第四章2椭球面上几种曲率半径
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣
siB nVsiu n
tan(1e2)taB n
大地纬度、地心纬度、归 化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
uφ B
(B u )max 5.9'
(u )max 5.9'
( B ) m ax 11 .8'
一、椭球面上法截线有关概念
• 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面 的交线叫法截线。有无数个法截面或法截线。
卯酉线（圈）曲率半径推导思路
rNcoBs
xr acosB W
N a c WV
PnNPO ' r coBs coBs
卯酉线（圈）曲率半径随纬度变化情况
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线 介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心 位在椭球的旋转轴上。
四、任意法截弧的曲率半径
化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
五、平均曲率半径
只要取A自0至90°范围内的RA的平均值即可：
R1 00 2R A d A 20 2N co s2A M N M sin2A d A M NaW 1 2e2
2
椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该 点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何 平均值。 R MN
第四章2椭球面上几种 曲率半径
第四章 Ⅱ椭球面上几种曲率半径
——子午圈（线）曲率半径 ——卯酉圈（线）曲率半径 ——任意法截弧的曲率半径 ——平均曲率半径
上一讲应掌握的内容
公式写在黑板上
1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴 a；短半轴ｂ；
扁率α；第一偏心率e；第二偏心率e′ ？
2、旋转椭球计算中常引入以下符号： c、t、η、W、V
(X，Y，Z)
(L，B)
X xcos L N cos Bcos L
Y xsin L N cos Bsin L
Z y N(1e2)sin B
X (N H)cos Bcos L
Y
(N
H)cos
Bsin
L
Z [N(1e2) H]sin B
上一讲应掌握的内容
5、各坐标系间的关系
ca2, ttanB , 2e'2cos2B
b
3、经线、纬线、法线的特性
W 1e2sin2 B V 1e2cos2 B
12
4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系
• 子午面直角坐标系 (L,x,y)
• 地心纬度坐标系 （L，Φ，ρ） • 归化纬度坐标系 （L，u） • 大地极坐标系 （S，A）
• 大地坐标系 （L，B）
• 推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率， 曲率的倒数是曲率半径。
x NcosB
x=a cos u
y N(1e2)sinB 或：y b sin u
几何意义:MdS dB
dS dx sin B
Mdx 1 dB sinB
xacosB acosB W 1e2sin2B
ddB xaW si3nB(1e2)
或 : c V 3
子午圈曲率半径随纬度变化情况
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
三、卯酉圈（线）曲率半径
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法 截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面 同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧， 一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条 截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲 率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面 夹角的余弦。
上一讲应掌握的内容
5、各坐标系间的关系
• 子午平面坐标系与大地坐标系的关系
(L，x，y)
(L，B)
xNcosB yN(1e2)sin B
• 空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系
(X，Y，Z)
(L，x，y)
X x c o s L , Y x s in L , Z y
• 空间直角坐标系与大地坐标系的关系
• 空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系
(X，Y，Z)
(L，u)
X=a cos u cos L
Y a cos u sin L
Z b sin u
• 空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系
(X，Y，Z)
（L，Φ，ρ）
X a c o sφ c o s L
1 e2 1 e 2 c o s 2φ
• 大地极坐标系同大地坐标系的关系
M a(1 e2 ) W3
M
c V3
子午线曲率半径（另一种推导）
x NcosB y N(1e2)sin B
dx
d2x k
dy
dy2
3
子 午 线 曲 率 ： k(1ae(2 1s in e2 2)B)2
W 3 a(1e2)
子 午 线 曲 率 半 径 ： M a ( 1 e 2 ) W 3
(S，A)
(L，B)
大地主题解算
Y a c o sφ s in L
1 e2 1 e 2 c o s 2φ
Z a s inφ
1 e2 1 e 2 c o s 2φ
Biblioteka Baidu 上一讲应掌握的内容
（六） B、u、φ之间的关系
• 在赤道圈上： B=u=φ=0 • 在两极处: B=u=φ=90° • 在其他处:
RW b2V c2V NW a2 1e2
任意法截弧的曲率半径的变化规律
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方
位角A有关。
• 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ • 当Ａ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ
• 主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。
• 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ • 当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变
两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。 对应有：子午线（圈）曲率半径， 卯酉线（圈）曲率半径
曲线的曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上 无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度 量的。
曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径。 曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高
二、子午圈（线）曲率半径
大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由
微分几何的尤拉公式得：
T（北）
1 cos2 A sin2 A 子午线
kA
RA
M
N
A
RANco2A sM M Nsi2nA
P
R A12N cos2A1e'2cos N 2B cos2A
Q 卯酉线 D（东）
R A N ( 1 2 c 2 A o 4 c s 4 A o ) s
siB nVsiu n
tan(1e2)taB n
大地纬度、地心纬度、归 化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
uφ B
(B u )max 5.9'
(u )max 5.9'
( B ) m ax 11 .8'
一、椭球面上法截线有关概念
• 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面 的交线叫法截线。有无数个法截面或法截线。
卯酉线（圈）曲率半径推导思路
rNcoBs
xr acosB W
N a c WV
PnNPO ' r coBs coBs
卯酉线（圈）曲率半径随纬度变化情况
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线 介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心 位在椭球的旋转轴上。
四、任意法截弧的曲率半径
化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
五、平均曲率半径
只要取A自0至90°范围内的RA的平均值即可：
R1 00 2R A d A 20 2N co s2A M N M sin2A d A M NaW 1 2e2
2
椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该 点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何 平均值。 R MN
第四章2椭球面上几种 曲率半径
第四章 Ⅱ椭球面上几种曲率半径
——子午圈（线）曲率半径 ——卯酉圈（线）曲率半径 ——任意法截弧的曲率半径 ——平均曲率半径
上一讲应掌握的内容
公式写在黑板上
1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴 a；短半轴ｂ；
扁率α；第一偏心率e；第二偏心率e′ ？
2、旋转椭球计算中常引入以下符号： c、t、η、W、V
(X，Y，Z)
(L，B)
X xcos L N cos Bcos L
Y xsin L N cos Bsin L
Z y N(1e2)sin B
X (N H)cos Bcos L
Y
(N
H)cos
Bsin
L
Z [N(1e2) H]sin B
上一讲应掌握的内容
5、各坐标系间的关系
ca2, ttanB , 2e'2cos2B
b
3、经线、纬线、法线的特性
W 1e2sin2 B V 1e2cos2 B
12
4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系
• 子午面直角坐标系 (L,x,y)
• 地心纬度坐标系 （L，Φ，ρ） • 归化纬度坐标系 （L，u） • 大地极坐标系 （S，A）
• 大地坐标系 （L，B）
• 推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率， 曲率的倒数是曲率半径。
x NcosB
x=a cos u
y N(1e2)sinB 或：y b sin u
几何意义:MdS dB
dS dx sin B
Mdx 1 dB sinB
xacosB acosB W 1e2sin2B
ddB xaW si3nB(1e2)
或 : c V 3
子午圈曲率半径随纬度变化情况
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
三、卯酉圈（线）曲率半径
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法 截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面 同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截弧， 一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条 截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲 率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面 夹角的余弦。
上一讲应掌握的内容
5、各坐标系间的关系
• 子午平面坐标系与大地坐标系的关系
(L，x，y)
(L，B)
xNcosB yN(1e2)sin B
• 空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系
(X，Y，Z)
(L，x，y)
X x c o s L , Y x s in L , Z y
• 空间直角坐标系与大地坐标系的关系
• 空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系
(X，Y，Z)
(L，u)
X=a cos u cos L
Y a cos u sin L
Z b sin u
• 空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系
(X，Y，Z)
（L，Φ，ρ）
X a c o sφ c o s L
1 e2 1 e 2 c o s 2φ
• 大地极坐标系同大地坐标系的关系
M a(1 e2 ) W3
M
c V3
子午线曲率半径（另一种推导）
x NcosB y N(1e2)sin B
dx
d2x k
dy
dy2
3
子 午 线 曲 率 ： k(1ae(2 1s in e2 2)B)2
W 3 a(1e2)
子 午 线 曲 率 半 径 ： M a ( 1 e 2 ) W 3
(S，A)
(L，B)
大地主题解算
Y a c o sφ s in L
1 e2 1 e 2 c o s 2φ
Z a s inφ
1 e2 1 e 2 c o s 2φ
Biblioteka Baidu 上一讲应掌握的内容
（六） B、u、φ之间的关系
• 在赤道圈上： B=u=φ=0 • 在两极处: B=u=φ=90° • 在其他处:
RW b2V c2V NW a2 1e2
任意法截弧的曲率半径的变化规律
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方
位角A有关。
• 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ • 当Ａ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ
• 主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。
• 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ • 当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变
两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。 对应有：子午线（圈）曲率半径， 卯酉线（圈）曲率半径
曲线的曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上 无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度 量的。
曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径。 曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高
二、子午圈（线）曲率半径
大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由
微分几何的尤拉公式得：
T（北）
1 cos2 A sin2 A 子午线
kA
RA
M
N
A
RANco2A sM M Nsi2nA
P
R A12N cos2A1e'2cos N 2B cos2A
Q 卯酉线 D（东）
R A N ( 1 2 c 2 A o 4 c s 4 A o ) s