拓展课 天体运动中的三类典型问题2020(春)物理 必修 第二册 鲁科版(新教材)

拓展课天体运动中的三类典型问题

核心要点人造卫星的发射、变轨问题

[要点归纳]

1.卫星发射及变轨过程概述

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2.三个运行物理量的大小比较

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B点速率分别为v A、v B。在A点加速，则v A＞v1，在B点加速，则v3＞v B，又因v1＞v3，故有v A＞v1＞v3＞v B。

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别

为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3

T2＝k可知T1＜T2＜T3。

[经典示例]

[例1]我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则()

A.飞行器在B点处点火后，动能增加

B.由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期

C.只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度

D.飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2πR g0

解析在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需的向心力，故点火后动能减小，故A错误；设飞行器在近月轨道Ⅲ绕月球

运行一周所需的时间为T3，则mg0＝mR4π2

T23，解得T3＝2πR

g0

，根据几何关系可

知，轨道Ⅱ的半长轴a＝2.5R，根据开普勒第三定律a3

T2

＝k以及轨道Ⅲ的周期，可求出在轨道Ⅱ上的运行周期，故B错误，D正确；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度与在轨道Ⅲ上通过B点的加速度相等，故C错误。

答案 D

[针对训练1](多选)2016年中国发射了“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟十一号”载人飞船和“天舟一号”货运飞船，与“天宫二号”交会对接。“天宫二号”由“长征二号F”改进型无人运载火箭从酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面的高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上。“天宫二号”飞行几周后进行变轨进入预定圆轨道，如图所示。已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，引力常量为G，地球半径为R。则下列说法正确的是()

A.“天宫二号”从B 点沿椭圆轨道向A 点运行的过程中，引力为动力

B.“天宫二号”在椭圆轨道的B 点的加速度大于在预定圆轨道上B 点的向心加速度

C.“天宫二号”在椭圆轨道的B 点的速度大于在预定圆轨道上的B 点的速度

D.根据题目所给信息，可以计算出地球质量

解析 “天宫二号”从B 点沿椭圆轨道向A 点运行的过程中，速度在变大，故受到的地球引力为动力，所以A 正确；在B 点“天宫二号”的加速度都是由万有引力产生的，因为同在B 点万有引力大小相等，故不管在哪个轨道上运动，在B 点时万有引力产生的加速度大小相等，故B 错误；“天宫二号”在椭圆轨道的B 点加速后做离心运动才能进入预定圆轨道，故“天宫二号”在椭圆轨道的B 点的速度小于在预定圆轨道的B 点的速度，故C 错误；“天宫二号”在预定圆轨道上飞

行n 圈所用时间为t ，故周期为T ＝t n ，根据万有引力提供向心力G Mm （R ＋h ）

2＝m 4π2（R ＋h ）T 2，得地球的质量M ＝4π2（R ＋h ）3GT 2＝4π2n 2（R ＋h ）3

Gt 2

，故D 正确。 答案 AD

核心要点

同步卫星、近地卫星、赤道上物体物理量的比较

[要点归纳]

1.相同点

(1)都以地心为圆心做匀速圆周运动。

(2)同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度。

2.不同点

(1)向心力不同

同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，GMm

r2＝

m v2

r；而赤道上的物体随

地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，GMm

r2≠

m v2

r。

(2)向心加速度不同

[经典示例]

[例2] (多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是()

A.a1

a2＝r

R B.

a1

a2＝⎝

⎛

⎭

⎪

⎫r

R

2

C.v1

v2＝

r

R D.

v1

v2＝

R

r

【解题指导】

比较a1和a2→同步卫星与赤道上物体的角速度相同→据a＝ω2r分析

比较v1和v2→同步卫星与近地卫星皆由万有引力提供向心力

→据v＝GM

r

分析

解析设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面随地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ω21r，a2＝ω22R，