2010年东南地区数学奥林匹克

Southeast Mathematical Olympiad 2010

第一天 2010/08/17 08:00-12:00

台湾 彰化 鹿港高中

1. 设a 、b 、c {}0,1,2,,9∈⋯，若二次方程20ax bx c ++=有有理根，证明：三位数abc 不是素数。

2. 对于集合{}12,,,m A a a a =⋯，记12()m P A a a a =⋯。设1A 、2A 、…、99

2010

()n A n C =是集合{}1,2,,2010⋯的所有99元子集，求证:1

2011()n

i i P A =∑。

3. 如图，已知△ABC 内切圆I 分别与边AB 、BC 相于点F 、D ，直线AD 、CF

分别交圆I 于另一点H 、K 。求证：

3FD HK

FH DK ×=×。

4. 设正整数a 、b 满足1100a b ≤<≤，若存在正整数k ，使得()k k ab a b +，则称数对（a , b ）是“好的”。求所有“好的”数对的个数。

Southeast Mathematical Olympiad 2010

第二天 2010/08/18 08:00-12:00

台湾 彰化 鹿港高中

5. 如图，三角形ABC 为直角三角形，90ACB ∠=°。1M 、2M 为△ABC 内任意两点，M 为线段12M M 的中点，直线1BM 、2BM 、BM 与AC 边分别交于点1N 、2N 、N 。求证：

1122122M N M N MN

BM BM BM

+≥。

6. 设N ∗为正整数集合，定义：12a =，

1121111

min{|1,N },1,2,n n a n a a a λλλ

∗+=++++<∈=⋯⋯。

求证：2

11n n n a a a +=−+。

7. 设n 是一个正整数，实数1a 、2a 、…、n a 和1r 、2r 、…、n r 满足：12n a a a ≤≤≤⋯ 和120n r r r ≤≤≤≤⋯，求证：

11

min(,)0n n

i

j

i j i j a a

r r ==≥∑∑。

8. 在一个圆周上给定8个点1A 、2A 、…、8A 。求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形。

M N C B A 1

N 1M 2

N 2M