泊松分布

泊松分布

如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不

会说：“电话在 1876 年由贝尔发明，一台电话由以下几个部分构成……”——“泊松分布在 1876 年由泊松提出，泊松分布的公式是……”——所以我们要问的第一个问题是“泊松分布能拿来干嘛？”

泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什

么是排队论？比如我们去每天食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有 1000

个学生，而食堂恰好配了 1000 个大叔和打饭的窗口，那么就永远

不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起

义是一门很高深的学问。

在一段时间 t（比如 1 个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不

会是一个常数（比如一直是 200 人），而应该符合某种随机规律：

比如在 1 个小时内来 200 个学生的概率是 10%，来 180 个学生的

概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。

也就是在单位时间内有 k 个学生到达的概率为：

[Math Processing Error]

其中[Math Processing Error]为单位时间内学生的期望到达数。

二项分布

问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分

布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。

二项分布很容易理解，比如一个牛仔一枪打中靶子的概率是 p，如

果我们让他开 10 枪，如果每击中一次目标就得 1 分，问他一共能

得几分？虽然我们不能在牛仔射击前准确地预测出具体的得分 k，

但可以求出 k 的概率分布，比如 k = 9 的概率是 50%，k = 8 分的概率是30%……并且根据 k 的分布来判断他的枪法如何，这便是概率

统计的思想。

具体计算的方法就是求出“得 k 分”的概率。比如“得 9 分”可以是“射

失第 1 发，而命中其余的 9 发”，它的概率是 p 的 9 次方乘上 1 - p。X O O O O O O O O O

O X O O O O O O O O

O O X O O O O O O O

......

根据组合数性质，在[Math Processing Error]种情况下，牛仔都可以得到 9 分。因此牛仔“得 9 分”的概率[Math Processing Error]。同理，“得 k 分”的概率就是[Math Processing Error]。而对于一个神枪手（p = 1）来讲，他“得 10 分”的概率就是 1。

二项分布和泊松分布最大的不同是前者的研究对象是 n 个离散的事件（10 次射击），而后者考察的是一段连续的时间（单位时间）。因此泊松分布就是在二项分布的基础上化零为整。

化零为整

如果我们把单位时间划分成 n 个细小的时间片，假设在每个时间片内牛仔都在射击，只是这次他发射的不是子弹，而是学生——“命中目标”就代表向食堂成功地发射出一个学生，如果“没有命中”就表示学生被打到了食堂意外的其它地方。如果 n 不是无穷大，那么在某个时间片内可能出现两个学生同时进入食堂的状况，这样的话就和我们假设任意的时间片内之可能发生“有一个学生出现”或“没有学生出现”不符，为了能用二项分布去近似泊松分布，因此 n 必须趋向无穷，时间片必须无穷小，这也是为什么泊松分布的前提之一是“ n 很大”的原因！（另一个前提是“ p 很小”）

这样一来我们就可以用二项分布的公式表示单位时间到来 k 个学生

的概率了。假设单位时间内发生 n 次独立的“发射学生”实验，把学

生“发射”到食堂的概率是 p。

那么单位时间内食堂到来 k 个学生的概率为：

[Math Processing Error]

把组合数展开：

[Math Processing Error]

上下同乘[Math Processing Error]：

[Math Processing Error]

把[Math Processing Error]拆成 k 个 p 连乘的形式放到左边分子上：[Math Processing Error]

调整[Math Processing Error]：

[Math Processing Error]

因为[Math Processing Error]时，有[Math Processing Error]，得：[Math Processing Error]

令[Math Processing Error]，就得到：

[Math Processing Error]

这就是我们熟悉的泊松公式，其中[Math Processing Error]的物理

意义是单位时间内学生到来的数量，也就是平均到达率，是一个常数。