齐奥尔科夫斯基公式

星际旅行
一. 从凡尔纳“超级大炮” 谈起
火箭理论的先驱者、俄国科学家齐奥尔科夫斯基(K. E. Tsiolkovsky 1857-1935) 有一句名言：“地球是人类的摇篮。

但人类不会永远躺在摇篮里，他们会不断探索新的天体和空间。

人类首先将小心翼翼地穿过大气层，然后再去征服太阳周围的整个空间”。

迈向星空是一条漫长的征途。

迄今为止，人类在这条征途上走过的路程几乎恰好就是“征服太阳周围的整个空间”，而在这征途上的第一步也正是“穿过大气层”。

在人类发射的航天器中数量最多的就是那些刚刚“穿过大气层” 的航天器- 人造地球卫星。

人类迄今发射的人造地球卫星有几千颗，明年的十月四日就是第一颗卫星(前苏联拜克努尔发射场发射) 升空五十周年的纪念日。

除人造地球卫星外，人类还发射过许多其它航天器。

所有这些航天器，都是直接或
间接通过火箭发射升空的。

我们知道，为了克服地球的引力，航天器必须达到很高的速度。

在二十世纪以前的各种技术中，枪炮子弹所达到的速度是最高的，因此在早期的科幻小说中，人们很自然地想到用所谓的“超级大炮” 来发射载人航天器。

其中最著名的是法国科幻小说家凡尔纳(J. G. Verne 1828-1905) 发表于一八六六年的小说《从地球到月球》(From the Earth to the Moon)。

在这部小说中，凡尔纳让三位宇航员挤在一枚与“神舟号” 飞船的轨道舱差不多大的特制的“炮弹” 中，用一门炮管长达九百英尺(约三百米) 的超级大炮发射到月球上去(不过“炮弹” 没能击中月球，而成为了环绕月球运行的卫星)。

但是凡尔纳虽然有非凡的想象力，却缺乏必要的物理学及生理学知识。

简单的计算表明，他所设想的超级大炮若真的能在三百米长的炮管内把“炮弹” 加速到能够飞向月球的速度- 即所谓的第二宇宙速度(约为11.2 公里/秒)，则“炮弹” 在炮管内的平均加速度必须达到200000 米/秒2 以上，这相当于地球表面重力加速度的两万倍以上。

另一方面，脆弱的人体所能承受的最大加速度只有不到地球表面重力加速度的十倍。

这两者的差距无疑是灾难性的。

因此凡尔纳的“炮弹” 虽然制作精良，乘坐起来却一点也不会舒适。

不仅不会舒适，且有性命之虞。

事实上，英勇的宇航员们在“炮弹” 出膛时早就变成了肉饼，“炮弹”最后有没有击中月球，对他们来说已经不再重要了。

倘若“炮弹” 真的击中月球的话，其着陆方式属于所谓的“硬着陆”，就象陨石撞击地球一样，着陆时的速度差不多就是月球上的第二宇宙速度(约为 2.4 公里/秒)，这样的速度相当于在地球上从比珠穆朗玛峰还高三十倍的山峰上摔到地面时的
速度，这无疑是要把肉饼进一步摔成肉酱。

因此，对于发射航天器(尤其是载人航天器) 来说，很重要的一点就是航天器的加速过程必须发生在一个较长的时间里(减速过程也一样)。

但是加速过程持续的时间越长，在加速过程中航天器所飞越的距离也就越大。

以凡尔纳的超级大炮为例，倘若要求炮弹的加速度在人体肌体所能承受的安全范围之内(即小于地球表面重力加速度的十倍)，则“炮弹” 的加速过程必须持续一百秒以上，在这段时间内“炮弹” 的飞行距离约在五百公里以上。

“炮弹” 越舒适(即加速度越小)，这段距离就越大。

由于“炮弹” 本身没有动力，因此这段距离必须都在炮管内。

这就是说，凡尔纳超级大炮的炮管起码要有500 公里长！显然，建造这样规模的大炮是极其困难的，别说凡尔纳时代的技术无法办到，即使在今天也是申请不到经费的。

因此航天器的发射必须采用与凡尔纳大炮完全不同的技术手段。

火箭就是这样的一种技术手段。

二. 齐奥尔科夫斯基公式
火箭是一种通过向后喷射物质而前进的飞行器。

从物理学上讲，这种飞行器所利用的是反冲原理，或者说是动量守恒定律。

十九世纪末，齐奥尔科夫斯基对火箭的飞行动力学进行了研究，并于一九零三年- 莱特兄弟(The Wright Brothers) 在同年发明了飞机- 公开发表了我们现在称之为齐奥尔科夫斯基公式的著名公式(新近发现的一些史料表明，英国皇家军事科学院的科学家早在一八一三年就出于军事目的做过类似研究，但他们的结果没有公开发表)。

这一公式的形式非常简单：
v = u ln(mi/mf)
这里mi 与mf 分别为火箭的初始质量及推进过程完成后的末态质量(显然mi>mf)。

从齐奥尔科夫斯基公式中我们可以看到一个重要的特点，那就是火箭所能达到的速度可以高于喷射物的喷射速度。

这一点之所以重要，是因为它表明我们可以通过较低的喷射速度来达到航天器所需要的高速度，这在技术上要远比直接达到高速度来得容易。

从某种意义上讲，凡尔纳的超级大炮之所以没能成功，正是因为它
试图直接达到航天器所需要的高速度。

但是火箭虽然能够达到比喷射物喷射速度更高的速度，但为此付出的代价却也不小。

因为火箭所要达到的速度v 越高，其初始质量与推进过程完成后的质量之比mi/mf 就必须越大，从而火箭的有效载荷(mf 的一部分) 就必须越小。

这是齐奥尔科夫斯基公式的第二个重要特点。

最糟糕的是，齐奥尔科夫斯基公式是一个对数关系式，这是增长极其缓慢的关系式，它的出现表明燃料数量的增加(即mi/mf 的增加) 对速度增加所起的作用非常有限。

这一点极大地限制了火箭的运载效率。

那么，有没有什么办法可以改善火箭的运载效率呢？齐奥尔科夫斯基提出了多级火箭的设想。

多级火箭的好处，是在每一级的燃料用尽后可以把该级的外壳抛弃，从而减轻下一级所负载的质量。

不过，多级火箭虽然有较高的运载效率，但它在技术上的复杂性也较高。

因此在实际使用时，人们往往在运载效率与技术复杂性之间作折中，三级火箭就是最常见的折中结果。

即便使用多级火箭，为了将几吨的有效载荷送入近地轨道，通常也需要发射质量为几百吨的火箭(比如发射“神舟号” 飞船的长征二号 F 型火箭的发射质量约为四百八十吨，近地轨道的有效载荷则为八吨左右)。

这种巨大的消耗，使得航天发射的费用极其高昂。

如果你想到近地轨道上的国际空间站去遨游一下的话，大约要准备两千万美元的费用。

三. 接近光速
在人类目前的火箭技术还是相当初级的。

迄今为止最快的航天器的速度也只有每秒几十公里，这样的速度通常还是借助于太阳或其它行星的引力作用而达到的，并不单纯是火箭的功劳。

比方说一九七六年发射的“太阳神二号” (Helios 2) 探测器在近日点的速度约为67 公里/秒，这一探测器有时被称为是速度最快的航天器。

它的速度就是借助于太阳的引力作用而达到的。

另一方面，在人类迄今发射的航天器中，飞得最远的也不过刚刚飞出冥王星轨道。

用星际空间的标准来衡量，这是很微小的距离。

人类
要想走得更远，必须要有更快的航天器。

在齐奥尔科夫斯基公式中，火箭的速度是没有上限的。

通过提高喷射物的喷射速度，以及增加火箭质量中喷射物所占的比例，火箭原则上可以达到任意高的速度。

但我们知道，物体的运动速度不可能超过光速，这是相对论的基本要求。

因此齐奥尔科夫斯基公式显然不能随意外推，尤其是不能外推到火箭速度接近光速的情形。

那么，有没有一个比齐奥尔科夫斯基公式更普遍的公式，在火箭运动速度接近
光速时仍然成立呢？
答案是肯定的。

事实上，这样的公式也很简单：
v = c tanh[(u/c) ln(mi/mf)]
这里，c 表示光速，tanh 是双曲正切函数，其它变量的含义与传统的齐奥尔科夫斯基公式相同。

这就是齐奥尔科夫斯基公式在相对论条件下的推广。

对于低速运动的火箭，这一公式会自动退化为齐奥
尔科夫斯基公式。

由于双曲正切函数在任何时候都小于1，因此由上述公式给出的速度在任何情况下都
不会超过光速，从而符合相对论的要求。

上述公式的一个特例是喷射物的速度等于光速(u=c)，即喷射物为光子(或其它无质量粒子)，的情形。

这种火箭常常出现在科幻小说中，通常是以物质与反物质的湮灭作为动力来源。

这是运载效率最高的火箭。

对于这种火箭来说，如果其90% 的质量转化为能量作为动力，它的速度可以达到光速的99%。

显然，这样的火箭既具有很高的运载效率，又能达到普通火箭望尘莫及的速度，是一种非常诱人的技术。

不过，我们目前的技术距离这种火箭的研制还相差很远。

四. 飞向深空
宇宙的浩瀚是星际旅行家们面临的最基本的事实。

即使能够达到接近光速的速度，飞越恒星际空间所需的时间仍然是极其漫长的。

从地球出发，飞到银河系的中心约需要三万年的时间，飞到仙女座星云(M31 - 河外星系) 约需要二百二十万年的时间，而到室女座星系团(Virgo - 河外星系团) 则需要约六千万年的时间 ... ... 相对于人类弹指一瞬的短暂生命来说，这些时间显然都太漫长了。

但是幸运的是，所有这些时间都是在静止参照系中测量的。

相对论中有一个著名的时钟延缓效应，它表明运动参照系中的时间流逝会比静止参照系中测量到的慢。

火箭的飞行速度越高，这种时钟延缓效应就越可观，宇航员所感受到的时间流逝也就越缓慢。

考虑到这个因素，宇航员是不是有可能在自己的有生之年，到银河系的
中心、仙女座星云、甚至室女座星系团去旅行呢？
答案是肯定的。

我们考虑一个非常简单的情形，即火箭始终处于匀加速过程之中(不用说，这种火箭耗费的能量将是极其惊人的，不过这里我们姑且把技术上的困难抛在一边，只讨论理论上的可能性)。

同时，我们把火箭的加速度选为与地球表面的重力加速度一样(这样，宇航员在飞船上感受到的重力环境就与地球表面一样，不会象我们在电视上看到的那样在飞船内随意飘荡)，并且假定火箭在后半程做减速运动(这样，宇航员才能在目的地着陆)。

在这样的飞行条件下，如果飞行距离非常大(远远大于一光年)，飞船上的时间流逝t 与航程S 之间的关系大致为：
t ≈ 2ln(S)
这里时间以年为单位，航程则以光年为单位。

这个公式与齐奥尔科夫斯基公式一样，也出现了以增长缓慢著称的对数函数。

只不过，在齐奥尔科夫斯基公式中，对数函数的出现是一件不幸的事情，因为它限制了火箭速度的增加，从而限制了火箭的运载效率；而在现在这个公式中，对数函数的出现却成了一件幸事，因为它延缓了飞船上的时间流逝，从而极大地扩展了宇航员在有生之年可以飞越的距离。

通过这个公式不难看到，假如旅行的目的地是银河系的中心，即S ≈ 30000 光年，飞行时间约为二十年。

这就是说，在宇航员看来，仅仅二十年的时间，他就可以到达银河系的中心。

即使算上返航，前后也只要四十年的时间。

这就是相对论的奇妙结论！只不过，当他回到地球时，地球上的日历已经翻过了整整六万年，他的孙子的孙子的孙子 ... ... (如果有的话) 都早已长眠于地下了。

同样，我们可以计算出到达仙女座星云所需的时间约为二十九年；到达室女座星系团所需的时间约为三十六年； ... ... (现在大家对于对数函数增长之缓慢应该会有一个深刻的印象了吧？)。

假如一个宇航员二十岁时坐上火箭出发，如果他可以活到八十岁，那么在他的有生之年(不考虑返航)，他可以到达十万亿光年远的地方。

这个距离已经远远远远地超过了可观测宇宙的范围！唯一的遗憾是，他们只要走得稍远一点，我们就没法分享他们的旅行见闻了。

因为相对论只保佑他们，不保佑我们。