
6
层次分析法
目标层
购买设备A
判断层
功能B1
价格B2
维护性B3
方案层
产品C1
产品C2
产品C3
图 设备采购层次结构图
7
层次分析法
层次分析法的建模步骤
（3）确定以上递阶结构中相邻层次元素间相 关程度。通过构造两比较判断矩阵及矩阵运算 的数学方法，确定对于上一层次的某个元素而 言，本层次中与其相关元素的重要性排序--相 对权值。 （4）计算各层元素对系统目标的合成权重， 进行总排序，以确定递阶结构图中最底层各个 元素的总目标中的重要程度。 （5）根据分析计算结果，考虑相应的决策。
11
层次分析法
得到:
A=(xij), xij>0,xji=1/xij
判断矩阵
某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住, 饮食,旅途5个因素对于目标Z的比较矩阵如下:
其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目 标Z的重要性之比为1:2.即日认为费用更重要，其他类同.
12
层次分析法
w( 2) ( w1( 2) , w2( 2) , ..., wn( 2) )T
24
层次分析法
wk (3) ( wk 1(3) , wk 2 (3) ,..., wkm (3) )T , k 1, 2,..., n
以 wk
( 3)
为列向量构成矩阵
W ( 3) [ w1( 3) , w2 ( 3) , ..., wn ( 3) ]
层次分析法
同理可得方案P2,P3在目标中的组合权重分别为0.264 和0.456；于是得到方案层对于目标层的权向量为：
w(3)=(0.300,0.264,0.456)T
说明应以P3作为第一选择地点
由上面的计算可得一般的计算步骤如下: 对于3个层次的决策问题,若第一层只有一个因素, 第2,3层分别有n,m个因素,记第2层对第1层与第3层 对第2层的权向量分别为:
19
层次分析法
2 5 1 B1 1/ 2 1 2 1/ 5 1/ 2 1
1 3 1 1 1/ 3 1/ 8 1 3 B 3 1 1/ 3 B3 1 2 1/ 3 1/ 3 1 8 3 1
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3
W1(3)
W5(3)
W2(3
)
W3(3)
W4(3
)
方案P1在目标中的组合权重为相应项的两两乘积之和：
0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.300
要比较某一层n个因素x1,x2,…,xn对上一层一个因素Z的影 响,可从x1,x2,…,xn中任取xi与xj,比较他们对于Z的贡献(或重 要性)大小.按照如下”1~9比例尺度”给xi/xj赋值.
尺度xij 1 3 5 7 9 2,4,6,8 1,1/2,…,1/9
含ห้องสมุดไป่ตู้
义
xi与xj的影响相同 xi与xj的影响稍强 xi与xj的影响强 xi与xj的影响明显地强 xi与xj的影响绝对地强 xi与xj的影响之比在上述两个相邻等级之间 xi与xj的影响之比为上面aij的互反数
3
计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线 性组合:
z w1 x1 w2 x2 wn xn
n
Z的权重, w ( w1 , w2 , ..., wn )T 叫权向量. 注意,x1,x2, … ,xn中有的不是基数 小石块W1小石块W2 变量，而有可能是序数变量如舒 适程度,积极性之类. 设想: 把一块单位重量 … 的石头砸成n块小石块 小石块Wn
1 3 4 B4 1 / 3 1 1 1 / 4 1 1
1 1 1/ 4 B5 1 1 1/ 4 4 4 1
20
根据前面计算 w (0.588, 0.322, 0.090)T , 3.010 的方 法计算各Bk所对应的权向量 wk ( 3) 最大特征根 k ,以 及一致性指标CIk如下表:
5
层次分析法
层次分析法的建模步骤
（1）通过对系统的深刻认识，确定该系统的 总目标，弄清规划决策所涉及的范围、所要采 取的措施方案和政策、实现目标的准则、策略 和各种约束条件等，广泛地收集信息。 （2）建立一个多层次的递阶结构，按目标的 不同、实现功能的差异，将系统分为几个等级 层次。例如：下图是以递阶层次表示评价和选 择设备的层次结构模型。
层次分析法的步
9
层次分析法
1
建立层次结构模型
选择旅游景点 解决问题的目的 (也叫总目标)
目 标(Z) 层
景 色 费 用
准 则(x) 层
居 住
饮 食
旅 途
为实现总目标 而采取的各种 措施和方案
方 案(y) 层
P1
P2
P3
用于解决问题 的各种措施和 方案 10
层次分析法
2 构造成对比较矩阵(判断矩阵)
1 n ( Aw ) i d. 计算 , 作为最大特征根的近似值 n i 1 wi
15
例:
0.6 0.615 0.545 1.760 1 2 6 列向量 0.3 0.308 0.364 按行求和 0.972 A 1/ 2 1 4 归一化 0.1 0.077 0.091 0.268 1/ 6 1/ 4 1
1 2 3 4 5 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166 ( 3) wk 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 k 3.005 3.002 3 3.009 3 CI 0.003 0.001 0 0.005 0 由于n=3时,RI=0.58,因此由CR=CI/RI,知A以及各Bk均通过 一致性检验! 注意:若以上有没通过一致性检验者,则必须在返回重新构造 判断矩阵(叫一致性改进)!
第十六章 层次分析法
目标层 采购设备
判断层
功能B1
价格B2
维护性B3
方案层
产品C1
产品C2
产品C3
设备采购计划层次结构图
层次分析法
层次分析法(AHP, p248)
层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型
2. 构造成对比较阵(判断矩阵)
3. 计算权向量并做一致性检验
4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
8
层次分析法
二. 层次分析法的基本步骤
例1. 假日旅游)有P1,P2,P3三个旅游地供选择,假如 选择的标准和依据有:景色,费用,饮食,居住和旅途.
一 般 的 思 维 过 程 首先,确定这些准则在你心目中各占的比重多大; 其次,就每一准则将三个地点进行对比;
最后,将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择.
17
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
层次分析法
<3>一致性比率(用于确定A的不一致性的容许范围)
CI CR RI
当CR<0.1时,A的不一致性程 度在容许范围内,此时可用A 的特征向量作为权向量!
18
层次分析法
4 计算权组合向量并做一致性检验
0.587 1.769 归一化 0.324 w Aw 0.974 1 ( 1.769 0.974 0.268 ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089 0.089 0.268
精确值为 w (0.588, 0.322, 0.090)T , 3.010
k
k
层次分析法
组合权向量: 由各准则对目标的权向量和各方案 对每一准则的权向量计算各方案对目标的权向量, 该向量就叫组合权向量.
选择旅游地
0.263 0.475 0.055 0.099
W(2)
0.110
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
0.633 0.175 0.166 0.668 0.595 0.129 0.082 0.682 0.429 0.142 0.263 0.429 0.193 0.166 0.277
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3
W1(3) W2(3
)
W5(3)
W3(3)
W4(3
)
22
选择旅游地
0.263 0.475 0.055 0.099
W(2)
0.110
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
0.633 0.175 0.166 0.668 0.595 0.129 0.082 0.682 0.429 0.142 0.263 0.429 0.193 0.166 0.277
层次分析法的整个过程体现了人的决策思 维的基本特征，即分解、判断与综合，易学易 用，而且定性与定量相结合，便于决策者之间 彼此沟通，是一种十分有效的系统分析方法， 广泛地应用在经济管理规划、能源开发利用与 资源分析、城市产业规划、人才预测、交通运 输、水资源分析利用等方面。 近年来应用领域拓广到经济计划和管理,能 源政策和分配,行为科学,军事指挥,运输,农业,教 育,人才,医疗,环境等领域.
层次分析法
判断矩阵的一致性检验 判断矩阵通常是不一致的，但是为了能用它的对 应于特征根的λ的特征向量作为被比较因素的权向 量,其不一致程度应在容许的范围内。如何确定这 个范围? CI=0时A一致; max n <1>一致性指标 CI CI越大,A的不一致 n1 性程度越严重! <2>随机一致性指标RI n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
不完全层次结构模型
2
一. 层次分析法简介
层 次 分 析 法 (AHP: Analytic Hierarchy Process)是将决策总是有关的元素分解成目标、 准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定 量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨 堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国 防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献 大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理 论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重 决策分析方法。
层次分析法
一. 层次分析法简介
层次分析法的特点是在对复杂的决策问题 的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分 析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思 维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结 构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。 尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场 合。
4
层次分析法
层次分析法应用领域
层次分析法
由对于一般的判断矩阵(即A不一定一致)如何计 算各因素xi对上一层因素Z的权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 wij aij /
b. 对 wij 按行求和得 wi wij
n
a
i 1
n
ij
n
j 1
c. 将 wi 归一化 wi wi / wi , w ( w1 , w2 , ..., wn )T, 即 i 1 为近似特征根(权向量)
其中 wi 0, wi 1 . 则 w1 , w2 , ..., wn 叫各因素对于目标
i 1
做成对比较时得到
于是,所谓的权重即指各小石块在大石头中所占的比重,即各wi 一般地,如果一个正互反矩阵A满足 aij.ajk=aik, i,j,k=1,2, … , n 则称A为一致性矩阵，简称一致阵. 一致阵的性质: 1.A的秩为1,A的唯一非零 特征根为n; 2.A的任一列向量都是对应 于特征根n的特征向量. 若A为一致阵,则对应于特征 根n的,归一化的特征向量(即 分量之和为1)即表示各因素对 上一层因素Z的权向量,各分 量即为各因素对于Z的权重!
计算组合权向量 在”旅游问题”中已经得到了第2层(准则层)对于 第1层(目标层)的权向量,记为
w( 2) ( w1( 2) , w2 ( 2) , ..., w5 ( 2) )
即
w (0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110)T
用同样的方法构造第3层(方案层)对于第2层的每 一个准则的成对比较矩阵,不妨设为:
6
层次分析法
目标层
购买设备A
判断层
功能B1
价格B2
维护性B3
方案层
产品C1
产品C2
产品C3
图 设备采购层次结构图
7
层次分析法
层次分析法的建模步骤
（3）确定以上递阶结构中相邻层次元素间相 关程度。通过构造两比较判断矩阵及矩阵运算 的数学方法，确定对于上一层次的某个元素而 言，本层次中与其相关元素的重要性排序--相 对权值。 （4）计算各层元素对系统目标的合成权重， 进行总排序，以确定递阶结构图中最底层各个 元素的总目标中的重要程度。 （5）根据分析计算结果，考虑相应的决策。
11
层次分析法
得到:
A=(xij), xij>0,xji=1/xij
判断矩阵
某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住, 饮食,旅途5个因素对于目标Z的比较矩阵如下:
其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目 标Z的重要性之比为1:2.即日认为费用更重要，其他类同.
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层次分析法
w( 2) ( w1( 2) , w2( 2) , ..., wn( 2) )T
24
层次分析法
wk (3) ( wk 1(3) , wk 2 (3) ,..., wkm (3) )T , k 1, 2,..., n
以 wk
( 3)
为列向量构成矩阵
W ( 3) [ w1( 3) , w2 ( 3) , ..., wn ( 3) ]
层次分析法
同理可得方案P2,P3在目标中的组合权重分别为0.264 和0.456；于是得到方案层对于目标层的权向量为：
w(3)=(0.300,0.264,0.456)T
说明应以P3作为第一选择地点
由上面的计算可得一般的计算步骤如下: 对于3个层次的决策问题,若第一层只有一个因素, 第2,3层分别有n,m个因素,记第2层对第1层与第3层 对第2层的权向量分别为:
19
层次分析法
2 5 1 B1 1/ 2 1 2 1/ 5 1/ 2 1
1 3 1 1 1/ 3 1/ 8 1 3 B 3 1 1/ 3 B3 1 2 1/ 3 1/ 3 1 8 3 1
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3
W1(3)
W5(3)
W2(3
)
W3(3)
W4(3
)
方案P1在目标中的组合权重为相应项的两两乘积之和：
0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.300
要比较某一层n个因素x1,x2,…,xn对上一层一个因素Z的影 响,可从x1,x2,…,xn中任取xi与xj,比较他们对于Z的贡献(或重 要性)大小.按照如下”1~9比例尺度”给xi/xj赋值.
尺度xij 1 3 5 7 9 2,4,6,8 1,1/2,…,1/9
含ห้องสมุดไป่ตู้
义
xi与xj的影响相同 xi与xj的影响稍强 xi与xj的影响强 xi与xj的影响明显地强 xi与xj的影响绝对地强 xi与xj的影响之比在上述两个相邻等级之间 xi与xj的影响之比为上面aij的互反数
3
计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线 性组合:
z w1 x1 w2 x2 wn xn
n
Z的权重, w ( w1 , w2 , ..., wn )T 叫权向量. 注意,x1,x2, … ,xn中有的不是基数 小石块W1小石块W2 变量，而有可能是序数变量如舒 适程度,积极性之类. 设想: 把一块单位重量 … 的石头砸成n块小石块 小石块Wn
1 3 4 B4 1 / 3 1 1 1 / 4 1 1
1 1 1/ 4 B5 1 1 1/ 4 4 4 1
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根据前面计算 w (0.588, 0.322, 0.090)T , 3.010 的方 法计算各Bk所对应的权向量 wk ( 3) 最大特征根 k ,以 及一致性指标CIk如下表:
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层次分析法
层次分析法的建模步骤
（1）通过对系统的深刻认识，确定该系统的 总目标，弄清规划决策所涉及的范围、所要采 取的措施方案和政策、实现目标的准则、策略 和各种约束条件等，广泛地收集信息。 （2）建立一个多层次的递阶结构，按目标的 不同、实现功能的差异，将系统分为几个等级 层次。例如：下图是以递阶层次表示评价和选 择设备的层次结构模型。
层次分析法的步
9
层次分析法
1
建立层次结构模型
选择旅游景点 解决问题的目的 (也叫总目标)
目 标(Z) 层
景 色 费 用
准 则(x) 层
居 住
饮 食
旅 途
为实现总目标 而采取的各种 措施和方案
方 案(y) 层
P1
P2
P3
用于解决问题 的各种措施和 方案 10
层次分析法
2 构造成对比较矩阵(判断矩阵)
1 n ( Aw ) i d. 计算 , 作为最大特征根的近似值 n i 1 wi
15
例:
0.6 0.615 0.545 1.760 1 2 6 列向量 0.3 0.308 0.364 按行求和 0.972 A 1/ 2 1 4 归一化 0.1 0.077 0.091 0.268 1/ 6 1/ 4 1
1 2 3 4 5 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166 ( 3) wk 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 k 3.005 3.002 3 3.009 3 CI 0.003 0.001 0 0.005 0 由于n=3时,RI=0.58,因此由CR=CI/RI,知A以及各Bk均通过 一致性检验! 注意:若以上有没通过一致性检验者,则必须在返回重新构造 判断矩阵(叫一致性改进)!
第十六章 层次分析法
目标层 采购设备
判断层
功能B1
价格B2
维护性B3
方案层
产品C1
产品C2
产品C3
设备采购计划层次结构图
层次分析法
层次分析法(AHP, p248)
层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型
2. 构造成对比较阵(判断矩阵)
3. 计算权向量并做一致性检验
4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
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层次分析法
二. 层次分析法的基本步骤
例1. 假日旅游)有P1,P2,P3三个旅游地供选择,假如 选择的标准和依据有:景色,费用,饮食,居住和旅途.
一 般 的 思 维 过 程 首先,确定这些准则在你心目中各占的比重多大; 其次,就每一准则将三个地点进行对比;
最后,将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择.
17
RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
层次分析法
<3>一致性比率(用于确定A的不一致性的容许范围)
CI CR RI
当CR<0.1时,A的不一致性程 度在容许范围内,此时可用A 的特征向量作为权向量!
18
层次分析法
4 计算权组合向量并做一致性检验
0.587 1.769 归一化 0.324 w Aw 0.974 1 ( 1.769 0.974 0.268 ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089 0.089 0.268
精确值为 w (0.588, 0.322, 0.090)T , 3.010
k
k
层次分析法
组合权向量: 由各准则对目标的权向量和各方案 对每一准则的权向量计算各方案对目标的权向量, 该向量就叫组合权向量.
选择旅游地
0.263 0.475 0.055 0.099
W(2)
0.110
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
0.633 0.175 0.166 0.668 0.595 0.129 0.082 0.682 0.429 0.142 0.263 0.429 0.193 0.166 0.277
P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3 P1 P2 P3
W1(3) W2(3
)
W5(3)
W3(3)
W4(3
)
22
选择旅游地
0.263 0.475 0.055 0.099
W(2)
0.110
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
0.633 0.175 0.166 0.668 0.595 0.129 0.082 0.682 0.429 0.142 0.263 0.429 0.193 0.166 0.277
层次分析法的整个过程体现了人的决策思 维的基本特征，即分解、判断与综合，易学易 用，而且定性与定量相结合，便于决策者之间 彼此沟通，是一种十分有效的系统分析方法， 广泛地应用在经济管理规划、能源开发利用与 资源分析、城市产业规划、人才预测、交通运 输、水资源分析利用等方面。 近年来应用领域拓广到经济计划和管理,能 源政策和分配,行为科学,军事指挥,运输,农业,教 育,人才,医疗,环境等领域.
层次分析法
判断矩阵的一致性检验 判断矩阵通常是不一致的，但是为了能用它的对 应于特征根的λ的特征向量作为被比较因素的权向 量,其不一致程度应在容许的范围内。如何确定这 个范围? CI=0时A一致; max n <1>一致性指标 CI CI越大,A的不一致 n1 性程度越严重! <2>随机一致性指标RI n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
不完全层次结构模型
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一. 层次分析法简介
层 次 分 析 法 (AHP: Analytic Hierarchy Process)是将决策总是有关的元素分解成目标、 准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定 量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨 堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国 防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献 大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理 论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重 决策分析方法。
层次分析法
一. 层次分析法简介
层次分析法的特点是在对复杂的决策问题 的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分 析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思 维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结 构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。 尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场 合。
4
层次分析法
层次分析法应用领域
层次分析法
由对于一般的判断矩阵(即A不一定一致)如何计 算各因素xi对上一层因素Z的权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 wij aij /
b. 对 wij 按行求和得 wi wij
n
a
i 1
n
ij
n
j 1
c. 将 wi 归一化 wi wi / wi , w ( w1 , w2 , ..., wn )T, 即 i 1 为近似特征根(权向量)