数学模型--分形简介
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5、地质：地质构造 6、天文：土星上的光环 其他：计算机，经济，社会，艺术等等
2、图形迭代生成分形
• 给定初始图形 F0 ，依照某一规则 R 对图形反复作用
Fk 1 RFk , k 0,1,...
得到图形序列 F1 , F2 , ... 其极限图形是分形，作用规则 R 称为生 成元。
例如，Cantor 集的生成元是
• Julia集
考虑复变函数迭代
Zn1 Z c,
2 n
n 0,1, (2)
固定复参数 c，使得迭代序列{Zn } 有 界的初值 Z 0 在复平面上的分布图形 称为Julia集，亦即
J c { Z0 | 迭代序列 {Z n } 有界}
• Mandelbrot集 固定初值 Z0 ，使得迭代序列（2）有 界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 J Z {c | 迭代序列{Zn } 有界} 记
分形音乐
• 如果我们把一首音乐的音符音阶随时间的变化看成一 种波动，则音乐可归入科学中的噪音范畴。科学中的 噪音的定义是指任何量Ｖ随时间t的不可预测的变化。 现已发现每一种噪音的跟踪轨迹都是一条分形曲线。 • 音乐它的波动既有随机性又有一定的相关性，音乐往 往会给人一种悦耳的感觉。研究发现：几乎所有的音 乐节律都模仿一种噪音。
自然界中的分形几何
• 自然界存在的一些 形状及其结构诸如 星系、闪电、泥裂、 材料断口、水系、 晶簇、蜂窝石、小 麦须根系、树冠、 支气管、小肠绒毛、 大脑皮层等等。尽 是分形。
自然界中的分形几何
• 我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形， 星系在宇宙中的分布，金融市场价格的起伏等，获取这种数 学描述的一条途径在于找到“模型”。需构想或发现一些数 学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”—— 做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版 的图表等。 • 这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几 里得结构——特别是需要分形几何学。分形几何它与欧几里 得几何相反，是没有规则的。它们处处无规则。而在各种尺 度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近 处观察，分形客体看起来一个模样——自相似。整体中的小 块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分 明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。
V {F ,,, [, ]}, w F , P : F F [ F ] F [ F ]F
花草树木(L 系统）
3、函数迭代产生的分形
Z表示复数，在复平面上定义函数f(Z)。 任意给定初始复数值 Z 0 ，定义复数序列 Z n1 f (Z n ), n 0,1,2, (1) 对于什么样的初始值 Z 0 ，复数序列{Zn } 收敛或有界？
英国的海岸线有多长？
• Mandelbrot突破了这一点，长 度也许已不能正确概括海岸线 这类不规则图形的特征。海岸 线虽然很复杂，却有一个重要 的性质——自相似性。 • 从不同比例尺的地形图上，我 们可以看出海岸线的形状大体 相同，其曲折、复杂程度是相 似的。海岸线的任一小部分都 包含有与整体相同的相似的细 节。
Zk 1 wi ( zk ), k 0,1,...
则点集 {Zk } 的聚点集合称为一个IFS吸引子。
• 用IFS绘制分形的方法
１、设图形可视区域为
V [ xmin, xmax ] [ ymin, ymax ]
假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数 为 N。 ２、将 V 分成 a b 的网格，格点为( xi , y j ) 用 V ij 表示矩形区域。用 表示在N次迭代中落入 ij [ xi , xi 1 ] [ y j , y j 1 ] max ij 中点的个数。记 Vij 则象素 (i,j)的灰度 G(i, j) ij / L 为
M max( 2, p 2 q2 )
3、将区域 R [ M , M ] [ M , M ] 分成 a b 的网格，分别以每个网格点为初值 ( x0 , y0 ) 利用（3）做迭代。如果对所有的 n N 2 2 yn M 2 ，则将象素(i, j) 臵为黑 都有 xn 2 2 xn yn M2 ， 色。如果从某一步 n 开始， 则将象素 (i,j)臵为颜色 n mod K。
• IFS迭代 IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换
wi ( Z ) ai Z bi , i 1,2,...,n
以及 n 个概率 p1, p2 ,..., pn ( p1 ... pn 1) 任给初值 Z0 ，以概率 pi 选取变换 wi 进行迭代
自然界中的分形几何
• 模型所建立的简单的 几何结构，其与所生 成的自然结构特征相 同。从山峦的分形模 拟方法产生一种理论， 以描述地球表面的地 势起伏。
自然界中的分形英国的海岸线有多长？
• 1967年Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题。 • 长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将短于 1km的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则能测出被忽 略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进一步地变小，测 得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确 定值，这个极限值就是海岸线的长度。 • Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大 的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上 海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑 的。 • 我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和 二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界 大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线 化，得出一个有意义的长度。
0
Z x i y, c p i q
则（2）变为
xn 1 xn 2 yn 2 p yn 1 2 xn yn q (3)
• Julia 集的绘制方法：
1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图 形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. 2、设定区域的界值
Julia 集
Mandelbrot集
４、IFS迭代产生分形
• 混沌游戏 给定平面上三点A, B, C。再任意给定初 始点 Z0 , 做下列迭代 ( Z n A) / 2, 当掷出的硬币呈正面 Z n 1 ( Z n B ) / 2, 当掷出的硬币呈反面 ( Z C ) / 2, 当掷出的硬币呈侧面 n 按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图 形。故称为混沌游戏。
数学模型 • 分形简介
北京理工大学 王宏洲
一、分形简介 1、分形的起源
大自然的不规则性：
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶 体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何 用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线 的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科 ---分形(Fractal)：英国的海岸线有多长？
自然界中的分形几何
• 分形几何学它描述了大自然和我们周围的许多 不规则和支离破碎的形状.分形理论是一门交 叉性的学科，从振动力学到流体力学、天文学 和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生 物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学， 从经济学到语言学、 社会学等等，都与分形 融合与关联。分形理论对方法论和自然观产生 了强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现， 这个世界是以分形的方式存在和演化着的.
• 分形的特性
1、具有无限精细的结构
2、局部与整体的相似性
3、具有非拓扑维数，并且它大于对的
拓扑维数
4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。
• 分形的应用领域
1、数学：动力系统
2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流
3、化学：酶的构造，
4、生物：细胞的生长
分形在数字全息显示中的应用
• 数字点阵全息图 • 分形图的编码
数字点阵全息图
• 数字点阵全息图是由计算机控制的激光光束干涉 点阵刻蚀而成. • 它是依赖计算机产生图形并通过计算机精密地控 制干涉激光束在记录介质上刻蚀点阵衍射光栅来 实现。 • 应用混沌和分形的理论，以带有无限变量重复码 的方式来产生一系列类似于万花筒中观察到的随 机花样的图案 --- 分形图像和探索应用分形图像 制作数字像元全息图时逐点的仿射对应关系。
Van Koch 雪花曲线的生成元是
Minkowski “香肠”
Sierpinski地毯
花草树木(L系统）
• 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统 可表示为一个有序的三元素集合：
G V , w, P
其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。 • 例如，F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯，[表示压栈，]表示出栈。
分形音乐
• 分形音乐是分形艺术的一个重要部分，分形音乐 是由一个算法的多重迭代而产生。利用分形几何 的自相似特性来建构一些带有自相似小段的合成 音乐。主题在带有小调的多次的返复循环中重复， 在节奏方面加上一些随机变化，所创造的效果， 无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正 的音乐。 • 有人把著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为 《倾听曼德勃罗集》（Hearing the Mandelbrot Set），他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数 据转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式 表现出曼德勃罗集的结构，极具音乐表现力。
自然界中的分形
• 自然界的树并不能没有限制地分叉，整个树木也不会是 所谓超级树的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能 看到的小尺度的星系可延伸到1500万到3000万光年之遥。 但仍然存在着尺度超过30000万光年的大空白区。 • 应用分形最活跃的领域是在物理学和生命科学.它们已帮 助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难 问题。
自然界中的分形几何
• 自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜 花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分 支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了 小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。 • 分形能伪造海岸线、山峦和云团。以致用分形制作 《星际旅行II》那样的影片的一些场景。 • “云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的， 树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。所有这些 自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。其 部分放大便能进一步揭示其深层结构。
自然界中的分形
• 分形在自然界中普遍存在.大自然丰富多彩的面貌,人类 社会中普遍存在的各种不规则现象，如流体湍动、曲折 的海岸线、多变的天气、动荡的股市、经济收入分配关 系、棉花的价格波动等等。 Mandelbrot试图通过分形 几何学统一去描述自然界和社会的一切现象. • 分形是一个新的数学领域--有时也把它归为自然界的几 何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、 树、树枝、小麦根系、海岸线等自然现象，而且在生物 医学,天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应 用。
5、一些分形图片
分形并不只是能 产生一些毫无意 义的怪异曲线！
关键如何去设计迭 代方式和过程，分 形就能描绘出与现 实世界惊人相似的 图像！
三、分形的应用
• 欧几里得几何学它无法描写大自然中的云彩 、 山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山 岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不 光滑， 闪电更不是沿着直线传播的。 自然界的许多图 样都是如此地不规则和支离破碎。 • 这些图样的存在，使我们去探索那些被欧几里得 认为是“无形状可言的 ”形状，去研究“无定 形”的形态学。于是就产生了分形几何学。
分形与生命
• 生命作为自然界最复杂的存在方式，必然有分形 的参与。生命现象从宏观到微观的各个层次，都 存在着分形现象。分形还全面体现在生物的生化 组成、生理、病理、形态等各个方面。这种现象 绝非偶然，而是与生命的本质与特征密切相关。 • 分形在生物医学图像领域里的应用研究异常活跃。
分形的应用
• 分形分维的经络形态及解剖结构 • 肝脏超声图像分形特性的研究 • 分形理论在医学图像边缘增强和检测中的应用 研究 • 分形几何在医学图像处理中的应用 • 分形与经济学 • 分形与气象学 • 分形音乐
2、图形迭代生成分形
• 给定初始图形 F0 ，依照某一规则 R 对图形反复作用
Fk 1 RFk , k 0,1,...
得到图形序列 F1 , F2 , ... 其极限图形是分形，作用规则 R 称为生 成元。
例如，Cantor 集的生成元是
• Julia集
考虑复变函数迭代
Zn1 Z c,
2 n
n 0,1, (2)
固定复参数 c，使得迭代序列{Zn } 有 界的初值 Z 0 在复平面上的分布图形 称为Julia集，亦即
J c { Z0 | 迭代序列 {Z n } 有界}
• Mandelbrot集 固定初值 Z0 ，使得迭代序列（2）有 界的参数 c 在复平面上的分布图形称为 Mandelbrot集。即 J Z {c | 迭代序列{Zn } 有界} 记
分形音乐
• 如果我们把一首音乐的音符音阶随时间的变化看成一 种波动，则音乐可归入科学中的噪音范畴。科学中的 噪音的定义是指任何量Ｖ随时间t的不可预测的变化。 现已发现每一种噪音的跟踪轨迹都是一条分形曲线。 • 音乐它的波动既有随机性又有一定的相关性，音乐往 往会给人一种悦耳的感觉。研究发现：几乎所有的音 乐节律都模仿一种噪音。
自然界中的分形几何
• 自然界存在的一些 形状及其结构诸如 星系、闪电、泥裂、 材料断口、水系、 晶簇、蜂窝石、小 麦须根系、树冠、 支气管、小肠绒毛、 大脑皮层等等。尽 是分形。
自然界中的分形几何
• 我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形， 星系在宇宙中的分布，金融市场价格的起伏等，获取这种数 学描述的一条途径在于找到“模型”。需构想或发现一些数 学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”—— 做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版 的图表等。 • 这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。它们需要非欧几 里得结构——特别是需要分形几何学。分形几何它与欧几里 得几何相反，是没有规则的。它们处处无规则。而在各种尺 度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近 处观察，分形客体看起来一个模样——自相似。整体中的小 块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分 明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。
V {F ,,, [, ]}, w F , P : F F [ F ] F [ F ]F
花草树木(L 系统）
3、函数迭代产生的分形
Z表示复数，在复平面上定义函数f(Z)。 任意给定初始复数值 Z 0 ，定义复数序列 Z n1 f (Z n ), n 0,1,2, (1) 对于什么样的初始值 Z 0 ，复数序列{Zn } 收敛或有界？
英国的海岸线有多长？
• Mandelbrot突破了这一点，长 度也许已不能正确概括海岸线 这类不规则图形的特征。海岸 线虽然很复杂，却有一个重要 的性质——自相似性。 • 从不同比例尺的地形图上，我 们可以看出海岸线的形状大体 相同，其曲折、复杂程度是相 似的。海岸线的任一小部分都 包含有与整体相同的相似的细 节。
Zk 1 wi ( zk ), k 0,1,...
则点集 {Zk } 的聚点集合称为一个IFS吸引子。
• 用IFS绘制分形的方法
１、设图形可视区域为
V [ xmin, xmax ] [ ymin, ymax ]
假设采用L 级灰度的图像绘制，总迭代次数 为 N。 ２、将 V 分成 a b 的网格，格点为( xi , y j ) 用 V ij 表示矩形区域。用 表示在N次迭代中落入 ij [ xi , xi 1 ] [ y j , y j 1 ] max ij 中点的个数。记 Vij 则象素 (i,j)的灰度 G(i, j) ij / L 为
M max( 2, p 2 q2 )
3、将区域 R [ M , M ] [ M , M ] 分成 a b 的网格，分别以每个网格点为初值 ( x0 , y0 ) 利用（3）做迭代。如果对所有的 n N 2 2 yn M 2 ，则将象素(i, j) 臵为黑 都有 xn 2 2 xn yn M2 ， 色。如果从某一步 n 开始， 则将象素 (i,j)臵为颜色 n mod K。
• IFS迭代 IFS--Iterated Function System 取定 n 个仿射变换
wi ( Z ) ai Z bi , i 1,2,...,n
以及 n 个概率 p1, p2 ,..., pn ( p1 ... pn 1) 任给初值 Z0 ，以概率 pi 选取变换 wi 进行迭代
自然界中的分形几何
• 模型所建立的简单的 几何结构，其与所生 成的自然结构特征相 同。从山峦的分形模 拟方法产生一种理论， 以描述地球表面的地 势起伏。
自然界中的分形英国的海岸线有多长？
• 1967年Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题。 • 长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将短于 1km的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则能测出被忽 略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进一步地变小，测 得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确 定值，这个极限值就是海岸线的长度。 • Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大 的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上 海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规则和极不光滑 的。 • 我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和 二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界 大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线 化，得出一个有意义的长度。
0
Z x i y, c p i q
则（2）变为
xn 1 xn 2 yn 2 p yn 1 2 xn yn q (3)
• Julia 集的绘制方法：
1、设定初值 p,q, 最大的迭代次数 N, 图 形的大小 a,b, 及使用的颜色数 K. 2、设定区域的界值
Julia 集
Mandelbrot集
４、IFS迭代产生分形
• 混沌游戏 给定平面上三点A, B, C。再任意给定初 始点 Z0 , 做下列迭代 ( Z n A) / 2, 当掷出的硬币呈正面 Z n 1 ( Z n B ) / 2, 当掷出的硬币呈反面 ( Z C ) / 2, 当掷出的硬币呈侧面 n 按上述方式迭代数百次，呈现极不规则的图 形。故称为混沌游戏。
数学模型 • 分形简介
北京理工大学 王宏洲
一、分形简介 1、分形的起源
大自然的不规则性：
树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶 体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何 用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线 的关系，提出了一门描述大自然的几何形态的学科 ---分形(Fractal)：英国的海岸线有多长？
自然界中的分形几何
• 分形几何学它描述了大自然和我们周围的许多 不规则和支离破碎的形状.分形理论是一门交 叉性的学科，从振动力学到流体力学、天文学 和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生 物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学， 从经济学到语言学、 社会学等等，都与分形 融合与关联。分形理论对方法论和自然观产生 了强烈影响，从分形的观点看世界，我们发现， 这个世界是以分形的方式存在和演化着的.
• 分形的特性
1、具有无限精细的结构
2、局部与整体的相似性
3、具有非拓扑维数，并且它大于对的
拓扑维数
4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。
• 分形的应用领域
1、数学：动力系统
2、物理：布朗运动，流体力学中的湍流
3、化学：酶的构造，
4、生物：细胞的生长
分形在数字全息显示中的应用
• 数字点阵全息图 • 分形图的编码
数字点阵全息图
• 数字点阵全息图是由计算机控制的激光光束干涉 点阵刻蚀而成. • 它是依赖计算机产生图形并通过计算机精密地控 制干涉激光束在记录介质上刻蚀点阵衍射光栅来 实现。 • 应用混沌和分形的理论，以带有无限变量重复码 的方式来产生一系列类似于万花筒中观察到的随 机花样的图案 --- 分形图像和探索应用分形图像 制作数字像元全息图时逐点的仿射对应关系。
Van Koch 雪花曲线的生成元是
Minkowski “香肠”
Sierpinski地毯
花草树木(L系统）
• 生物学家Lindenmayer提出。一个L系统 可表示为一个有序的三元素集合：
G V , w, P
其中：V是一些运动过程集合， w是初始形状， P是生成式。 • 例如，F表示向前距离d, +表示左转弯a, -表示右转弯，[表示压栈，]表示出栈。
分形音乐
• 分形音乐是分形艺术的一个重要部分，分形音乐 是由一个算法的多重迭代而产生。利用分形几何 的自相似特性来建构一些带有自相似小段的合成 音乐。主题在带有小调的多次的返复循环中重复， 在节奏方面加上一些随机变化，所创造的效果， 无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿真正 的音乐。 • 有人把著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为 《倾听曼德勃罗集》（Hearing the Mandelbrot Set），他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数 据转换成钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式 表现出曼德勃罗集的结构，极具音乐表现力。
自然界中的分形
• 自然界的树并不能没有限制地分叉，整个树木也不会是 所谓超级树的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能 看到的小尺度的星系可延伸到1500万到3000万光年之遥。 但仍然存在着尺度超过30000万光年的大空白区。 • 应用分形最活跃的领域是在物理学和生命科学.它们已帮 助处理了一些非常老的问题，也解决了某些崭新的困难 问题。
自然界中的分形几何
• 自然界提供了许多分形实例。例如，羊齿植物、菜 花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分 支和嫩枝都与其整体非常相似。其生成规则保证了 小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。 • 分形能伪造海岸线、山峦和云团。以致用分形制作 《星际旅行II》那样的影片的一些场景。 • “云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的， 树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。所有这些 自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。其 部分放大便能进一步揭示其深层结构。
自然界中的分形
• 分形在自然界中普遍存在.大自然丰富多彩的面貌,人类 社会中普遍存在的各种不规则现象，如流体湍动、曲折 的海岸线、多变的天气、动荡的股市、经济收入分配关 系、棉花的价格波动等等。 Mandelbrot试图通过分形 几何学统一去描述自然界和社会的一切现象. • 分形是一个新的数学领域--有时也把它归为自然界的几 何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、 树、树枝、小麦根系、海岸线等自然现象，而且在生物 医学,天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应 用。
5、一些分形图片
分形并不只是能 产生一些毫无意 义的怪异曲线！
关键如何去设计迭 代方式和过程，分 形就能描绘出与现 实世界惊人相似的 图像！
三、分形的应用
• 欧几里得几何学它无法描写大自然中的云彩 、 山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山 岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不 光滑， 闪电更不是沿着直线传播的。 自然界的许多图 样都是如此地不规则和支离破碎。 • 这些图样的存在，使我们去探索那些被欧几里得 认为是“无形状可言的 ”形状，去研究“无定 形”的形态学。于是就产生了分形几何学。
分形与生命
• 生命作为自然界最复杂的存在方式，必然有分形 的参与。生命现象从宏观到微观的各个层次，都 存在着分形现象。分形还全面体现在生物的生化 组成、生理、病理、形态等各个方面。这种现象 绝非偶然，而是与生命的本质与特征密切相关。 • 分形在生物医学图像领域里的应用研究异常活跃。
分形的应用
• 分形分维的经络形态及解剖结构 • 肝脏超声图像分形特性的研究 • 分形理论在医学图像边缘增强和检测中的应用 研究 • 分形几何在医学图像处理中的应用 • 分形与经济学 • 分形与气象学 • 分形音乐