高一数学函数与方程PPT优秀课件

(3)函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有__f（__a__）__·_f_（__b__）__<_0,那么函
数y=f(x)在区间(_a_，__b__)__内有零点,即存在c∈(a,b), 使得_f_(_c_)_=_0___，这个__c__也就是f(x)=0的根.
∴f（x）=x2-3x-18，x∈[1，8]有零点.
(2)方法一 ∵f（1）=log23-1>log22-1=0, f(3)=log25-3<log28-3=0, ∴f（1）· f（3）<0， 故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1，3]存在零点. 方法二 设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系 中画出它们的图象，
从图象中可以看出当1≤x≤3时， 两图象有一个交点， 因此f(x)=log2(x+2)-x, x∈[1，3]存在零点. 探究提高函数的零点存在性问题常用的办法 有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得 说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是 必要条件.
知能迁移1 判断下列函数在给定区间上是否存
在零点.
（1）f(x)=x3+1; （2） f(x)1x, x∈（0，1）.
x 解 （1）∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),
令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,
∴f(x)=x3+1有零点-1.
（2）方法一 令f(x)=0，得 1x0,1x20,
x
x
∴x=±1, 而±1 (0,1),
对于在区间［a，b］上连续不断且_f(_a__)_·__f(_b__)_<_0_的 函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间__一__分__为__二__,使区间的两个端点逐步逼近_零__点__,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间［a，b］，验证_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0__,
则f(Βιβλιοθήκη Baidu1)·f(1)≤0,即a1或a1. 5
3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公
共点横坐标的是
（B ）
解析 图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函 数f（a）·f（b）<0.
4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（ D ） A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=mx2-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6 解析 对选项D，∵f（1）=e-3<0，f（2）=e2>0， ∴f（1）f（2）<0.
解 （1）方法一 ∵f（1）=12-3×1-18=-20<0， f（8）=82-3×8-18=22>0， ∴f(1)· f(8)<0， 故f(x)=x2-3x-18,x∈[1，8]存在零点. 方法二 令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x∈[1，8]. ∴(x-6)(x+3)=0，
∴x=6∈[1，8],x=-3[1，8]，
5.设函数
2x2 f(x) x22x
x [1,) ,
x (,1 )
则函数f(x)-
1
9,2 5 的零点是__8_____2___.
4 解析
当x≥1时，f(x)10 ,即 2 x 210 ,
4
4
x 9.
8
当x<1时，f(x) 1 0 ,即 x2 2 x 1 0 ,
4
4
x 2 5(舍去大于1的根).
第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< ,则
得到零点近似值a（或b）;
否则重复第二、三、四步.
基础自测
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的
零点是
A.0，2
B.0，1
2
C.0， 1 2
D.2, 1 2
解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,
（C）
2
∴ f (x) 1 的零点为 9 , 2 5 .
4
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题型分类 深度剖析
题型一 零点的判断 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］； (2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］. 思维启迪第（1）问利用零点的存在性定理或 直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理 或利用两图象的交点来求解.
给定精确度 ；
第二步，求区间（a，b）的中点x1；
第三步，计算__f_(_x_1_)_： ①若_f_(_x_1_)_=_0，则x1就是函数的零点； ②若_f_(_a_)_·__f_(_x_1_)_<_0，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)); ③若_f_(_x_1_)_·__f_(_b_)_<_0_，则令a=x1 (此时零点x0∈(x1,b));
∴ f(x)1x, x∈(0,1)不存在零点. x
方法二 令 y 1 , y=x,在同一平面直角坐标系中， x
作出它们的图象,从图中可以看出当0<x<1时,两图象 没有交点.
故 f(x)1x, x∈(0，1)没有零点. x
2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图
象
与x轴的交 点
____((__xx__1__2,,__00__))__,__
零点个数
__两__个__
__(_x_1_,_0_)_ _一__个__
无交点 _无__
3.二分法 （1）二分法的定义
§2.7 函数与方程 基础知识 自主学习
要点梳理
1.函数的零点 （1）函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f_(_x_)_=_0__成立的实数x叫 做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
（2）几个等价关系
方程f(x)=0
函数y=f(x)的图象与x__轴___有
交点 y=f(x)有_零__点____.
∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 令g(x)=0，得x=0,x= 1 ,
2 ∴g（x）的零点为0， 1 .
2
2.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，
则a的取值范围是
（D ）
A. a 1
B.a≤1
5
C. 1a1 5
D. a1或a1 5
解析 f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，