三角恒等变换复习课件

2α 2α 2α
基本知识框架：
S
几何法，三 角函数线
S 2
T T
C
S
C
C 2
C S
2 2
T2
T
2
基础练习：
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70
(2)和差化积公式
sin sin 2 sin

2
cos

2
sin sin 2 cos

2
sin

2
cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin
2 2
(3)半角公式
1 cos cos 2 2 1 cos

2
1 cos

2
1 cos sin 2 2

tan
sin
=
2 sin 2 = cos 2
cos

1 cos 2 2 sin sin cos 2 2 2 1 cos sin 2 2 2 sin sin cos 2 2 2 sin 2
课后巩固：
5 1 (1) sin sin 12 12
(2) cos20 cos40 cos60 cos80
(3)函数f ( x) cos2 x 2 sin x的值域为
(4) sin 7 cos15 sin 8 cos 7 sin15 sin 8
=
③ 2 ( )
④ ⑤ ( ) ( ) 4 4 ⑵ 注意对角范围的要求。
2 2
23 cos( ) cos sin( ) sin 98
cos cos[( ) ]
课堂小结：
三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形 （结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题，一般的考虑方法是：
⑴ 找差异：角、名、形的差异；
⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间 可以用哪个公式联系起来； ⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变 形后，正用或逆用公式. （4）常用技巧： ①弦化切 ②化“1” ③正切的和、积 ⑤“升幂”与“降次” ⑥辅助角 ④角变换
1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2

1 cos sin sin 1 cos
注：在半角公式中，根号前的正负号，由角 的象限确定.

2
所在
(4)万能公式
α α α 2sin cos 2tan 2 2 2 α α sinα ＝2sin cos ＝ ＝ . α α α 2 2 sin2 ＋cos2 1＋tan2 2 2 2 －sin 1－tan 2 2 2 2α 2α cosα ＝cos －sin ＝ ＝ . α α α 2 2 sin2 ＋cos2 1＋tan2 2 2 2 cos
基本公式： 1、两角和与差的三角函数公式：
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关 系，分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角 用已知角表示．
变式练习：
sin( 2 ) sin 例2：求证 2 cos( ) sin sin
证明：左边
sin( 2 ) 2 cos( ) sin sin sin[( ) ] 2 cos( ) sin sin sin( ) cos cos( ) sin sin sin sin 右边 sin( 2 ) sin 2 cos( ) sin sin
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 3 即 3 sinA cos A 1 , 2( sin A 1 cos A) 1 , 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3
[借题发挥]证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目 标的有目的化简. 左右归一或变更结论，常用定义法、化 弦法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法．
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量 m (1 , 3 ) , n (cos A , sinA) , m n 1 . 1 sin 2 B （ 2 ） 若 3 , 求 tanC . （ 1 ） 求角 A； 2 2 cos B sin B 解：(1) m n 1 ,
三角恒等变换复习
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”： （1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）. （2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明. （3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面 思考 （4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、 逆用、变用.
tanC tan[ ( A B)] tan(A B)
2 3 8 5 3 . tan A tan B 11 1 tan A tan B 1 2 3
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
（ 2 ）由
1 sin2B 3 , cos2 B sin2 B
即 cos B sinB 3 , cos B sinB
(cosB si nB )2 得 3 , 2 2 cos B si n B
cos B 0 ,
tan B 2 ,
1 tan B 3 , 1 tan B
sin( )
tan tan . tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) . 1 tan tan
2、辅助角公式
a sin x b cos x a b sin x cos x ) 2 2 ( a b a 2 b2 a 2 b2 2 2 (cos sinx sin cos x ) a b
1 1 1 1 3 (5)化简 cos 2 （ 2 ) 2 2 2 2 2
3 1 tan （6）已知sin( ) , sin( ) , 则 5 5 tan
a a b
2 2
确定.
3. 二倍角公式:
sin 2 2 sin cos
变形
(sin cos ) 1 sin 2
2
2
1 2sin
2
变形
1 cos 2 sin 2
变形
2 tan tan2 2 1 tan
（ 降幂公式 ）
4. 几个三角恒等式：（不要求记忆，但要会推导） (1)积化和差公式
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
解： ，为锐角 0
1 13 又 cos , cos( ) 7 14 4 3 3 3 sin , sin( ) , 7 14

3 2
1
1 4
(3)1 2 sin 22.5
2

(4) sin 15 cos15


2 2
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（公式变，逆用）
1
典型例题：
例1：已知 ，为锐角， cos
求 cos 的值
பைடு நூலகம்
1 13 , cos( ) 7 14
a 2 b2 sin(x ) . b 其中 由 sin ， cos 2 2
a b
说明： 利用辅助角公式可以将形如 y =a sin +b cos 的函 数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
这个公式 有什么作 用？