人教版高中数学必修四《三角恒等变换-复习小结》
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第三章 三角恒等变换》归纳整合
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专题一
给值求值
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关 键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法 是： (1)将待求式用已知三角函数表示． (2)将已知条件转化从而推出可用的结论． 其中“凑角法”是解决 此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间 角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或 两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
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【例 1】 已知 的值． 解
π π 1 sin4＋αsin4－α＝6，且
π sin 4α α∈2，π，求 1＋cos2α
π π 1 ∵sin4＋αsin4－α＝6，
1 x＝3.
1 1－tan2x 1－9 4 tan x tan x ∴tan 2x＝ 2tan x ＝ 2 ＝ 2 ＝9. 1－tan2x 答案 4 9
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5．(2011· 全国高考)已知 ________.
π α∈2，π，sin
5 α＝ 5 ，则 tan 2α＝
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法二
22＋1＋cos 4x 22＋2cos22x 21＋cos22x 右边＝ ＝ 8sin2xcos2x ＝ 4sin2xcos2x ＝ 2sin22x
sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2 2sin4x＋cos4x 1 2 ＝ ＝ tan x ＋ 2 2sin2xcos2x 2sin2xcos2x tan x ＝左边． 原式得证．
高一数学人教A版必修四课件第三章三角恒等变换章末小结与测评
[典例 2] 已知 tan α＝－13，cos β＝ 55，α，β∈(0，π)． (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求函数 f(x)＝ 2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
[典例 4] 在△ABC 中，sin A＝sin Btan A，且 B 为钝角． (1)证明：B－A＝π2； (2)求 sin A＋sin C 的取值范围．
解：(1)由 sin A＝sin Btan A，得ssiinn AB＝csions AA，所以 sin B ＝cos A，即 sin B＝sinπ2＋A.又 B 为钝角，因此π2＋A∈π2，π， 故 B＝π2＋A，即 B－A＝π2.
56πcos
2α＋sin
56πsin
2α＝－
3 2
×35＋12×－45＝－4＋130
3 .
三角恒等变换的应用
三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给 出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等 变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三 角函数，讨论其图象和性质．
(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、 对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变 形为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 等形式，让角 和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质 和相关原理进行求解．
(1)不附加条件的恒等式证明 三角恒等式的证明就是通过三角恒等变换，消除三角等 式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一．证明的一般 思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路， 找一个桥梁过渡．
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_2
3.2 简单的三角恒等变换教学目标1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用． 教学重点、难点教学重点：1．半角公式、积化和差、和差化积公式. 2．三角变换的内容、思路和方法.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换. 教法与学法教学方法：启发诱导，讲练结合. 学习方法：自主探究，合作交流. 教学过程一、创设情境，导入新课我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．二、新课讲授 提出问题：①与有什么关系？ ②如何建立cos 与sin 2之间的关系？ 是的二倍角．在倍角公式cos2=1-2sin 2中，以代替2，以代替，即得cos =1-2sin 2，所以sin 2=． ①在倍角公式cos2=2cos 2-1中，以代替2，以代替，即得cos =2cos 2-1，所以cos 2=． ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得tan 2=． ③α2αα2aα2ααααα2ααα2α2α2cos 1α-αααα2ααα2α2α2cos 1α+2αααcos 1cos 1+-三、拓展创新，应用提高 例1 试以表示．解：我们可以通过二倍角和来做此题．因为，可以得到； 因为，可以得到． 又因为．例2．求证： （１）； （２）．证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得； 即； （２）由（１）得； ① 设，那么．把的值代入①式中得．cos α222sin,cos ,tan 222ααα2cos 2cos12αα=-2cos 12sin 2αα=-2cos 12sin2αα=-21cos sin22αα-=2cos 2cos12αα=-21cos cos 22αα+=222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=()sin αβ+()sin αβ-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=,αβθαβϕ+=-=,22θϕθϕαβ+-==,αβsin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=例３ 求函数的周期，最大值和最小值． 解：这种形式我们在前面见过，， 所以，所求的周期，最大值为２，最小值为． 例4 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABC D 是扇形的内接矩形．记∠COP =α，求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S =AB ·BC =(cos αsin α)sin α=sin αcos α-sin 2α． 求这种y =a sin 2x +b sin x cos x +c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx +φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值． 解：在Rt △OBC 中，BC =cos α，BC =sin α，在Rt △OA D 中，=tan60°=， 所以OA =D A =BC =sin α． 所以AB =OB -OA =cos αsin α． 设矩形ABC D 的面积为S ，则sin y x x =+sin y x x =+1sin 2sin 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2πT ω==2-3π33-33-OADA333333333-S =AB ·BC =(cos αsin α)sin α=sin αcos αsin 2α =sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)- =sin(2α+)-． 由于0<α<，所以当2α+=，即α=时，S 最大=-=． 因此，当α=时，矩形ABC D 的面积最大，最大面积为．练习1. 已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈２０，πx 时，求f(x)的最大值和 最小值.四、小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用、换元法、方程思想、等价转化、三角恒等变形的基本手段．五．课后作业 P 142 1、2、3、433-33-21636331232163316π633π6π2π6π3163636π63。
三角恒等变换
【人教版】高中数学必修4知识点总结：第三章三角恒等变换【编者按】变换是数学的重要工具，在初中，接触过大量的“只变其形不变其质”的代数变换，本章要学习的三角恒等变换也是“只变其形不变其质”的，可以揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，是解决数学问题的重要手段。
三角恒等变换的学习，注重考察学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
教材要求：用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，能运用这些公式进行简单的恒等变换。
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式；；其中两角和与差的正切公式的变形：2．二倍角公式升幂公式降幂公式附注：在学习上述公式时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围3．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
1）降幂公式2）辅助角公式4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”，即利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
三角恒等变换专题总结复习
三角恒等变换【知识分析】1、本章网络结构2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。
（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。
（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。
（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。
②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。
③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。
（6）合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。
，其中．（7）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。
（8）三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）① “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·,= (α－)－(－β)等.②“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），③“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。
2019-2020年高中数学必修4《三角恒等变换小结与复习》导学案
高一数学《必修4》编号75 编制：刘菊芳 审核：林伟湛 高一( )班 第___组 姓名时间： 周 行政签字2019-2020年高中数学必修4《三角恒等变换小结与复习》导学案【复习要点】 1.熟记以下公式：往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变换如：①是 的二倍；是 的二倍；是 的二倍；是 的二倍. ②； ③；④2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余．．弦是基础．．．．，通常切化弦，变异名为同名．．．．．．．．．．. （3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：.（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有： ， . （5）化一公式：sin cos ))a b αααααϕ+=+=+（其中= ；= .）运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手：.【课内探究】例1. 已知3123cos(),sin(),(,),(0,)45413444πππππαβαβ-=+=∈∈，求的值.例2. 已知函数21()sin )cos()2f x x x x π=+--+.（1）求函数最小正周期； （2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量的集合；（3）求函数的单调增区间.【课后作业】1. 的值为（ ）A. B. C. D. 2. 可化为（ ）A. B. C. D.3. 若，且，则的值是（ ）A. B. C. D.4. 函数的周期为T ，最大值为A ，则（ ） A. B. C. D.5. ；6. 已知，则_____________.7. 已知都是锐角，，求的值.8. 设函数()sin cos )cos ()f x x x x x x R π=+∈ .（1）求 的最小正周期；（2）若函数的图象向右平移 个单位,再向上平移个单位后得到函数的图象，求在 上的最大值.9.已知函数. （1）当时，求的单调递增区间；（2）当且时，的值域是求的值.。
高中数学第三章三角恒等变换复习小结1教案(新人教A版必修4)
三角恒等变换复习小结
（一）教学目标：
知识目标：初步了解三角恒等变换公式的框图；熟悉公式之间的内在联系，并能用主要公式求三角函数值及三角函数的性质；
能力目标：培养学生观察、分析、综合等能力；通过构造角，转化条件解决较为简单的三角函数综合题；
情感目标：通过复习，提高学生对三角变换的应用能力；从而提高学生应用数学知识解决问题的意识；
（二）教学重点、难点：
强化公式的记忆，并利用公式解决三角函数综合题；
（三）教学方法：
利用较为常见的变换加强对公式的记忆，引导学生并通过学生的交流来达到用三角恒等变换解决三角函数问题的基本目标；从而对全章有个整体认识。
（四）教学过程：
x，学生：较好学生说出解题)
,x
cos
思路，写出较为规范的解。
人教B版高中数学必修四《第三章 三角恒等变换 本章小结》_4
小结
巩固知识检查效果
培养归纳与概括能力
巩固知识完善思维结构
突出思维敏捷性和方法的灵活性
巩固知识检查效果
学生总结
教
学
过
程
例已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图像的对称中心
(2)求函数f(x)的单调递增区间
（教师启发诱导，详细分析讲解，学生体会如何变角变名，化异求同）
练习1求y= 的值域。
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
2.
求函数f(x)的的单调递增区间
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
•先利用二倍角、升降幂公式化简
•再用辅助角公式将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式
•若无法转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，则考虑转化为某一三角函数的二次函数形式，再用配方法求最值
板书设计：
三角恒等变换高考热点题型总结
例
练习1练习3
单位：朝阳市二高中
课题：三角恒等变换高考热点题型总结
教学内容
设计意图
教
案
分
析
三角恒等变换是高中数学的重要内容，是高考必考内容之一。
近几年高考对三角恒等变换的考察要求有所降低，主要考察的高考热点题型是利用三角的和差倍半公式研究函数y=Asin( )的图像和性质。
总结求解过程要遵循“三看”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则：
1.看角，通过角之间的差别和联系，对角进行合理的拆分，从而正确的使用公式；
3.
1）求f(x)的对称轴方程
2）当 ,求x的值
（学生讨论，这类题型的解法步骤如何）
学生总结步骤
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[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
1 tan B 3 , 1 tan B
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 3 sin A 1 cos A) 1 , 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（
1 4
公式变，逆用）
2 2
质疑再探
例1：已知 ，为锐角， cos 1 13 , cos( ) 求 cos 的值 7 14
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
设疑自探 5.三角变换的方针是什么？ 遵循原则
寻求差异
注意常识
消除差异
解疑合探
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70
3 2
1
(3)1 2 sin 22.5
2
(4) sin 15 cos15
设疑自探
4．三角变换常识有哪些？
(1)sinα，cosα→凑倍角公式． (2)1± cosα→升幂公式． π α α2 (3)1± sinα 化为 1± cos(2± α)，再升幂或化为(sin2± cos2) . (4)asinα＋bcosα→辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· sin(α＋ b φ)，其中 tanφ＝a或 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· cos(α－φ)，其中 tanφ a ＝b.
跟踪训练
2 2
1.已知 y 3cos x 2 3 sin x cos x sin x，x R，求： （）当 1 x [ ， ] 时， 函数的最大值、最小值； 4 4 （2）函数的周期；（3）函数的单调减区间；
23 cos( ) cos sin( ) sin 98
c o s c o s[( ) ]
[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关 系，分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角 用已知角表示．
跟踪训练
解： ，为锐角 0
1 13 又 cos , cos( ) 7 14 4 3 3 3 sin , sin( ) , 7 14
③ 2 ( )
④ 2 2 ⑤ ( ) ( ) 4 4 ⑵ 注意对角范围的要求。
5.三角变换的方针是什么？
设疑自探 1.三角变换知识点有哪些？ （1）公式三系统 （2）变换三问题
（3）方法三统一
（4）算法三重境
设疑自探 1.三角变换的知识点4个“三”
（1）公式三系统： 同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍角）
（2）变换三问题 求值、化简、证明.
（3）方法三统一 统一角度、统一名称、统一结构
质疑再探
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3 ) , n (cos A , sinA) , m n 1 . （ 1 ） 求角 A； （ 2 ） 若 12 sin2B 3 , 求 tanC . 2 cos B sin B 解： (1) m n 1 ,
第三章
三角恒等变换
三角恒等变换---复习小结
学习目标
1.归纳总结三角变换的理论形成知识体系。 2.熟练掌握三角变换的原则、常识、方针。
3.灵活运用三角变换公式解决求值、化简、 证明三大问题。
设疑自探 1.三角变换知识点有哪些？ 2.三角变换公式如何推导？ 3.三角变换的原则是什么？
4.三角变换的常识有哪些？
（4）算法三重境 顺用、逆用、变用.
设疑自探 2.三角变换公式如何推导？
S
几何法，三 角函数线
S 2
T T
C
S
C
C 2
C S
2 2
T2
T
2
设疑自探 3.三角变换的原则是什么？ （1）切化弦 （2）异名化同名 （3）异角化同角 （4）分式通分 （5）无理化有理 （6）高次降幂 （7）“1”的变换 （8）和积互化
（ 2 ）由
1 sin2B 3 , cos2 B sin2 B
(cosB si nB )2 cos B sinB 3 , 得 3 , 即 cos B sinB cos2 B si n2 B
cos B 0 , tan B 2 , tanC tan[ ( A B ) sin 例2：求证 2 cos( ) sin sin
证明：左边
sin( 2 ) 2 cos( ) sin sin sin[( ) ] 2 cos( ) sin sin sin( ) cos cos( ) sin sin sin sin 右边 sin( 2 ) sin 2 cos( ) sin sin [借题发挥]证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目 标的有目的化简. 左右归一或变更结论，常用定义法、化 弦法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法．