被控过程的数学模型
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《过程控制系统与仪表(第2版)》教学课件—05被控过程的数学模型
在经典控制理论中，被控对象的特性一般用单输 入、输出的传递函数描述，过程控制领域经常采用具 有纯滞后的一阶和二阶模型。
第5章 被控对象的数学模型
过程控制系统与仪表
5.2 建立被控过程数学模型的基本方法
获取被控（对象版）权过声程明数学模型基本途径。
➢ 机理法 感谢您下载觅知网平台上提供的PPT作品，为了您和觅知网以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法
生产过程工艺分析、设计及控制系统分析与设计方面
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第5章 被控对象的数学模型
过程控制系统与仪表
第5章 被控过程的数学模型
控制系统最终控制品质取决于系统的动态特性，
而系统整体特性取决于各环节特性和系统结构，其中
起决定性作用的是被控（对象）过程动态特性，其它
控制装置和控制系统结构设计都是为了最大限度发挥
被控对象（过程）潜力，以取得满意的控制品质、工
艺技术指标和最大的生产效率、经济效益。
律责任！觅知网将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！
可以看做比例环节，控制器的动态特性由控制规 律决定。本章讨论被控（对象）过程动态特性的 1.在觅知网出售的PPT模板是免版税类（RF：Royalty-Free）正版受《中国人民共和国著作法》和《世界版权公约》的
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第5章 被控对象的数学模型
过程控制系统与仪表
第5章 被控过程的数学模型
控制系统最终控制品质取决于系统的动态特性，
而系统整体特性取决于各环节特性和系统结构，其中
起决定性作用的是被控（对象）过程动态特性，其它
控制装置和控制系统结构设计都是为了最大限度发挥
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第二章 被控对象的数学模型
Δh:液位的增量 m
dV dh Q1 Q2 A dt dt
Δu1：阀门1开度增量 m2
ΔQ1＝ Ku• Δu1
Ku：阀门1流量系数 m/s
Q2 A 2gh K h
h R Q2
Rs: 液阻 S/m2 h0+Δ h h0 Q20 Q20+Δ Q2
h dh dh ku u1 A C R dt dt
阶跃响应曲线法 1.阶跃响应曲线法 在对象上人为地加 一瞬变扰动，测定 对象的响应曲线， 然后根据此响应曲 线，推求出对象的 传递函数。
缺点：被控参数的偏 差往往会超出实际生 产所允许的数值。
脉冲响应曲线法
u(t)
u(0)
t
y(t)
y(0)
t
2.脉冲响应曲线法
u(t)：矩形脉冲输入
u(t)
u
T
u1(t) t
过程控制系统
按被控对象特性
组成控制系统
控制方案
选择测量控制仪表
控制系统控制效果的好坏，在很大程度 上取决于对被控对象动态特性了解的程 度。
1.选择输入量与输出量
A.多输入单输出的被控对象
e(t) u(t)
液 位 控 制 器 给 水 控 制 阀
+
给定值 -
蒸 汽 流 量
给 水 压 力
锅炉汽 鼓
液位
液 位 变 送 器
1. 概述
若对于复杂的工艺过程，要求出其数学模 型（微分方程）很困难。复杂对象错综复 杂的相互作用可能会对结果产生估计不到 的影响，即使能用机理法得到数学模型， 但仍希望通过实验测定来验证，可采用实 验和测试方法来求取对象数学模型。 方法： 时域法
频域法 相关统计法
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
被控过程数学模型
总结与展望
06
研究成果总结
01
建立了一套完整的被控过程数学模型，为实际工业过程控制提供了理 论支持。
02
针对不同类型的过程，提出了多种建模方法和技巧，提高了建模的准 确性和实用性。
03
结合实际应用案例，验证了所提出模型的可行性和有效性，为工业过 程控制提供了有效的工具。
04
针对模型参数的估计和优化问题，提出了多种参数估计和优化算法， 提高了模型参数的估计精度和优化效果。
分析结果
对验证与评估结果进行分析， 判断模型的准确性、可靠性和 有效性。
确定验证与评估方法
根据被控过程的特性和需求， 选择合适的验证与评估方法。
进行验证与评估
将实验数据输入模型，进行验 证与评估，并记录验证与评估 结果。
改进模型
根据验证与评估结果，对模型 进行必要的调整和改进，以提 高模型的准确性和可靠性。
被控过程数学模型的
04
验证与评估
模型验证方法
1 2 3
对比实验法
通过在被控过程中进行实际操作，将实验数据与 模型预测数据进行对比，以验证模型的准确性。
输入-输出法
通过输入不同的控制信号，观察被控过程的输出 响应，并与模型预测的输出进行对比，以验证模 型的准确性。
时间序列法
将被控过程的历史数据输入模型，通过比较模型 的预测输出与实际历史数据，评估模型的准确性。
线性系统模型的性质
线性系统模型具有叠加性、均匀性和时不变性等性质。叠加性是指多个输入产生的输出等 于各自输入产生的输出之和；均匀性是指系统对输入信号的放大系数是常数；时不变性是 指系统对输入信号的响应不随时间变化而变化。
线性系统模型的建立方法
建立线性系统模型的方法包括机理建模、统计建模和混合建模等。机理建模是根据系统的 物理和化学原理建立数学模型；统计建模是根据系统的输入和输出数据建立数学模型；混 合建模则是结合机理建模和统计建模的方法。
8被控过程的数学模型.
解： 根据动态物料平衡关系，即在单
位时间内贮罐的液体流入量与单位时间 内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中 液体贮存量的变化率，则有
q1 q2 A
写为增量形式为
dh dt
d h q1 q2 A dt
单容液位过程
过程控制与自动化仪表
12
假定∆q2与∆h近似成正比，而与阀门2的液阻R2(近似为常量)成反比，则有
无自衡过程及其阶跃响应曲线
过程控制与自动化仪表
5
自平衡特性及传递函数的典型形式有：
一阶惯性环节 二阶惯性环节 一阶惯性+纯滞后环 节 二阶惯性+纯滞后环 节
纯积分项
无平衡特性及传递函数的典型形式有：
一阶环节
拉普拉斯变换的终值定理
二阶环节
t
lim f (t ) lim sF (s)
s0
一阶+纯滞后环节 二阶+纯滞后环节
在上例中，如果以体积流量q0为过程的输入量，那么，当阀1的开度产生变化后， q0需流经长度为l的管道后才能进入贮罐而使液位发生变化。q0需经一段延时才能 被控制。得到纯滞后的单容过程微分方程和传递函数
T
d h h K q0 (t 0 ) dt H (s) K 0 s G(s) e Q0 ( s ) Ts 1
• • • • • • 参数模型(微分方程、差分方程、状态方程、传递函数等) 非参数模型（曲线、表格等） 输入变量：干扰变量、控制变量 输出变量：被控变量 通道：干扰通道、控制通道 动态/静态模型
数学模型的作用
• 设计与操作生产工艺设备时的指导 • 控制系统设计的基础 • 工业过程故障诊断系统的设计指导 • 控制其参数确定的重要依据 • 仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件 过程控制与自动化仪表
第二章_对象特性和建模
23
第二节 机理建模
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然， 与皮带输送机的传送速度v和传送距 显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度 和传送距 L 有如下关系： 离L有如下关系： 有如下关系 τ = （2-16） ）
0
v
24
第二节 机理建模
x为输入量 为输入量
x (t − τ 0 ), y= 0, t ≥τ0 t ≤τ0
Y (s ) bm s m + bm −1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0 G (s ) = = X (s ) a n s n + a n−1 s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0
（2-8） ）
13
第一节 数学模型及描述方法
对于一阶对象,由式 (2-4)两端取拉氏变换,得 对于一阶对象, (2-4)两端取拉氏变换, 两端取拉氏变换
过程的输入、 图2-1 过程的输入、输出量
3
？
第一节 数学模型及描述方法
过程的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
4
第一节 数学模型及描述方法
用于控制的数学模型（ 、 ）与用于工艺设计与分析 工艺设计与分析的数学 用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学 控制的数学模型 模型（ ）不完全相同。 模型（c）不完全相同。 一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况， 情况 ， 研究过 程的输入变量 程的 输入变量 是如何影响输 出变量的。 出变量的。
对象可以用一阶微分方程式来描述, 对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞τ 输出变量之间有一段时滞 0
过程控制 第4章_被控过程的数学模型
进行拉普拉斯变换，整理 得到传递函数、数学模型
4.3 实验法建立过程的数学模型
试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。 在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法； 在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。
4.3.1 响应曲线法
响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入产生一阶跃 变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线或输出数据，再 根据输入－输出数据，求取过程的输入－输出之间的数学关系。响应 曲线法又分为阶跃响应曲线法和方波响应曲线法
Ke s (0 1) G( s) 2 2 (T s 2 Ts 1)
4．具有反向特性的过程 对过程施加一阶跃输入信号， 若在开始一段时间内，过程 的输出先降后升或先升后降， 即出现相反的变化方向，则 称其为具有反向特性的被控 过程。
4.1.3
过程建模方法
1．机理演绎法 根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系，用数学解析 的方法求取被控过程的数学模型。 2．试验辨识法 主要思路是： 先给被控过程人为地施加一个输入作 用，然后记录过程的输出变化量，得 到一系列试验数据或曲线，最后再根 据输入－输出试验数据确定其模型的 结构（包括模型形式、阶次与纯滞后 时间等）与模型的参数。 主要步骤： 3. 混合法
K0的确定与一阶环节确定方法相同
机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种方法
4.2
解析法建立过程的数学模型
4.2.1．解析法建模的一般步骤
1） 明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2） 依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写静态方程或 动态方程； 3） 消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程； 4） 将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分）方程或传 递函数（脉冲传递函数）等；
第5章 被控过程的数学模型
5.3.3.1 多容液位过程 （续）－例题
◇
5.3.3.1 多容液位过程 （续）－例题
◇
5.3.3.1 多容液位过程 （续）－例题
◇
5.3.3.1 多容液位过程 （续）－课堂练习
◇ 课堂练习
请同学画出如下液位过程的信号方框图：
设 R2, R3, R4 为线性液阻
求： Q1→h3 的数学模型（传递函数）
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续）
（三）若测得阶跃响应y(t)曲线如下形状
可处理成： ① 近似一阶加纯滞后 （用“作图法”或“计算法”） ② 二阶惯性（或高阶）
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续）
（三）若测得阶跃响应y(t)曲线如下形状
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续）
◇多容（高阶）过程对于扰动的响应在时间上的这种延迟被称为容量滞后。
5.3.3 多容过程建模——5.3.3.2 容量滞后与纯滞后
5.3.3.2 容量滞后与纯滞后（续）
1. 容量滞后
高阶对象的阶跃响应可近似为 一阶加纯滞后对象的响应：
5.3.3 多容过程建模——5.3.3.2 容量滞后与纯滞后
5.3.3.2 容量滞后与纯滞后（续）
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续）
（六）矩形脉冲响应曲线与阶跃响应曲线的关系
由于阶跃输入测试对象特性会造成长时间的干扰，有的过程不允许，则可 考虑采用矩形脉冲输入。如下：
但希望将矩形脉冲响应转换成阶跃响应，以便使用上述介绍的方法处理。 对线性系统满足叠加原理。
5.4 测试法建模－5.4.1 阶跃响应曲线法建模（续） （六）矩形脉冲响应曲线与阶跃响应曲线的关系 对线性系统满足叠加原理。
【精选】第2章 被控过程特性及其数学模型
z d
5、状态方程形式
x Ax Bu 或 y Cx Du
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k
)
Cx(k
)
Du
(k)
（2）用非参量形式表示模型，如曲线、数据表格等。
六 、被控过程数学模型的建立方法
（一）机理演绎法（解析法） （二）实验辨识法（响应曲线法、相关 分析法、最小二乘法） （三）混合法
Ts 1
（一） 机理演绎法建模
其输入－输出特性：
（一） 机理演绎法建模
例2
Q1
A
dh dt
Q2 0
Q1
Q2
A
dh dt
G(s) 1 1 As TI s
TI －积分时间常数
（一） 机理演绎法建模
其输入－输出特性：
（一） 机理演绎法建模
自平衡的概念及其实质
所谓有自平衡能力的过程是指被控过程在干扰作用下，原有 的平衡状态被打破后，在没有人或控制装置的干预下，自身可 以恢复到新的平衡状态，这种过程称为有自平衡能力的过程（ 如例1），否则称为无自平衡能力的过程（如例2）。
五 、被控过程数学模型的表示形式
（1）用参量形式表示模型
1、微分方程形式：
an y(n) (t) a1y' (t) y(t)
bmu(m) (t ) b1u'(t ) b0u(t )
2、差分方程形式：
an y(k n) a1y(k 1) y(k) bmu(k m d) b1u(k 1 d) e(k)
第二章 被控过程的数学建模
讨论的问题：
一、 被控过程的特性？ 二、 什么是被控过程的数学建模？ 三 、被控过程数学建模的作用？ 四 、被控过程数学模型的类型？ 五 、被控过程数学模型的表示形式？ 六 、被控过程数学模型建立的方法？
第2章 被控过程特性及其数学模型
K e -s (Ts 1) n
过程的纯滞后时间
2.1 被控过程的特性
（2）无自衡的非振荡过程
无自衡：在原平衡状态出现干
扰时，当没有外加任何控制作 用时，被控过程不能重新到达 新的平衡状态
无自衡非振荡：阶跃输入信号 作用下，输出响应曲线会没有 振荡地从一个稳态一直上升或 下降，不能达到新的稳态
第二章 被控过程特性及其数学模型
主要内容
2.1 被控过程的特性 2.2被控过程的数学模型 2.3解析法建立过程的数学模型
2.4实验辨识法建立过程的数学模型
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
自衡：在原平衡状态出现干扰 时，无需外加任何控制作用，
被控过程能够自发地趋于新的 平衡状态。
自衡非振荡：阶跃输入信号作 用下，输出响应曲线能没有振 荡地从一个稳态趋向于另一个 稳态.
实验辨识法
实验辨识法-------根据过程输入、输出的实验测试数据， 通过过程辨识和参数估计得出数学模型。 过程辨识-----根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程 阶次及时滞等）。
参数估计-----在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定 模型的参数。
混合法
（1）对被控过程中机理比较清楚的部分采用机理演绎
单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
单容过程传递函数的结构方框图
水箱的输入量/输出量之 间的动态平衡关系 Q1 (s)
1 cs
Q2 (s)
H(s)
1 R2
阀2的静压力关系
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广1：考虑输入液体体积流量为Q0 当进水阀1的开度产生变化后，需流经长度为l 的管道才能
被控过程的数学模型
3机理法建模
机理法建模的基本原理 通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。
STEP1
STEP2
当对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描述时，称为单容过程或一阶特性对象。 大部分工业对象可以用一阶特性描述。
0
Δh2（∞）
Δh2
为简化数学模型，可以用带滞后的单容过程来近似。
0
Δh2（∞）
Δh2
τ0
0
T0
Δh2（∞）
在S形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为带滞后的一阶特性：
∆h2(t)=
K0∆μ1 (1－e ) t ≥τc
此时，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对象的输出量是液位h。
G(S)
Q1
h
机理建模步骤： 从水槽的物料平衡关系考虑，找出表征h与Q1关系的方程式。 设水槽的截面积为A Ql0= Q20时，系统处于平衡状态，即静态。 这时液位稳定在h0
0
阀门1
阀门2
Q10
Q20
假定某一时刻，阀门1突然开大∆μ1 ， 则Q1突然增大，不再等于Q2，于是 h也就开始变化。 Q1与Q2之差被囤积在水槽中，造成液位上升。
阶跃响应曲线法建模 给对象输入一阶跃信号或方波信号测其输出响应。 1．阶跃响应曲线的直接测定
在被控过程处于开环、稳态时，将选定的输入量做一阶跃变化（如将阀门开大） ，测试记录输出量的变化数据，所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。
注意事项
合理的选择阶跃输入信号的幅度 试验时被控过程应处于相对稳定的工况 要仔细记录阶跃响应曲线的起始部分（自衡、非自衡） 多次测试，消除非线性
第二章 被控过程的数学模型
后才反应出来。 要经过路程 l 后才反应出来。
℃
0 t
τ
0
纯滞后时间
l τ0 = v
℃
v ——水的流速； 水的流速；
0 有些对象容量滞后与 纯滞后同时存在，很难严格 纯滞后同时存在， Δh2 （∞） 区分。常把两者合起来， 区分。常把两者合起来，统 称为滞后时间τ 0
τ0
t
τ=τ
o
+τc
τ0 τc
单回路控制系统框图
过程通道： 过程通道：
被控过程输入量与输出量之间的信号联系
控制通道： 控制通道：
控制作用与被控量之间的信号联系
扰动通道： 扰动通道：
扰动作用与被控量之间的信号联系
建立过程数学模型的基本方法： 建立过程数学模型的基本方法：
解析法： 解析法： 又称为机理演绎法 ，根据过程的内在机理，运用已知 根据过程的内在机理， 的静态和动态物料（能量）平衡关系， 的静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建 立过程的数学模型。 立过程的数学模型。 实验辨识法： 实验辨识法： 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输 出的实验测试数据， 出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学 模型。 模型。 混合法: 混合法: 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通 过机理分析确定过程模型的结构形式， 过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小
其中： 其中：
T = R 2 C 为被控过程的时间常数
K = R2
为被控过程的放大系数
Hs +1 1 2
《过程控制与自动化仪表(第3版)》第4章 思考题与习题
第4章思考题与习题1．基本练习题（1）什么是被控过程的特性？什么是被控过程的数学模型？为什么要研究过程的数学模型？目前研究过程数学模型的主要方法有哪几种？答：1）过程控制特性指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。
2）被控过程的数学模型是描述被控过程在输入（控制输入与扰动输入）作用下，其状态和输出（被控参数）变化的数学表达式。
3）目的：○1设计过程控制系统及整定控制参数；○2指导生产工艺及其设备的设计与操作；○3对被控过程进行仿真研究；○4培训运行操作人员；○5工业过程的故障检测与诊断。
4）机理演绎法和实验辨识法。
（2）响应曲线法辨识过程数学模型时，一般应注意哪些问题？答：1）合理地选择阶跃输入信号的幅度，幅值不能过大以免对生产的正常进行产生不利影响。
但也不能太小，以防其他干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。
一般取正常输入信号最大幅值的10%；2）试验时被控过程应处于相对稳定的工况；3）在相同条件下进行多次测试，消除非线性；4）分别做正、反方向的阶跃输入信号试验，并将两次结果进行比较，以衡量过程的非线性程度；5）每完成一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间再做第二次试验。
（3）怎样用最小二乘法估计模型参数，最小二乘的一次完成算法与递推算法有何区别？答：1）最小二乘法可以将待辨识过程看作“黑箱”。
利用输入输出数据来确定多项式的系数利用)hke=θ来确定模型参数。
k T+)((y k()2）区别：一次完成要知道所有的输入输出数据才能辨识参数，即只能离线辨识。
递推算法可以只知道一部分数据即进行辨识，可用于在线辨识。
（4）图4-1所示液位过程的输入量为1q ，流出量为2q 、3q ，液位为h 被控参数，C 为容量系数，并设1R 、2R 、3R 均为线性液阻。
要求：1）列写过程的微分方程组； 2）画出过程的方框图；3）求过程的传递函数01()()/()G s H s Q s =。
被控过程的数学模型
被控过程的数学模型
被控过程的数学模型可以基于物理原理建立，也可以根据经验或实验数据建立。
常见的数学模型包括：
1. 差分方程模型：将被控变量在不同时间点的变化量与输入变量联系起来，建立差分方程模型。
2. 微分方程模型：考虑系统内部的动态特性，建立微分方程模型来描述系统的状态变化。
常见的微分方程包括一阶、二阶、高阶微分方程。
3. 线性回归模型：对已有的数据进行统计分析，建立被控变量和输入变量之间的线性关系。
4. 神经网络模型：利用神经网络的非线性映射性质，建立被控变量与输入变量之间的复杂映射关系。
5. 模糊逻辑控制模型：考虑现实问题的模糊性和不确定性，建立基于模糊逻辑的控制模型。
6. 最优控制模型：基于最优化理论，建立被控过程的最优控制模型，实现最小化损失或最大化收益。
这些数学模型可以根据实际应用需要选择和组合使用。
第五章 被控过程的数学模型
一、建立自衡过程的数学模型 Mathematical model （一）单容过程的数学模型
q1 q1 R1
单容过程的传递函数形式数学模型为：
Wo ( s ) K0 R2 H (s) Q1 ( s ) AR2 s 1 T0 s 1
h0 h
单容自衡过程的数学模型为一阶惯性环节。
q1 q1 R1
l
lag)单容过程的数学模型
有纯滞后的单容水箱过程：
h0 h
R2
A
q2 q2
进水阀门的位置距离水箱有一段传输距离l
5.3 建立机理模型 Mechanism model
一、建立自衡过程的数学模型 Mathematical model （二）有纯滞后(time
lag)单容过程的数学模型
目的：利用方框图法求取传递函数形式的数学模型 由前述有： q1 q 2 A
Q1 ( s )
Q2 ( s )
-
1
H (s) As
q 2
h R2
dh dt
1
R2
将上述两式拉氏变换后，画出 图3.6所示的方框图.
图3.6 液位过程方框图
由图3.6所示的方框图，有：
K0 R2 H (s) Wo ( s ) Q1 ( s ) AR2 s 1 T0 s 1
q10 q1 R1
目的：建立液位h和进水流量q1之间的数学表达式
液位平衡条件： q10 q20
dh dt d (h0 h) ( q q ) ( q q ) A 1 20 2 或 10 dt h ：分别表示偏离某一平衡 q1 、 q2 、 q20 、h0 的增量。 状态 q10 、 q1 q 2 A
q1 q1 R1
单容过程的传递函数形式数学模型为：
Wo ( s ) K0 R2 H (s) Q1 ( s ) AR2 s 1 T0 s 1
h0 h
单容自衡过程的数学模型为一阶惯性环节。
q1 q1 R1
l
lag)单容过程的数学模型
有纯滞后的单容水箱过程：
h0 h
R2
A
q2 q2
进水阀门的位置距离水箱有一段传输距离l
5.3 建立机理模型 Mechanism model
一、建立自衡过程的数学模型 Mathematical model （二）有纯滞后(time
lag)单容过程的数学模型
目的：利用方框图法求取传递函数形式的数学模型 由前述有： q1 q 2 A
Q1 ( s )
Q2 ( s )
-
1
H (s) As
q 2
h R2
dh dt
1
R2
将上述两式拉氏变换后，画出 图3.6所示的方框图.
图3.6 液位过程方框图
由图3.6所示的方框图，有：
K0 R2 H (s) Wo ( s ) Q1 ( s ) AR2 s 1 T0 s 1
q10 q1 R1
目的：建立液位h和进水流量q1之间的数学表达式
液位平衡条件： q10 q20
dh dt d (h0 h) ( q q ) ( q q ) A 1 20 2 或 10 dt h ：分别表示偏离某一平衡 q1 、 q2 、 q20 、h0 的增量。 状态 q10 、 q1 q 2 A
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单位时间内物质/能量流入量－单位时间内物质/能量流出量 ＝被控过程内部物质/能量存储量的变化率
19
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2.1.3 被控过程数学模型的建立方法 被控过程特性复杂，必须对系统进行适当的简 化处理才能有效地建模。通常，从以下两个方 面对模型进行简化： (1)从分布到集中
静态数学模型 动态数学模型
6
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
过程控制系统方框图
f1
r e
调节器
fn
y
u
被控过程
调节器的输出量u为控制作用，常称为过程的基本
扰动或内部扰动。其他的输入量则称为扰动作用， 统称为外部扰动。
7
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
被控过程的数学模型在过程控制中的作用
12
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
（2）单容过程与多容过程
工业生产过程一般都具有储存物料或能量的 能力，其储存能力的大小称为容量。 单容过程——只有一个储存容积的过程。 多容过程——被控过程由多个容积组成。
13
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
（3）有自衡的振荡过程
在阶跃输入作用下，过程输出会上下振荡
衰减振荡的传递函数为
G( s)
K T 2 s 2 2Ts 1
(0 1)
在过程控制中，这类过程不多见，其控制难度相对较大。
14
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
（4）具有反向特性的过程
对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间
思考题
1、过程控制系统的组成 2、干扰和扰动的概念 3、过程控制系统按结构如何分类 4、按设定值如何分类 5、过程控制单项性能指标有哪些？分别 表征什么特性
1
过程控制
Process Control
上篇 过程控制系统 第2章 被控过程的数学模型
2
本章要点
◇ 被控过程数学模型的概念 ◇ 被控过程的特性 ◇ 数学模型的类型及构建方法
本章学习目标
◇ 掌握过程建模的基本概念 ◇ 理解被控过程机理建模的方法与步骤 ◇ 了解被控过程的自衡与非自衡特性 ◇ 熟悉单容过程和多容过程阶跃响应曲线及解析表达式 ◇ 熟练掌握阶跃响应曲线法建立过程数学模型的步骤与方法
3
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念 2.2 机理法建模 2.3 实验法建模
2.实验法（实验辨识法/参数估计法）
先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的 输出变化量，得到一系列实验数据或曲线，最后再根据输入－ 输出实验数据确定其模型的结构（包括模型形式、阶次与纯滞 后时间等）与模型的参数。
3.混合法（机理法+实验法）
机理演绎法与实验辩识法相互交替使用的一种方b s b s b1s b0 s m m 1 传递函数 G ( s) e o n n 1 U (s) an s an 1s a1s a0
24
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
单输入-单输出过程最常用的数学模型
对于大多数的工业过程，一般取n与m的值在1～3之间。 采样周期一般取过渡过程时间的1/10～1/20。
脉冲传递函数
b0 b1q 1 bm q m d y (k ) q u (k ) 1 n a0 a1q an q
25
第2章 被控过程的数学模型
2.2 机理法建模
内，过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的
变化方向，则称其为具有反向特性的被控过程。
特征：这类过程具有S右半平面的零点（正零点）。
具有反向特性的过程响应曲线
15
反向特性的对象
请课后用Matlab 看其阶跃响应
对象模型表示为两个环节的差
G G1 G2
G1 K1 T1S 1
自衡反向特性
小常识：在过程控制中实际应用的动态数学模型， 其传递函数的阶次一般不高于三阶。有时可用具有 时滞的二阶形式，最常用的是具有时滞的一阶形式。
K s G(s) e Ts 1
K G( s) e s (T1 s 1)(T2 s 1)
表2.1 被控过程数学模型的应用与要求
应用目的 调节器参数整定 前馈、解耦、预估系统设计 控制系统的计算机辅助设计 自适应控制 最优控制 过程模型类型 线性、参数（或非参数）、时间连续 线性、参数（或非参数）、时间连续 线性、参数（或非参数）、时间离散 线性、参数、时间离散 线性、参数、时间离散或连续 精度要求 低 中等 中等 中等 高
无自衡反向特性
K1 K 2 ( K1 T1K 2 )S K 2 K (1 Td S ) G T1S 1 S (T1S 1)S (T1S 1)S
16
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
锅炉汽包水位在负荷变化下的响应是最典型的例子 。
具有反向特性的过程
1. 线性时间连续模型
d n y (t ) d n1 y (t ) dy(t ) an an1 a1 a0 y (t ) n n1 dt dt dt d mu (t ) d m1u (t ) du(t ) bm b b b0u (t ) m1 1 m m1 dt dt dt
22
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
由机理法得到的几类数学模型
过程类型 集中参数过程 分布参数过程 多级过程 静态模型 代数方程 微分方程 差分方程 动态模型 微分方程 偏微分方程 微分-差分方程
实验法模型多为单输入-单输出过程最常用的数学模型
23
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
K2 自衡 T2 S 1 G2 无自衡 K 2 S
G
K (1 Td S ) K1 K2 ( K K 2 ) (T1K 2 K1T2 )S 1 T1S 1 T2 S 1 (T1S 1)(T2 S 1) (T1S 1)(T1S 1)
K G( s ) S
K G(s) (T1S 1) S 11
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
自衡特性传递函数的典型形式
一阶惯性环节
无自衡特性传递函数的典型形式
一阶环节
K G( s) (Ts 1)
K G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
Ke s G( s) (Ts 1)
2. 线性时间离散模型 差分方程
an y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k ) bmu(k m d ) bm1u(k m 1 d ) b1u(k 1 d ) b0u(k d )
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2.1.4 被控过程数学模型的类型 按照所描述的运动性质及数学特征可分为线性、 非线性、时变、定常、连续、离散、集中参数、 分布参数、确定型、随机型等等。 按照表述形式可分为非参量形式，即用曲线或数 据表格来表示；参量形式，即用数学方程或表达 式来表示。参量形式的数学模型通常可用微分方 程、传递函数、差分方程、状态和观测方程等形 式来描述。
17
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2. 工业过程动态特性的特点
系统相对较为复杂 时间常数及时延大 具有非线性、分布参数 具有时变特性 被控对象大多属慢变过程
在过程控制中，被控对象复杂多样，其中所进 行的过程几乎都离不开物质和能量的流动，只有流 入量与流出量保持平衡时，对象才会处于稳定平衡 的工况。 在过程控制系统中大多采用调节阀控制流入量 或流出量，以保持工况平衡。
(2)从非线性到线性
建立被控过程数学模型的方法主要有三种， 分别是机理法、实验法、机理法与实验法相结合 的混合法。
20
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念 系统为建模前预先推导出数学模型， 对于系统设计和方案论证有利
1.机理法（解析法）
根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系， 用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。
18
流入量：把被控过程看作一个独立的隔离体，从外部流入 被控对象内部的物质或能量 流出量：从对象内部流出的物质或能量。 与之相关的基本关系是能量与物质的平衡关系。
只有“流入量=流出量”保持平衡时，对象才处于平衡 状态。平衡关系一旦破坏，必然反映在某一个量的变化上 。 静态物料(或能量)平衡关系-----单位时间内进入被控过 程的物料(或能量)等于单位时间内从被控过程流出的物料 (或能量)。这时被控过程处于稳定工况，各种状态变量与 参数都稳定不变。 动态物料(或能量)平衡关系-----单位时间内被控过程流 入量与流出量之差等于被控过程内部存储量的变化率。
2.2
机理法建模
2.2.1 基本原理
机理法建模的主要依据：
从控制的角度看，被控对象各种各样，但它们 都是关于物质和能量的流动与转换，而且被控参 数和控制参数的变化都与物质或能量的流动与转 换有密切关系。 从机理出发，依据物料平衡和能量平衡的关系， 用理论的方法推导被控对象的数学模型。 “白箱模型” 输入、输出、状态
u
执行器 Gv (s
q
控制通道 Gp (s)
+
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2.1 过程建模的基本概念
2.1.1 被控过程的数学模型及其作用 通道--过程的输入变量至输出变量的信号联系 控制通道--控制作用至输出变量的信号联系 干扰通道--干扰作用至输出变量的信号联系
19
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2.1.3 被控过程数学模型的建立方法 被控过程特性复杂，必须对系统进行适当的简 化处理才能有效地建模。通常，从以下两个方 面对模型进行简化： (1)从分布到集中
静态数学模型 动态数学模型
6
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
过程控制系统方框图
f1
r e
调节器
fn
y
u
被控过程
调节器的输出量u为控制作用，常称为过程的基本
扰动或内部扰动。其他的输入量则称为扰动作用， 统称为外部扰动。
7
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
被控过程的数学模型在过程控制中的作用
12
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
（2）单容过程与多容过程
工业生产过程一般都具有储存物料或能量的 能力，其储存能力的大小称为容量。 单容过程——只有一个储存容积的过程。 多容过程——被控过程由多个容积组成。
13
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
（3）有自衡的振荡过程
在阶跃输入作用下，过程输出会上下振荡
衰减振荡的传递函数为
G( s)
K T 2 s 2 2Ts 1
(0 1)
在过程控制中，这类过程不多见，其控制难度相对较大。
14
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
（4）具有反向特性的过程
对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间
思考题
1、过程控制系统的组成 2、干扰和扰动的概念 3、过程控制系统按结构如何分类 4、按设定值如何分类 5、过程控制单项性能指标有哪些？分别 表征什么特性
1
过程控制
Process Control
上篇 过程控制系统 第2章 被控过程的数学模型
2
本章要点
◇ 被控过程数学模型的概念 ◇ 被控过程的特性 ◇ 数学模型的类型及构建方法
本章学习目标
◇ 掌握过程建模的基本概念 ◇ 理解被控过程机理建模的方法与步骤 ◇ 了解被控过程的自衡与非自衡特性 ◇ 熟悉单容过程和多容过程阶跃响应曲线及解析表达式 ◇ 熟练掌握阶跃响应曲线法建立过程数学模型的步骤与方法
3
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念 2.2 机理法建模 2.3 实验法建模
2.实验法（实验辨识法/参数估计法）
先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的 输出变化量，得到一系列实验数据或曲线，最后再根据输入－ 输出实验数据确定其模型的结构（包括模型形式、阶次与纯滞 后时间等）与模型的参数。
3.混合法（机理法+实验法）
机理演绎法与实验辩识法相互交替使用的一种方b s b s b1s b0 s m m 1 传递函数 G ( s) e o n n 1 U (s) an s an 1s a1s a0
24
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
单输入-单输出过程最常用的数学模型
对于大多数的工业过程，一般取n与m的值在1～3之间。 采样周期一般取过渡过程时间的1/10～1/20。
脉冲传递函数
b0 b1q 1 bm q m d y (k ) q u (k ) 1 n a0 a1q an q
25
第2章 被控过程的数学模型
2.2 机理法建模
内，过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的
变化方向，则称其为具有反向特性的被控过程。
特征：这类过程具有S右半平面的零点（正零点）。
具有反向特性的过程响应曲线
15
反向特性的对象
请课后用Matlab 看其阶跃响应
对象模型表示为两个环节的差
G G1 G2
G1 K1 T1S 1
自衡反向特性
小常识：在过程控制中实际应用的动态数学模型， 其传递函数的阶次一般不高于三阶。有时可用具有 时滞的二阶形式，最常用的是具有时滞的一阶形式。
K s G(s) e Ts 1
K G( s) e s (T1 s 1)(T2 s 1)
表2.1 被控过程数学模型的应用与要求
应用目的 调节器参数整定 前馈、解耦、预估系统设计 控制系统的计算机辅助设计 自适应控制 最优控制 过程模型类型 线性、参数（或非参数）、时间连续 线性、参数（或非参数）、时间连续 线性、参数（或非参数）、时间离散 线性、参数、时间离散 线性、参数、时间离散或连续 精度要求 低 中等 中等 中等 高
无自衡反向特性
K1 K 2 ( K1 T1K 2 )S K 2 K (1 Td S ) G T1S 1 S (T1S 1)S (T1S 1)S
16
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
锅炉汽包水位在负荷变化下的响应是最典型的例子 。
具有反向特性的过程
1. 线性时间连续模型
d n y (t ) d n1 y (t ) dy(t ) an an1 a1 a0 y (t ) n n1 dt dt dt d mu (t ) d m1u (t ) du(t ) bm b b b0u (t ) m1 1 m m1 dt dt dt
22
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
由机理法得到的几类数学模型
过程类型 集中参数过程 分布参数过程 多级过程 静态模型 代数方程 微分方程 差分方程 动态模型 微分方程 偏微分方程 微分-差分方程
实验法模型多为单输入-单输出过程最常用的数学模型
23
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
K2 自衡 T2 S 1 G2 无自衡 K 2 S
G
K (1 Td S ) K1 K2 ( K K 2 ) (T1K 2 K1T2 )S 1 T1S 1 T2 S 1 (T1S 1)(T2 S 1) (T1S 1)(T1S 1)
K G( s ) S
K G(s) (T1S 1) S 11
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
自衡特性传递函数的典型形式
一阶惯性环节
无自衡特性传递函数的典型形式
一阶环节
K G( s) (Ts 1)
K G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
Ke s G( s) (Ts 1)
2. 线性时间离散模型 差分方程
an y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k ) bmu(k m d ) bm1u(k m 1 d ) b1u(k 1 d ) b0u(k d )
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2.1.4 被控过程数学模型的类型 按照所描述的运动性质及数学特征可分为线性、 非线性、时变、定常、连续、离散、集中参数、 分布参数、确定型、随机型等等。 按照表述形式可分为非参量形式，即用曲线或数 据表格来表示；参量形式，即用数学方程或表达 式来表示。参量形式的数学模型通常可用微分方 程、传递函数、差分方程、状态和观测方程等形 式来描述。
17
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2. 工业过程动态特性的特点
系统相对较为复杂 时间常数及时延大 具有非线性、分布参数 具有时变特性 被控对象大多属慢变过程
在过程控制中，被控对象复杂多样，其中所进 行的过程几乎都离不开物质和能量的流动，只有流 入量与流出量保持平衡时，对象才会处于稳定平衡 的工况。 在过程控制系统中大多采用调节阀控制流入量 或流出量，以保持工况平衡。
(2)从非线性到线性
建立被控过程数学模型的方法主要有三种， 分别是机理法、实验法、机理法与实验法相结合 的混合法。
20
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念 系统为建模前预先推导出数学模型， 对于系统设计和方案论证有利
1.机理法（解析法）
根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系， 用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。
18
流入量：把被控过程看作一个独立的隔离体，从外部流入 被控对象内部的物质或能量 流出量：从对象内部流出的物质或能量。 与之相关的基本关系是能量与物质的平衡关系。
只有“流入量=流出量”保持平衡时，对象才处于平衡 状态。平衡关系一旦破坏，必然反映在某一个量的变化上 。 静态物料(或能量)平衡关系-----单位时间内进入被控过 程的物料(或能量)等于单位时间内从被控过程流出的物料 (或能量)。这时被控过程处于稳定工况，各种状态变量与 参数都稳定不变。 动态物料(或能量)平衡关系-----单位时间内被控过程流 入量与流出量之差等于被控过程内部存储量的变化率。
2.2
机理法建模
2.2.1 基本原理
机理法建模的主要依据：
从控制的角度看，被控对象各种各样，但它们 都是关于物质和能量的流动与转换，而且被控参 数和控制参数的变化都与物质或能量的流动与转 换有密切关系。 从机理出发，依据物料平衡和能量平衡的关系， 用理论的方法推导被控对象的数学模型。 “白箱模型” 输入、输出、状态
u
执行器 Gv (s
q
控制通道 Gp (s)
+
第2章 被控过程的数学模型
2.1 过程建模的基本概念
2.1 过程建模的基本概念
2.1.1 被控过程的数学模型及其作用 通道--过程的输入变量至输出变量的信号联系 控制通道--控制作用至输出变量的信号联系 干扰通道--干扰作用至输出变量的信号联系