2020版高考物理一轮复习第十章交变电流传感器第1节交变电流的产生及描述

第1节 交变电流的产生及描述
第十章 ⎪
⎪
⎪
交变电流 传感器
[全国卷考情分析]
正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值(Ⅰ)
远距离输电(Ⅰ)
以上2个考点未曾独立命题
第1节交变电流的产生及描述
(1)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流。

(×)
(2)线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也最大。

(×)
(3)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动经过中性面时，线圈中的感应电动势为零，电流方向发生改变。

(√)
(4)交流电气设备上所标的电压和电流值是交变电流的有效值。

(√)
(5)交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值。

(×)
(6)交变电流的峰值总是有效值的2倍。

(×)
突破点(一) 交变电流的产生和描述
1．正弦式交变电流的产生
(1)线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动。

(2)两个特殊位置的特点：
①线圈平面与中性面重合时，S ⊥B ，Φ最大，ΔΦ
Δt ＝0，e ＝0，i ＝0，电流方向将发生改变。

②线圈平面与中性面垂直时，S ∥B ，Φ＝0，ΔΦ
Δt
最大，e 最大，i 最大，电流方向不改变。

(3)电流方向的改变：线圈通过中性面时，电流方向发生改变，一个周期内线圈两次通过中性面，因此
电流的方向改变两次。

(4)交变电动势的最大值E m ＝nBS ω，与转轴位置无关，与线圈形状无关。

2．正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
1．(2017·惠州模拟)如图甲所示，在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，有一矩形单匝线圈，其面积为S ，总电阻为r ，线圈两端外接一电阻R 和一个理想交流电流表。

若线圈绕对称轴OO ′以角速度ω做匀速转动，图乙是线圈转动过程中产生的感应电动势e 随时间t 变化的图像，下列说法正确的是( )
A ．在t 1～t 3时间内，穿过线圈平面的磁通量的变化量为BS
B ．在t 3～t 4时间内，通过电阻R 的电荷量为
BS
R
C ．在t 3时刻穿过线圈平面的磁通量的变化率为2BS ω
D ．在t 3时刻电流表的示数为
BS ω2
＋
解析：选D 由题图可知，在t
1和t 3时刻穿过线圈平面的磁通量大小为BS ，方向相反，则在t 1～t 3时间内穿过线圈平面的磁通量的变化量为2BS ，A 错误；在t 3～t 4时间内，磁通量的变化量为BS ，则平均电动势E ＝BS
Δt ，因此通过电阻R 的电荷量为q ＝E R ＋r ·Δt ＝
BS
Δ
＋
Δt ＝
BS
R ＋r
，故B 错误；在t 3时刻电动势E ＝BS ω，则由法拉第电磁感应定律，E ＝ΔΦ
Δt
可知，则穿过线圈的磁通量变化率为BS ω，故C 错误；
在t 3时刻电流表的示数为交变电流的有效值，则有I ＝
E 2
＋
＝
BS ω2
＋
，故D 正确。

2．(2015·山东高考)如图甲，R 0为定值电阻，两金属圆环固定在同一绝缘平面内。

左端连接在一周期为T 0的正弦交流电源上，经二极管整流后，通过R 0的电流i 始终向左，其大小按图乙所示规律变化。

规定
内圆环a 端电势高于b 端时，a 、b 间的电压u ab 为正，下列u ab ­t 图像可能正确的是( )
解析：选C 由题图乙知，0～0.25T 0，外圆环电流逐渐增大且Δi
Δt 逐渐减小，根据安培定则，外圆环内
部磁场方向垂直纸面向里，磁场逐渐增强且ΔB
Δt 逐渐减小，根据楞次定律知内圆环a 端电势高，所以u ab ＞0，
根据法拉第电磁感应定律u ab ＝ΔΦΔt ＝ΔBS Δt 知，u ab 逐渐减小；t ＝0.25T 0时，Δi Δt ＝0，所以ΔB
Δt ＝0，u ab ＝0；
同理可知0.25T 0＜t ＜0.5T 0时，u ab ＜0，且|u ab |逐渐增大；0.5T 0～T 0内重复0～0.5T 0的变化规律。

故选项
C 正确。

一边长为L 的正方形单匝线框绕垂直于匀强磁场的固定轴转动，线框中 3.
感应电动势e 随时间t 的变化情况如图所示。

已知匀强磁场的磁感应强
产生的则结合图中所给信息可判定( )
度为B ，
A．t1时刻穿过线框的磁通量为BL2
B．t2时刻穿过线框的磁通量为零C．t3时刻穿过线框的磁通量变化率为零
D．线框转动的角速度为Em
BL2
解析：选D t1时刻，感应电动势最大，穿过线框的磁通量应为零，A错误；t2时刻，穿过线框的磁通
量最大为Φm＝BL2，B错误；t3时刻，感应电动势最大，则磁通量变化率也最大，C错误；交变电流的最大
值为E m＝BL2ω，则ω＝Em
BL2
，D正确。

突破点(二) 有效值的理解与计算
(1)计算有效值的根据是电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热
量”列式求解。

(2)利用公式Q＝I2Rt和Q＝U2
R
t可分别求得电流有效值和电压有效值。

有效值的求解
[典例] 电阻R1、R2与交流电源按照图甲所示方式连接，R1＝10 Ω，R2＝20 Ω。

合上开关S后，通过
电阻R2的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示。

则( )
A．通过R1的电流有效值是1.2 A
B．R1两端的电压有效值是6 V
C．通过R2的电流有效值是1.2 2 A
D．R2两端的电压最大值是6 2 V [解析] 首先从交流电图像中找出交变电流的最大值即通过R2的电流最大值为0.6 2 A，由正弦式交
变电流最大值与有效值的关系I m＝2I可知其有效值为0.6 A，由于R1与R2串联，所以通过R1的电流有效值也是0.6 A，选项 A、C错；R1两端电压有效值为U1＝IR1＝6 V，选项B对；R2两端电压最大值为U2m＝I m R2
＝0.62×20 V＝12 2 V，选项D错。

[答案] B
[多维探究]
[变式1] 把图像下半部分翻到t轴的上面
正弦交流电是由闭合线圈在匀强磁场中匀速转动产生的。

线圈中感应电动势随时间变化的规律如图所
示，则此感应电动势的有效值为________ V。

解析：由有效值的定义式得：
⎝ ⎛⎭⎪⎫31122R
×T
2×2＝U2
R
T ，得：U ＝220 V 。

答案：220 V
[变式2] 仅余1
2
周期的波形
家用电子调光灯的调光功能是用电子线路将输入的正弦交流电压的波形截去一部分来实现的，由截去部分的多少来调节电压，从而实现灯光的可调，比过去用变压器调压方便且体积小。

某电子调光灯经调整
后电压波形如图所示，求灯泡两端的电压的有效值。

解析：从u ­t 图像看出，每个周期的前半周期是正弦图形，其有效值为U 1＝
Um
2
；后半周期电压为零。

根据有效值的定义，U2
R
T ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫Um 22R
·T
2＋0，解得U ＝Um
2。

答案：
Um
2
[变式3] 仅余1
4
周期的波形
如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四
分之一周期被截去，则现在电灯上电压的有效值为( )
A ．U m
B.Um 2
C.
Um 3D.Um
2
解析：选D 从U ­t 图像上看，每个14周期正弦波形的有效值U 1＝Um 2，根据有效值的定义：U2
R T ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
Um 22R
×T 4×2＋0，解得：U ＝Um
2
，D 正确。

[变式4] 把正余弦波形变成矩形波形
如图所示，表示一交流电的电流随时间而变化的图像，此交流电的有效值是( )
A ．5 2 A
B ．3.5 2 A
C ．3.5 A
D ．5 A
解析：选D 交流电的有效值是根据其热效应定义的，它是从电流产生焦耳热相等的角度出发，使交流电与恒定电流等效。

设交流电的有效值为I ，令该交变电流通过一阻值为R 的纯电阻，在一个周期内有：I 2
RT
＝I 12R T 2＋I 22R T
2。

所以该交流电的有效值为I ＝
I12＋I22
2
＝5 A 。

[变式5] 上下波形的最大值不一致
电压u 随时间t 的变化情况如图所示，求电压的有效值？
解析：由有效值的定义式得：
⎝ ⎛⎭⎪⎫15622R
×T 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
31122
R
×T 2＝U2
R
T ，得：U ＝5510 V 。

答案：5510 V
[变式6] 在电阻两端并联二极管
如图所示电路，电阻R 1与电阻R 2阻值相同，都为R ，和R 1并联的D 为理想二极管
＝20 2sin
(正向电阻可看作零，反向电阻可看作无穷大)，在A 、B 间加一正弦交流电u
100πt V ，则加在R 2上的电压有效值为( )
B ．20 V
A ．10 V
C ．15 V
D ．510 V
解析：选D 电压值取正值时，即在前半个周期内，二极管电阻为零，R 2上的电压等于输入电压值，电压值取负值时，即在后半周期内，二极管电阻无穷大可看作断路，R 2上的电压等于输入电压值的一半，据此可设加在R 2的电压有效值为U ，根据电流的热效应，在一个周期内满足U2R T ＝202R T 2＋102R T
2
，可求出U ＝510
V 。

故选项D 正确。

[方法规律]
几种典型交变电流的有效值
突破点(三) 交变电流“四值”的理解和应用
对交变电流“四值”的比较和理解
[多角练通]
1.(2015·四川高考)小型手摇发电机线圈共N 匝，每匝可简化为
abcd ，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO ′，线
矩形线圈匀速转动，如图所示。

矩形线圈ab 边和cd 边产生的感应电动势的最大
圈绕OO ′不计线圈电阻，则发电机输出电压( ) 值都为e 0，值是e 0 B ．峰值是2e 0
A ．峰
C ．有效值是
2
2
Ne 0 D ．有效值是2Ne 0
解析：选D 因每匝矩形线圈ab 边和cd 边产生的电动势的最大值都是e 0，每匝中ab 和cd 串联，故每匝线圈产生的电动势的最大值为2e 0。

N 匝线圈串联，整个线圈中感应电动势的最大值为2Ne 0，因线圈中产
生的是正弦交流电，则发电机输出电压的有效值E ＝2Ne 0，故选项D 正确。

2．(2013·福建高考)如图，实验室一台手摇交流发电机，内阻r
外接R ＝9.0 Ω的电阻。

闭合开关S ，当发电机转子以某一转速匀速转
＝1.0 Ω，的电动势e ＝102sin 10πt (V)，则( )
动时，产生交变电流的频率为10 Hz
A ．该
B ．该电动势的有效值为10 2 V
C ．外接电阻R 所消耗的电功率为10 W
D ．电路中理想交流电流表○A
的示数为1.0 A
解析：选D 由产生的电动势可知，该交流电的频率为5 Hz ，选项A 错误；该电动势的有效值为10 V ，选项B 错误；外接电阻R 所消耗的电功率为9 W ，选项C 错误；电路中交流电流表的示数为电流的有效值，
为1.0 A ，选项D 正确。

3．(多选)(2017·江苏四市一模)如图甲所示为风力发电的简易模型图，在风力的作用下，风叶带动与其固定在一起的永磁铁转动，转速与风速成正比。

某一风速时，线圈中产生的正弦式电流如图乙所示，则
( )
A ．电流的表达式i ＝0.6sin 10πt (A)
B ．磁铁的转速为10 r/s
C ．风速加倍时电流的表达式i ′＝1.2sin 10πt (A)
D ．风速加倍时线圈中电流的有效值为32
5
A
解析：选AD 通过乙图可知I m ＝0.6 A ，T ＝0.2 s ，ω＝
2π
T
＝10π rad/s ，故电流的表达式为：i ＝0.6sin 10πt (A)，A 正确；磁体的转速为n ＝1
T ＝5 r/s ，B 错误；风速加倍时，根据E m ＝nBS ω可知感应电动势加
倍，形成的电流加倍，故电流表达式变为i ′＝1.2sin 20πt (A)，C 错误；风速加倍时，I m ＝1.2 A ，有效
值I ＝
Im
2
＝32
5 A ，D 正确。

交变电流瞬时表达式的书写问题
图甲是交流发电机模型示意图。

在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd 可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO ′转动，由线圈引出的导线ae 和df 分别与两个跟线圈一起绕OO ′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻
R 形成闭合电路。

图乙是线圈的主视图，导线ab 和cd 分别用它们的横截面来表示。

已知ab 长度为L 1，bc
长度为L 2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动。

(只考虑单匝线圈)
(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t 时刻整个线圈中的感应电动势e 1的表达式；
(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图丙所示，试写出t 时刻整个线圈中的感应
电动势e 2的表达式；
(3)若线圈电阻为r ，求线圈每转动一周电阻R 上产生的焦耳热。

(其他电阻均不计)
解析：(1)矩形线圈abcd 在磁场中转动时，只有ab 和cd 切割磁感线，且转动的半径为r ＝L2
2
，设ab
和cd 的转动速度为v ，则v ＝ω·
L2
2
刻，导线ab 和cd 因切割磁感线而产生的感应电动势均为E 1＝BL 1v ⊥
在t 时知v ⊥＝v sin ωt
由图可线圈的感应电动势为 则整个
＝BL 1L 2ωsin ωt 。

e 1＝2E 1
线圈由图丙位置开始运动时，在t 时刻整个线圈的感应电动势为e 2＝
(2)当
BL 1L 2ωsin(ωt ＋φ0)。

(3)由闭合电路欧姆定律可知I ＝
E
R ＋r
这里E 为线圈产生的电动势的有效值E ＝Em
2＝BL1L2ω2
则线圈转动一周在R 上产生的焦耳热为Q R ＝I 2
RT
其中T ＝
2πω
于是Q R ＝πR ω⎝ ⎛⎭
⎪⎫BL1L2R ＋r 2。

答案：(1)e 1＝BL 1L 2ωsin ωt (2)e 2＝BL 1L 2ωsin(ωt ＋φ0)
(3)πR ω⎝ ⎛⎭
⎪⎫BL1L2R ＋r 2
[反思领悟]
书写交变电流瞬时值表达式的基本思路
(1)确定正弦式交变电流的峰值，根据已知图像读出或由公式E m ＝nBS ω求出相应峰值。

(2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。

①若线圈从中性面位置开始转动，则i ­t 图像为正弦函数图像，函数式为i ＝I m sin ωt 。

②若线圈从垂直中性面位置开始转动，则i ­t 图像为余弦函数图像，函数式为i ＝I m cos ωt 。

对点训练：交变电流的产生和描述
1．如图，各图面积均为S 的线圈均绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B 中以角速度ω匀速转动，能产
生正弦交变电动势e ＝BS ωsin ωt 的图是( )
解析：选A 由题意可知，只有A 、C 图在切割磁感线，导致磁通量在变化，产生感应电动势，A 中从中性面开始计时，产生的电动势为e ＝BS ωsin ωt ，C 中从峰值面开始计时，产生的电动势为e ＝BS ωcos
确。

ωt ，故A 正
图所示的空间存在一匀强磁场，其方向为垂直于纸面向里，磁场的右边界 2.如右侧有一矩形金属线圈abcd ，ab 边与MN 重合。

现使线圈以ab 边为轴按图为MN ，在MN
示方向匀速转动(从上往下看为顺时针转动)，将a 、b 两端连到示波器的输入端，若ab 边中电流从a 到b
为正，则从示波器观察到的ab 中电流随时间变化的图形是( )
解析：选D 本题可将右侧磁场补全，即矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，会产生正弦式交流电，由楞次定律可知：从中性面开始，电流从0开始，沿负向，可画出完整电流随时间变化的图形，在此基础上，
去掉右侧磁场，故电流仅在左侧磁场中切割磁感线而产生电流，故选项D 正确。

选)(2017·吉林模拟)如图所示，闭合的矩形导体线圈abcd 在匀强磁场中绕 3.(
多
线的对称轴OO ′匀速转动，沿着OO ′方向观察，线圈沿顺时针方向转动。

已垂直于磁感的磁感应强度为B ，线圈匝数为n ，ab 边的边长为L 1，ad 边的边长为L 2，线
知匀强磁场转动的角速度为ω，则当线圈转至图示位置时( )
圈电阻为R ，中感应电流的方向为abcda
A ．线圈
B ．线圈中的感应电动势为2nBL 2ω
C ．穿过线圈的磁通量随时间的变化率最大
D ．线圈ad 边所受安培力的大小为n2B2L1L2ω
R
，方向垂直纸面向里
解析：选AC 当线圈转至图示位置时由楞次定律可判断出线圈中感应电流的方向为abcda ，线圈中的感应电动势为nBL 1L 2ω，穿过线圈磁通量随时间的变化率最大，选项A 、C 正确，选项B 错误；线圈ad 边所
受安培力的大小为n2B2L1L22ω
R
，方向垂直纸面向里，选项D 错误。

4．某线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，产生的交变电流的图像如图所示，由图中信息可
以判断( )
A ．在A 、C 时刻线圈处于中性面位置
B ．在B 、D 时刻穿过线圈的磁通量为零
C ．从A ～
D 线圈转过的角度为2π
D ．若从O ～D 历时0.02 s ，则在1 s 内交变电流的方向改变了100次
解析：选D 由题中交变电流的图像可知，在A 、C 时刻产生的感应电流最大，对应的感应电动势最大，线圈处于峰值面的位置，选项A 错误；在B 、D 时刻感应电流为零，对应的感应电动势为零，即磁通量的变化率为零，此时磁通量最大，选项B 错误；从A ～D ，经历的时间为34周期，线圈转过的角度为3
2π，选项C
错误；若从O ～D 历时0.02 s ，则交变电流的周期为0.02 s ，而一个周期内电流的方向改变两次，所以1
s 内交变电流的方向改变了100次，选项D 正确。

对点训练：有效值的理解与计算
图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B 。

电阻为R 、半 5.如心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O 轴以角速度ω匀速转动
径为L 、圆磁场边界)。

则线框内产生的感应电流的有效值为( ) (O 轴位于
A.BL2ω2R
B.
2BL2ω
2R
C.
2BL2ω4R D.BL2ω
4R
解析：选D 线框的转动周期为T ，而线框转动一周只有T
4
的时间内有感应电流，此时感应电流的大小
为：I ＝1
2BL2ωR ＝BL2ω2R ，根据电流的热效应有：⎝ ⎛⎭
⎪⎫BL2ω2R 2R ·T 4＝I 有2RT ，解得I 有＝BL2ω4R ，故D 正确。

6．先后用不同的交流电源给同一盏灯泡供电，第一次灯泡两端的电压随时间按正弦规律变化(如图甲所示)；第二次灯泡两端的电压变化规律如图乙所示。

若甲、乙图中的U
0、T 所表示的电压、周期值是相同
的，则以下说法正确的是( )
A ．第一次，灯泡两端的电压有效值是
U0
2 B ．第二次，灯泡两端的电压有效值是
3U0
2
C ．第一、第二次，灯泡的电功率之比是2∶9
D ．第一、第二次，灯泡的电功率之比是1∶5
解析：选D 第一次，灯泡两端电压的有效值为U 1＝
U0
2
，功率P 1＝U12R ＝U02
2R 。

第二次，设灯泡两端电
压的有效值为U 2，则
R
T 2＋－
R
T 2＝U22
R
T ，解得U 2＝ 52U 0，功率P 2＝U22R ＝5U022R ，则P 1∶P 2＝1∶5，故A 、B 、C 错误，D 正确。

7．(多选)如图甲所示为一交变电压随时间变化的图像，每个周期内，前二分之一周期电压恒定，后二分之一周期电压按正弦规律变化。

若将此交流电连接成如图乙所示的电路，电阻R
阻值为100 Ω
，则( )
A ．理想电压表读数为100 V
B ．理想电流表读数为0.75 A
C ．电阻R 消耗的电功率为56 W
D ．电阻R 在100秒内产生的热量为5 625 J
解析：选BD 根据电流的热效应，一个周期内产生的热量：Q ＝U2
R T ＝1002R T 2
＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫
5022
R
T
2
，解得U ＝75 V ，
A 错误；电流表读数I ＝U R
＝0.75 A ，B 正确；电阻R 消耗的电功率P ＝I 2
R ＝56.25 W ，C 错误；在100秒内
产生的热量Q ＝Pt ＝5 625 J ，D 正确。

8．(2017·唐山模拟)一个U 形金属线框在匀强磁场中绕OO ′轴以相同的角速度匀速转动，通过导线给同一电阻R 供电，如图甲、乙所示。

其中甲图中OO ′轴右侧有磁场，乙图中整个空间均有磁场，两磁场磁
感应强度相同。

则甲、乙两图中交流电流表的示数之比为( )
A ．1∶ 2
B ．1∶2
C ．1∶4
D ．1∶1
解析：选A 题图甲中的磁场只在OO ′轴的右侧，所以线框只在半周期内有感应电流产生，如图甲，电流表测得是有效值，所以I ＝1 2BS ωR。

题图乙中的磁场布满整个空间，线框中产生的感应电流如图乙，所
以I ′＝
22BS ω
R
，则I ∶I ′＝1∶2，即A 正确。

对点训练：交变电流“四值”的理解和应用
9．(多选)(2017·安徽“江南十校”联考)如图所示，处在垂直纸面向外、
强度大小为B 的匀强磁场中的矩形线框MNPQ ，以恒定的角速度ω绕对角线NQ 磁感应已知MN 长为l 1，NP 长为l 2，线框电阻为R 。

在t ＝0时刻线框平面与纸面重合，
转动。

下列说法正确的是( )
A ．矩形线框产生的感应电动势有效值为
2
2
Bl 1l 2ω B ．矩形线框转过半周时，通过线框的瞬时电流为零
C ．矩形线框转动一周时，通过线框的电荷量为
Bl1l2
R
D ．矩形线框在转动半周过程中产生的热量为
πB2l12l22ω
2R
解析：选ABD 矩形线框转动产生正弦交变电流最大值：E m ＝Bl 1l 2ω，有效值E ＝
Em
2＝2
2
Bl 1l 2ω，故A 正确；转过半周，线圈平面与磁场垂直，磁通量最大，感应电动势为零，瞬时电流为零，B 正确；转过一
周通过横截面的电荷量为零，C 错误；转过半周时间内产生的热量为Q ＝
E2R
t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22Bl1l2ω2R
×π
ω
＝
πB2l12l22ω
2R
，D 正确。

选)(2017·忻州模拟)如图所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周10.(多轴O 1O 2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω。

从线圈平面与磁场方向平行时
期为T ，转线圈转过60°时的感应电流为1 A 。

那么( )
开始计时，消耗的电功率为4 W
A ．线圈
B ．线圈中感应电流的有效值为2 A
C ．任意时刻线圈中的感应电动势为e ＝4cos 2π
T t
D ．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝T πsin 2π
T
t
解析：选AC 线圈转动的角速度ω＝2π
T ，线圈平面从与磁场方向平行开始计时，当转过60°时，电
流的瞬时值表达式为i ＝I m cos 60°＝1 A ，解得I m ＝2 A ，则正弦交变电流的有效值为I ＝
Im 2
＝ 2 A ，B
项错；线圈消耗的电功率P ＝I 2
R ＝4 W ，A 项正确；由欧姆定律可知，感应电动势最大值为E m ＝I m R ＝4 V ，所以其瞬时值表达式为e ＝4cos 2πT t ，C 项正确；通过线圈的磁通量Φ＝Φm sin ωt ＝Φm sin 2π
T
t ，感应电
动势的最大值E m ＝BS ω＝Φm ×2πT ，Φm ＝EmT 2π，联立解得Φ＝2T πsin 2π
T
t ，D 项错。

合训练
考点综
11.(2017·开封模拟)如图所示，一个半径为r 的半圆形线圈，以直径转动，转速为n ，ab 的左侧有垂直于纸面向里(与ab 垂直)的匀强磁场，磁
ab 为轴匀速
B 。

M 和N 是两个集流环，负载电阻为R ，线圈、电流表和连接导线的电阻
感应强度为不计，求：
电动势的最大值。

(1)感应
(2)从图示位置起转过1
4
转的时间内负载电阻R 上产生的热量。

(3)从图示位置起转过1
4
转的时间内通过负载电阻R 的电荷量。

(4)求出电流表的示数。

解析：(1)线圈绕轴转动时，在电路中产生如图所示的交变电流：
此交变电流的最大值为
E m ＝BS ω＝B
πr22
2πn ＝π2Bnr 2。

(2)在转过1
4
周期的时间内，导体一直切割磁感线，则产生的热量Q ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫Em 22
R
·T 4
＝π4B2nr4
8R。

(3)在转过14周期的时间内，电动势的平均值E ＝
ΔΦ
Δt
通过R 的电荷量q ＝I Δt ＝
E
R Δt ＝ΔΦR ＝πBr2
2R。

(4)根据电流的热效应，在一个周期内：
Q ＝I 2RT ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫
Em 22R
·T
2
故电流表的示数为I ＝π2r2nB
2R。

答案：(1)π2Bnr 2
(2)π4B2nr48R (3)πBr22R (4)
π2r2nB 2R
12．如图甲所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。

已知线圈的匝数n ＝100 匝，总电阻r ＝1.0 Ω，所围成矩形的面积S ＝0.040 m 2
，小灯泡的电阻R ＝9.0 Ω，磁感应强度随时间按如图乙所示的规律变化，线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为e ＝nB m S 2πT cos 2π
T
t ，其中B m 为磁感应强度的最大值，T 为磁场变化的周期，不
计灯丝电阻随温度的变化，求：
(1)线圈中产生感应电动势的最大值；
(2)小灯泡消耗的电功率；
(3)在磁感应强度变化的0～T
4
时间内，通过小灯泡的电荷量。

解析：(1)由图像知，线圈中产生的交变电流的周期T ＝3.14×10－2
s ，所以E m ＝nB m S ω＝2πnBmS T
＝8.0
V 。

(2)电流的最大值I m ＝Em R ＋r ＝0.80 A ，有效值I ＝Im 2＝225 A ，小灯泡消耗的电功率P ＝I 2
R ＝2.88 W 。

(3)在0～T 4时间内，电动势的平均值E －＝nS ΔB Δt ，平均电流I －
＝E －
R ＋r
＝
nS ΔB
＋Δt
，流过灯泡的电荷量
Q ＝I －
Δt ＝
nS ΔB R ＋r
＝4.0×10－3
C 。

答案：(1)8.0 V (2)2.88 W (3)4.0×10－3
C。