数值分析第一章PPT课件

= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
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1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中 传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不 稳定的.
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1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%， 这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
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1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x
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1.2 数值计算的误差
1. 来源与分类 /* Source & Classification */
➢ 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */
➢ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ )
工程上常记为 x x* ε*，例如： 1ex2dx0.7430.006 0
➢ 相对误差 /* relative error */
e
* r
e* x
x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为
ε
* r
ε* | x* |
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1.2 数值计算的误差
➢有效数字 /* significant digits */ 用科学计数法，记 x*0.a 1a2（ 其an中1m 0）。若a1 0 |xx*|0.（5即1m 0的n 截取a按n 四舍五入规则），则称 x为* 有n 位有效数字，精确到 10。mn
对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病 态问题.
例如计算函数值 f ( x) 时，若 x有扰动 xxx* ，其 相对误差为 x ，函数值 f (x*)的相对误差为
x f (x) f (x*) f (x)
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1.3 避免误差危害的若干原则
第一章 数值分析与 科学计算引论
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1.1 数值分析对象、作用与特点
许多科学问题的解决都离不开科学计算。本 门课程将着重绍进行科学计算所必须掌握的一些 最基本、最常用的算法,并分析其误差。
数值分析包括：函数的数值逼近；数值积分 与数值微分；非线性方程的数值解法；数值线性 代数；微分方程的数值解法。
相对误差比值
f(x)f (x f)(x*/) x xxff(x (x ))C p,
（3.3）
C
称为计算函数值问题的条件数.
p
自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 C
很大，
p
将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态
问题.
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1.3 避免误差危害的若干原则
例如， f (x) xn ，则有
例 3 .1415 89 9 2 7 6 9 ; 5 3 * 3 2 3 .1 5415
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明：π*0.31411501 ,
and |π*π| 0.5103 0.51014
*有4位有效数字，精确到小数点后第3 位。
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1.2 数值计算的误差
➢有效数字与相对误差的关系
➢ 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
数值分析讨论后两个误差。
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1.2 数值计算的误差
2. 误差与有效数字
➢ 绝对误差 /* absolute error */
e* x*x 其中x 为精确值，x* 为x 的近似值。
| e * | 的上限记为 ε * ，称为绝对误差限 /* accuracy */，
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1.2 数值计算的误差
例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 < 0.1% ?
解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则 |e r * (y )|x * y ( y x ( * x *)|)e r* (x )| |e lr* n x (x * )| 估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系
C
越大
p
病态越严重.
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1.3 避免误差危害的若干原则
1. 避免相近二数相减 2. 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出 3. 避免大数吃小数 4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累 5. 选用稳定的算法
Hale Waihona Puke 有效数字 相对误差限已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
εr*
ε* x* 0.
0.510mn a1a2an10m
2100.an1
1 10n1 2a1
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1.2 数值计算的误差
相对误差限 有效数字 已则知| xx*x的*|相对εr误*差| x限*|可2写1(a为01n 11εr)*0.2a(1aa112 1)110m0n1
21(a01n11)(a11)10m1 0.510mn
可见 x* 至少有 n 位有效数字。
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1.2 数值计算的误差
例：为使 π的* 相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？
解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr*
1 2a1
10n1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足