人教版高中数学必修四《三角恒等变换-复习小结》

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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《第三章三角恒等变换》归纳整合

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解读高考
专题一
给值求值
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是： (1)将待求式用已知三角函数表示． (2)将已知条件转化从而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
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【例 1】已知的值．解
π π 1 sin4＋αsin4－α＝6，且
π sin 4α α∈2，π，求 1＋cos2α
π π 1 ∵sin4＋αsin4－α＝6，
1 x＝3.
1 1－tan2x 1－9 4 tan x tan x ∴tan 2x＝ 2tan x ＝ 2 ＝ 2 ＝9. 1－tan2x 答案 4 9
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5．(2011· 全国高考)已知 ________.
π α∈2，π，sin
5 α＝ 5 ，则 tan 2α＝
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法二
22＋1＋cos 4x 22＋2cos22x 21＋cos22x 右边＝＝ 8sin2xcos2x ＝ 4sin2xcos2x ＝ 2sin22x
sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x2 2sin4x＋cos4x 1 2 ＝＝ tan x ＋ 2 2sin2xcos2x 2sin2xcos2x tan x ＝左边．原式得证．

高一数学人教A版必修四课件第三章三角恒等变换章末小结与测评

(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
[典例 2] 已知 tan α＝－13，cos β＝ 55，α，β∈(0，π)． (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求函数 f(x)＝ 2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
[典例 4] 在△ABC 中，sin A＝sin Btan A，且 B 为钝角． (1)证明：B－A＝π2； (2)求 sin A＋sin C 的取值范围．
解：(1)由 sin A＝sin Btan A，得ssiinn AB＝csions AA，所以 sin B ＝cos A，即 sin B＝sinπ2＋A.又 B 为钝角，因此π2＋A∈π2，π，故 B＝π2＋A，即 B－A＝π2.
56πcos
2α＋sin
56πsin
2α＝－
3 2
×35＋12×－45＝－4＋130
3 .
三角恒等变换的应用
三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解．
(1)不附加条件的恒等式证明三角恒等式的证明就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．

人教B版高中数学必修四《第三章三角恒等变换本章小结》_2

3.2 简单的三角恒等变换教学目标1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用．教学重点、难点教学重点：1．半角公式、积化和差、和差化积公式. 2．三角变换的内容、思路和方法.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换. 教法与学法教学方法：启发诱导，讲练结合. 学习方法：自主探究，合作交流. 教学过程一、创设情境，导入新课我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．二、新课讲授提出问题：①与有什么关系？ ②如何建立cos 与sin 2之间的关系？是的二倍角．在倍角公式cos2=1-2sin 2中，以代替2，以代替，即得cos =1-2sin 2，所以sin 2=． ①在倍角公式cos2=2cos 2-1中，以代替2，以代替，即得cos =2cos 2-1，所以cos 2=． ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得tan 2=． ③α2αα2aα2ααααα2ααα2α2α2cos 1α-αααα2ααα2α2α2cos 1α+2αααcos 1cos 1+-三、拓展创新，应用提高例1 试以表示．解：我们可以通过二倍角和来做此题．因为，可以得到；因为，可以得到．又因为．例2．求证：（１）；（２）．证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得；即；（２）由（１）得； ① 设，那么．把的值代入①式中得．cos α222sin,cos ,tan 222ααα2cos 2cos12αα=-2cos 12sin 2αα=-2cos 12sin2αα=-21cos sin22αα-=2cos 2cos12αα=-21cos cos 22αα+=222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=()sin αβ+()sin αβ-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=,αβθαβϕ+=-=,22θϕθϕαβ+-==,αβsin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=例３求函数的周期，最大值和最小值．解：这种形式我们在前面见过，，所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．例4 如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABC D 是扇形的内接矩形．记∠COP =α，求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S =AB ·BC =(cos αsin α)sin α=sin αcos α-sin 2α．求这种y =a sin 2x +b sin x cos x +c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx +φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABC D 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt △OBC 中，BC =cos α，BC =sin α，在Rt △OA D 中，=tan60°=，所以OA =D A =BC =sin α．所以AB =OB -OA =cos αsin α．设矩形ABC D 的面积为S ，则sin y x x =+sin y x x =+1sin 2sin 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2πT ω==2-3π33-33-OADA333333333-S =AB ·BC =(cos αsin α)sin α=sin αcos αsin 2α =sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)- =sin(2α+)-．由于0<α<，所以当2α+=，即α=时，S 最大=-=．因此，当α=时，矩形ABC D 的面积最大，最大面积为．练习1. 已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈２０，πx 时，求f(x)的最大值和最小值.四、小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用、换元法、方程思想、等价转化、三角恒等变形的基本手段．五．课后作业 P 142 1、2、3、433-33-21636331232163316π633π6π2π6π3163636π63。

三角恒等变换

【人教版】高中数学必修4知识点总结：第三章三角恒等变换【编者按】变换是数学的重要工具，在初中，接触过大量的“只变其形不变其质”的代数变换，本章要学习的三角恒等变换也是“只变其形不变其质”的，可以揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，是解决数学问题的重要手段。

三角恒等变换的学习，注重考察学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。

教材要求：用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，能运用这些公式进行简单的恒等变换。

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式；；其中两角和与差的正切公式的变形：2．二倍角公式升幂公式降幂公式附注：在学习上述公式时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围3．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

1）降幂公式2）辅助角公式4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”，即利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

三角恒等变换专题总结复习

三角恒等变换【知识分析】1、本章网络结构2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。

，其中．（7）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

（8）三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）① “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·,= (α－)－(－β)等.②“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），③“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。

2019-2020年高中数学必修4《三角恒等变换小结与复习》导学案

高一数学《必修4》编号75 编制：刘菊芳审核：林伟湛高一( )班第___组姓名时间：周行政签字2019-2020年高中数学必修4《三角恒等变换小结与复习》导学案【复习要点】 1.熟记以下公式：往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变换如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍. ②； ③；④2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余．．弦是基础．．．．，通常切化弦，变异名为同名．．．．．．．．．．. （3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：.（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用降幂公式有：， . （5）化一公式：sin cos ))a b αααααϕ+=+=+（其中= ；= .）运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手：.【课内探究】例1. 已知3123cos(),sin(),(,),(0,)45413444πππππαβαβ-=+=∈∈，求的值.例2. 已知函数21()sin )cos()2f x x x x π=+--+.（1）求函数最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量的集合；（3）求函数的单调增区间.【课后作业】1. 的值为（）A. B. C. D. 2. 可化为（）A. B. C. D.3. 若，且，则的值是（）A. B. C. D.4. 函数的周期为T ，最大值为A ，则（） A. B. C. D.5. ；6. 已知，则_____________.7. 已知都是锐角，，求的值.8. 设函数()sin cos )cos ()f x x x x x x R π=+∈ .（1）求的最小正周期；（2）若函数的图象向右平移个单位,再向上平移个单位后得到函数的图象，求在上的最大值.9.已知函数. （1）当时，求的单调递增区间；（2）当且时，的值域是求的值.。

高中数学第三章三角恒等变换复习小结1教案(新人教A版必修4)

三角恒等变换复习小结
（一）教学目标：
知识目标：初步了解三角恒等变换公式的框图；熟悉公式之间的内在联系，并能用主要公式求三角函数值及三角函数的性质；
能力目标：培养学生观察、分析、综合等能力；通过构造角，转化条件解决较为简单的三角函数综合题；
情感目标：通过复习，提高学生对三角变换的应用能力；从而提高学生应用数学知识解决问题的意识；
（二）教学重点、难点：
强化公式的记忆，并利用公式解决三角函数综合题；
（三）教学方法：
利用较为常见的变换加强对公式的记忆，引导学生并通过学生的交流来达到用三角恒等变换解决三角函数问题的基本目标；从而对全章有个整体认识。

（四）教学过程：
x，学生：较好学生说出解题)
,x
cos
思路，写出较为规范的解。

人教B版高中数学必修四《第三章三角恒等变换本章小结》_4

练习2练习4
小结
巩固知识检查效果
培养归纳与概括能力
巩固知识完善思维结构
突出思维敏捷性和方法的灵活性
巩固知识检查效果
学生总结
教
学
过
程
例已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图像的对称中心
(2)求函数f(x)的单调递增区间
（教师启发诱导，详细分析讲解，学生体会如何变角变名，化异求同）
练习1求y= 的值域。
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
2.
求函数f(x)的的单调递增区间
(教师提出问题、学生自主探究、展示交流)
•先利用二倍角、升降幂公式化简
•再用辅助角公式将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式
•若无法转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，则考虑转化为某一三角函数的二次函数形式，再用配方法求最值
板书设计：
三角恒等变换高考热点题型总结
例
练习1练习3
单位：朝阳市二高中
课题：三角恒等变换高考热点题型总结
教学内容
设计意图
教
案
分
析
三角恒等变换是高中数学的重要内容，是高考必考内容之一。
近几年高考对三角恒等变换的考察要求有所降低，主要考察的高考热点题型是利用三角的和差倍半公式研究函数y=Asin( )的图像和性质。
总结求解过程要遵循“三看”ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则：
1.看角，通过角之间的差别和联系，对角进行合理的拆分，从而正确的使用公式；
3.
1）求f(x)的对称轴方程
2）当 ,求x的值
（学生讨论，这类题型的解法步骤如何）
学生总结步骤

人教B版高中数学必修四《第三章三角恒等变换本章小结》_6

三角恒等变换章末复习教学设计一、教材分析3.1 和角公式3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差和和差化积2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。

代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。

在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。

在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

通过本章学习，学生的推论能力和运算能力将得到进一步提高。

三角恒等变换在数学积应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推论能力和计算能力。

本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质。

3、本单元教学内容总体教学目标（1）和角公式经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用．能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。

能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

（2）倍角公式和半角公式经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式积公式及公式2C 的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明。

了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力。

（3）三角函数的积化和差和和差化积经历运用两角和、两角差的三角函数公式推导出三角函数的积化和差和和差化积的过程，体会“解方程组”和“换元”的数学思想，掌握三角函数的积化和差和和差化积公式，能正确运用公式进行有关的计算和证明。

4、本单元教学内容重点和难点分析（1）和角公式重点：两角和与差的余弦公式求值和证明.难点：两角和的余弦公式的推导.（2）倍角公式和半角公式重点：1.二倍角的正弦、.余弦、正切公式及公式2C 的两种变形；2.半角的正弦、.余弦、正切公式。

高中数学第三章三角恒等变换章末归纳总结课件新人教A版必修4

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
三角恒等变换第三章
章末归纳总结第三章
1 知识结构 2 专题突破
知识结构
专题突破
Байду номын сангаас
专题一三角函数式的化简 1．三角函数式化简的基本原则： (1)“切”化“弦”． (2)异名化同名 (3)异角化同角． (4)高次降幂． (5)分式通分． (6)无理化有理． (7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．
[解析]
化简：2cos21θ＋＋3stainn2θθ－1－cos2θ3－＋45stainn2θθ－4
原式＝cos2θ－31s＋in23θt＋an2θsinθcosθ＋3cos2θ＋53s＋in52θta＋nθ8sinθcosθ
cosθ＋3sinθ
3cosθ＋5sinθ
＝cosθ＋3sincθosθcosθ－sinθ＋3cosθ＋5sicnoθsθcosθ＋sinθ
已知 tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－1114，α、β 均为锐角，求 cosβ 的值．
[探究] 利用 β＝(α＋β)－α 进行角的代换，则 cosβ＝cos[(α＋ β)－α]，利用公式展开，结合已知条件求解．
[解析] ∵α、 β 均为锐角，∴0<α＋β<π. 又 cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143.
又 tanα＝4 3， ∴sin2α＝sin2αsi＋n2cαos2α＝1＋tanta2nα2α＝4489.
∴sinα＝473，从而 cosα＝ 1－sin2α＝17，故 cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.

高中数学第三章三角恒等变换本章小结新人教A版必修4

【金版学案】2015-2016学年高中数学第三章三角恒等变换本章小结新人教A 版必修4►专题归纳对于三角函数求值主要有三种类型，即“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”．三种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．►例题分析例1 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β ＝－1213，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，－π4，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4得π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513.由⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝α＋β，得cos ()α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. 点评：三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键．所谓变换是指函数名称类型的变换及角的变换，两种变换相辅相成，互相利用．例2 已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．分析：本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，可先将条件式3sin β＝sin(2α＋β)展开后求α＋β的正切值．解析：∵3sin β＝sin(2α＋β)，即3sin ()α＋β－α＝sin(α＋β＋α)，整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. 即tan(α＋β)＝2tan α.又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝12，tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.点评：对于给值求角的问题，角的范围分析很重要，是防止出现增解的重要手段． ►跟踪训练1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是(C ) A ．－235 B.235C ．－45 D.45解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3.∴32cos α＋32sin α＝453， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.故选C.►专题归纳三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变换，使之变为较简单的形式．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切割化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方去根号．三角函数式的化简是三角变换中非常重要的一种题型，是高考命题的热点，它常与三角函数的图象和性质联系出题，题型灵活多变，因而三角函数的化简也是需要掌握的基本知识和基本技能．►例题分析例3 化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.分析：本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类．或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数．解析：方法一原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.方法二原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·()sin α＋cos α2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. 点评：(1)切弦共存时，两种方法均采用了切化弦这种技巧．(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，以上三个公式熟练地交替使用，可使问题得以顺利解决．(3)一公式结构的三角函数式化简一般需要分子、分母出现可约式，再进行约分．例4 化简(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°.分析：本题中含有正切、正弦、余弦，一般先切化弦，还要注意到特殊值，联想到表示特殊角的三角函数．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－3·cos 10°sin 50°＝sin 10°－3cos 10°sin 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 10°－32cos 10°sin 50°＝2sin （10°－60°）sin 50°＝－2sin 50°sin 50°＝－2.►跟踪训练2.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝(B ) A ．tan α B ．tan 2α C ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2α cos 2α＝sin 2αcos 2α＝tan 2α.故选B.►专题归纳三角函数等式的证明，包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与欲证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法，消元法等方法进行证明．►例题分析例5 求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x2.分析：本题主要考查二倍角公式及变形应用，因等式右端为tan x2，故可将在左边的角4x ，2x ，x 化为x2形式．证明：∵左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝2sin 2x ·cos 22x ·cos x2cos 22x ·2cos 2x ·2cos 2x 2＝sin 2x2cos x ·2cos2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sinx2cosx 2＝tan x 2＝右边．∴等式成立．点评：要熟练掌握下列二倍角公式的变形． sin α＝sin 2α2cos α，cos α＝sin 2α2sin α，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α， cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.例6 已知tan(α＋β)＝2tan β，求证：3sin α＝ sin(α＋2β)．分析：观察条件与结论间的差异可知：(1)函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同．(2)角的差异是α＋β，β；α，α＋2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：(α＋β)－β＝α；(α＋β)＋β＝α＋2β，由此可化异为同．证明：由已知tan(α＋β)＝2tan β可得 sin （α＋β）cos （α＋β）＝2sin βcos β，∴sin(α＋β)·cos β＝2cos(α＋β)·sin β. 而sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(α＋β)·cos β＋cos(α＋β)·sin β ＝2cos(α＋β)·sin β＋cos(α＋β)·sin β ＝3cos(α＋β)·sin β，又sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cos β－cos(α＋β)·sin β ＝2cos(α＋β)·sin β－cos(α＋β)·sin β ＝cos(α＋β)·sin β，故sin(α＋2β)＝3sin α.点评：三角式的证明要注意观察函数的特点，角的特点，结构特点． ►跟踪训练3．求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x . 证明：证法一右边＝1－sin xcos x 1＋sin x cos x ＝cos x －sin xcos x ＋sin x＝（cos x －sin x ）2（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）＝cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－2sin x cos xcos 2x －sin 2x＝左边．∴原命题成立．证法二左边＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos xcos 2－sin 2x＝（cos x －sin x ）2cos 2x －sin 2x ＝cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1－tan x1＋tan x＝右边，∴原命题成立．►例题分析例7 (1)①证明两角和的余弦公式C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知△ABC 的面积S ＝12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .解析：(1)①如右图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1，0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))， P 4(cos(－β)，sin(－β))，由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋ [sin(－β)－sin α]2，展示并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ②由①易得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（α＋β）＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋（－β）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ，则S ＝12bc sin A ＝12，AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010. 由题意，cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. 故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010. 例8 已知a ＝(3sin ωx ，1)，b ＝(cos ωx ，0)，其中ω>0，又函数f (x )＝b ·(a －b )＋k 是以π2为最小正周期的周期函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的最小值为－2.(1)求f (x )的解析式；(2)写出函数f (x )的单调递增区间．分析：本题主要考查平面向量的坐标运算、二倍角公式及三角函数的性质，先化简f (x )，然后求解．解析：(1)a －b ＝(3sin ωx ，1)－(cos ωx ，0) ＝(3sin ωx －cos ωx ，1)，∴f (x )＝(cos ωx ，0)·(3sin ωx －cos ωx ，1)＋k ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12＋k .∴T ＝2π2ω＝π2，∴ω＝2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则4x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴f (x )的最小值为f (0)＝－12－12＋k ＝k －1＝－2.∴k ＝－1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6－32. (2)当4x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z)时，函数f (x )为增函数． ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋π6(k ∈Z)．点评：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最值时，若x ∉R ，要考虑ωx ＋φ所在的区间及单调性．►跟踪训练4．已知向量OA →＝(cos α，sin α)(α∈[－π，0])，向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n )．(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)．解析：(1)∵OA →＝(cos α，sin α)， ∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5)． ∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0，即2cos α＋(sin α＋5)＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②联立方程解得，cos α＝－255，sin α＝－55.∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55.(2)∵cos(β－π)＝210，即cos β＝－210，0<β<π， ∴sin β＝7210，∴π2<β<π.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋45×7210＝25250＝22. 5．已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tan A 的值；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋tan A sin x (x ∈R)的值域．解析：(1)∵m ·n ＝0，∴sin A －2cos A ＝0，即sin A ＝2cos A ．∴tan A ＝sin A cos A ＝2cos A cos A ＝2.(2)f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32， ∵sin x ∈[－1，1]，∴当sin x ＝12时，取得最大值32；当sin x ＝－1时，取得最小值－3. ∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.。

高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习及答案

半角的正弦、余弦、正切公式
α 1 − cos α = 2 2 α 1 + cos α = cos2 2 2 α 1 − cos α = tan2 2 1 + cos α α sin α 1 − cos α tan = = 2 1 + cos α sin α sin 2 12 3 例题：已知，α ∈ (π, π) ，求sin 2α ，cos 2α，tan 2α的值． cos α = − 13 2 12 3 解：因为cos α = − ，α ∈ (π, π) ．所以 13 2 − − − − − − − − − − 5 12 2 − − − − − − − − ． sin α = −√1 − cos2 α = −√1 − (− ) =− 13 13 5 12 120
)
C．
1 9
D．
√5 3
答案： B
因为 sin α =
2 1 ，所以 cos (π − 2α) = − cos 2α = − (1 − 2sin 2 α) = − ． 3 9 )
B．−
3. 化简 A．
sin 2 35∘ − sin 20∘
1 2 = (
答案： B
1 2
1 2
C．−1
D．1
4. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，延长 BA 至 E，使 AE = 1 ，连接 EC , ED，则 sin ∠CED =
（1）已知 sin α =
= (− cos 83∘ )(− cos 23∘ ) + sin 83∘ sin 23∘ = cos(83∘ − 23∘ ) 1 = cos 60∘ = . 2
sin(
π π π + α) = sin cos α + cos sin α 3 3 3 4 1 3 √3 = × + × 2 5 2 5 4√3 + 3 = 10 π π π − α) = sin cos α − cos cos α 3 3 3 4 1 3 √3 = × − × 2 5 2 5 3 − 4√3 = 10

高中数学必修4知识点总结第三章三角恒等变换

高中数学必修4知识点总结第三章三角恒等变换高中数学必修4知识点总结：第三章三角恒等变换高中数学必修4知识点总结第三章梯形恒等变换24、两角和与差的指数函数、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；1tantantantan（tantantan1tantan）．1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2⑵cos2cos2sin22co s2112sin2,1cos2sin2升幂公式1cos2cos222cos211cos22，sin．降幂公式cos222⑶tan22tan．21tan万能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan222:26、半角公式α1cosαα1cosαcos;sin2222α1cosαsin1cosααtan21cosα1cos αsinα（后两个不用判断符号，更加好用）x)B27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的yAsin(形式。

sincos22sin，其中tan．28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角近似能力，要学会创设条件，灵活运用三角近似值，掌握运算，化简的方法和技能．常用的为人所知数论思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往少许出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是的二倍；是的二倍；22430o；cos；②1545306045；问：sin12122③()；④42(4)；⑤2()()(4)(4)；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。