中级微观经济第二十章 成本最小化

成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2w 1 * * x1 . 由 (b)可得 x 2 w2
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2w 1 * * x1 . 由 (b)可得 x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
将其代入 (a) 中可得 2/ 3 2/ 3 2w 1 * 1/ 3 2w 1 * * y ( x1 ) x1 x1 . w2 w2
y y y
y x1
y y
要素1 的条件 需求
* * x* ( y ) x ( y ) x 1 1 1 * x1 ( y )
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
对于生产函数：
产出为y的最小成本投入束为：
/ 3 2/ 3 y f ( x1 , x 2 ) x1 1 x2

* x* ( w , w , y ), x 1 1 2 2 ( w1 , w 2 , y )

w 2/ 3 2w 1/ 3 1 2 y, y . 2w 1 w 2
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的总成本函数为：
* c( w 1 , w 2 , y ) w 1x* ( w , w , y ) w x 1 1 2 2 2 ( w1 , w 2 , y)
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化问题
x2
一个内部成本最小化投入束满足： * * (a) f ( x1 , x 2 ) y 且 (b)等成本线= 等产量线的斜率
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化问题
x2
一个内部成本最小化投入束满足： * * (a) f ( x1 , x 2 ) y 且 (b)等成本线= 等产量线的斜率
y y
* * ( y ) x ( y ) x y x* 2 2 2 *
x 2 ( y )
y y y
y x1
y y
* * x* ( y ) x ( y ) x 1 1 1 * x1 ( y )
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
c’ < c” x1
y’单位产出的等产量线
x2
所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
f(x1,x2) y’
x1
成本最小化问题
x2
所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
f(x1,x2) y’
x1
成本最小化问题
x2
所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
x1 ,x 2 0
st
min w 1x1 w 2x 2
f ( x1 , x 2 ) y .
成本最小化问题
在最小成本投入束中的要素投入量
x1*(w1,w2,y) 和 x1*(w1,w2,y) 为厂商对于投 入要素1和2的条件需求函数。 生产y单位产出时的最小可能总成本为： * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) * w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ).
和 w2. 厂商的条件投入要素需求函数为什么？
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
生产y单位产出的最小化成本的投入束满足： (x1*,x2*) (a) y ( x* )1/ 3 ( x* ) 2/ 3 且
1 2
(b)
w1 y / x1 w2 y / x2
* 2 / 3 * 2 / 3 (1 / 3)( x1 ) (x2 ) 1/ 3 * 1/ 3 ( 2 / 3)( x* ) (x2 ) 1 * x2 . * 2x1
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2w 1 * * x1 . 由 (b)可得 x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
将其代入 (a) 中可得 2/ 3 * 1/ 3 2w 1 * y ( x1 ) x1 w2
第二十章
成本最小化
成本最小化
0 的前提下 ，以最小可能总成本生产，那么厂商是 一个成本最小化的。 c(y) 表示生产y单位产出的厂商最小可能 总成本 c(y) 为厂商的总成本函数。
假如厂商在给定产出水平y
成本最小化
当厂商面对给定的投入要素价格
w = (w1,w2,…,wn) ， 总成本函数可以写成 c(w1,…,wn,y)。
因此
* w2 x1 2w 1
2/ 3
y 为厂商对于要素1的条件 需求函数
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
2w 1 * * w2 * x1 x1 且 由于 x 2 2w 1 w2 2/ 3 1/ 3 2w 1 2w 1 w 2 * x2 y y w2 w 2 2w 1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的总成本函数为：
* c( w 1 , w 2 , y ) w 1x* ( w , w , y ) w x 1 1 2 2 2 ( w1 , w 2 , y )
w2 w1 2w 1 1 2
2/ 3
2/ 3
2w 1 y w2 w2
1/ 3
y
/ 3 2/ 3 1/ 3 1/ 3 2/ 3 w1 w y 2 w1 w 2 y 1 2
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的总成本函数为：
* c( w 1 , w 2 , y ) w 1x* ( w , w , y ) w x 1 1 2 2 2 ( w1 , w 2 , y )
成本最小化问题
假设厂商使用两中要素来生产一种产品 生产函数为：
y = f(x1,x2). 产出水平y 0 给定。 给定价格水平w1 和w2, 投入束(x1,x2)的 成本为：w1x1 + w2x2.
成本最小化问题
对于给定的w1,
w2 和 y, 厂商成本最小化 问题就是解如下方程：
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
y y
y x1
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
y
y
y x* 2 ( y )
y y
x* 2
x* 2 ( y )
x* 1 ( y )
y x1
y
x* 1 ( y )
x* 1
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
* 1/ 3 * 2/ 3 (a) y ( x1 ) ( x 2 )
2w 1 * * x1 . 由 (b)可得 x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
将其代入 (a) 中可得 2/ 3 2/ 3 2w 1 * 1/ 3 2w 1 * * y ( x1 ) x1 x1 . w2 w2
y x1
y y
* * x* ( y ) x ( y ) x 1 1 1 * x1 ( y )
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
y
y
产出扩 张路线
x* 2 ( y ) x* 2 ( y ) x* 2 ( y )
* x* ( y ) 1 x1 ( y ) x* 1 ( y )

4

成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{ 4x1 , x 2 }.
给定投入要素价格w1
和 w2 。 厂商对于要素1和2的条件需求为多少？ 厂商的中成本函数为什么？
成本最小化的完全互补品的例子
x2 4x1 = x2
y
y y
y x* 2 ( y )
x* 2 ( y )
x* 2
x* 2 ( y ) x* 2 ( y )
y y
x* 1 ( y ) x* 1 ( y )
y x1
y y
x* 1 ( y ) x* 1 ( y )
x* 1
要素投入的条件需求函数
x2
固定 w1 和 w2.
f(x1,x2) y’
x1
成本最小化问题
x2
所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
f(x1,x2) y’
x1
成本最小化问题
x2
所有的投入束都能产生y’单位的产出。 哪一个是最便宜的?
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化问题
x2
一个内部的成本最小化投入束满足： * * (a) f ( x1 , x 2 ) y
w2 w1 2w 1 1 2
2/ 3
2/ 3
2w 1 y w2 w2
1/ 3
y
/ 3 2/ 3 1/ 3 1/ 3 2/ 3 w1 w y 2 w1 w 2 y 1 2
1/ 3 2 w 1w 2 3 y.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的总成本函数为：
* * c( w 1 , w 2 , y ) w 1x1 ( w 1 , w 2 , y ) w 2x 2 ( w 1 , w 2 , y ) 2/ 3 1/ 3 w2 2w 1 w1 y w2 y 2w 1 w2
w1 MP1 * TRS at ( x* , x 1 2 ). w2 MP2
x 2*
f(x1,x2) y’
x 1* x1
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
厂商的柯布-道格拉斯生产函数为：
/ 3 2/ 3 y f ( x1 , x 2 ) x1 1 x2 .
投入要素的价格为w1
投入要素的条件需求
给定w1,
处？ 总成本函数如何计算？
w2 和 y, 最小成本投入束位于何
等成本线
一条包含成本为定值的所有投入束称为
等成本曲线。 例如，给定 w1 和 w2, $100 的等成本线 方程为：
w 1x1 w 2x 2 100.
等成本线
一般来说，给定w1
y
y
要素2的条件需求
产出扩张 路线
x* 2 ( y ) x* 2 ( y ) x* 2 ( y )
* x* ( y ) 1 x1 ( y ) x* 1 ( y )
y y
* * ( y ) x ( y ) x y x* 2 2 2 *
x 2 ( y )
等成本线方程为：
和w2, 总成本为$c 的

w 1x1 w 2x 2 c
w1 c x2 x1 . w2 w2
斜率为-
w1/w2.
等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
等成本线
x2 斜率= -w1/w2.
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
2/ 3
y
为要素2的条件需求函数
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
因此产出为y的最小成本投入束为：

* * x1 ( w 1 , w 2 , y ), x 2 ( w 1 , w 2 , y )
Βιβλιοθήκη Baidu

w 2/ 3 2w 1/ 3 1 2 y, y . 2w 1 w 2
y
y
y y
x* 2 ( y ) x* 2 ( y ) x* 2 ( y )
* x* ( y ) 1 x1 ( y ) x* 1 ( y )
* * ( y ) x ( y ) x y x* 2 2 2 *
y y y
x 2 ( y )