摩擦力模型综述

1. 引言
摩擦是一种复杂的非线性物理现象，产生于具有相对运动的接触面之间。

因此，摩擦发生在所有的机械系统中，并对机械系统的性能有着较大的影响。

由于摩擦的高度非线性特新，摩擦往往会导致系统的稳态偏差，极限环或者降低系统的性能指标。

所以对于控制领域而言了解摩擦是非常有必要的，这样才能明白摩擦对于闭环回路的影响并且设计控制器来降低这种影响。

目前已经建立的摩擦力模型多大几十种，他们各有千秋，充分了解和分析这些模型的结构、机理和使用范围对于解决机械系统与摩擦有关的力学问题和摩擦补偿问题有着重要的意义。

2. 摩擦现象
摩擦是两个接触表面间产生的切向作用力。

众多试验表明摩擦与许多因素有关，例如相对滑动速度、相对加速度、位移、润滑情况和接触表面状况等。

大量的学者用了无数的实验来揭示摩擦特性, 对于摩擦力的精确建模需要对摩擦现象深入的了解。

下面便来介绍接种主要的摩擦现象。

2.1. 库伦摩擦
库伦摩擦是非零下的摩擦，也称运动摩擦。

库伦摩擦独立于接触面积，预法向载荷成正比，预运动状态方向，而与运动速度的幅
值无关
22粘滞摩擦
粘滞摩擦力来源于接触表面间流体润滑层的粘滞性行为，该力与速度呈比例关系，并且当速度为0时，其值也为0。

2.3. 静摩擦力
静摩擦力是物体从静止开始产生相对运动所需要的力。

静摩擦力的大小不依赖于相对速度，与外力的大小有关。

一般来说，静摩擦力邀大于库伦摩擦力。

2.4. Stribeck摩擦
Stribeck摩擦也成为Stribeck效应，用来描述低速区的摩擦力行为。

Stribeck摩擦力是稳态速度的函数。

在相对速度较低的范围内，随着相对速度的增加摩擦力反而下降，如图1所示曲线负斜率部分。

图 2.1 Stribeck 效应
图2.3可变摩擦力
2.5. 预滑动位移
两个物体相互接触，当施加的外力小于最大静摩擦力的时候，接触表面上的粗糙峰会产生微小的位移，成为预滑动位移，又称Dahl效应，在预滑动阶段，粗早峰的变形行为类似于弹簧，摩擦力是位移的函数而不是速度的函数。

图2.2预滑动阶段摩擦力是位移的函数
2.6. 可变的静摩擦力
可变的静摩擦力是指在静摩擦阶段，静摩擦力的大小随着施加外
力的增长速率的变化而改变。

如图2.3所示。

外力他如的时尸
图2.3可变摩擦力
2.7. 摩擦滞后
摩擦滞后是摩擦力的改变滞后于相对滑动速度的变化现象，又称记忆摩擦。

摩擦力和速度形成一个迟滞环，减速时的摩擦力的幅值低于增速是的摩擦力的幅值。

如图2.4所示。

迟滞环的宽度会随着速度变化率的增加而增加。

图2.4摩擦滞后
3. 摩擦模型
根据摩擦模型是否由微分方程来描述，摩擦力的模型大致上可以分为两大类：静态摩擦模型和动态摩擦模型。

静态摩擦模型是将摩擦力写成速度的函数。

动态摩擦模型是将摩擦力描述成相对速度和位移的函数，既描述了摩擦力的静态特性，也可以描述其动态特性，因此，动态摩擦的模型可以更好的描述摩擦行为。

3.1. 静态模型
3.1.1. 库仑模型
对于库仑摩擦力的模型的研究最早可以追溯到16世纪早期，达芬奇在试验观察的基础上，得出了“摩擦力正比于法向载荷，与运动方向相反且不依赖与接触面积”的结论后来库仑在达芬奇的研究基础上加以研究，逐渐发展成库
仑(Coulomb)模型。

即
f(V)二f c sgn(v) \* MERGEFORMAT (3.1)
其中，f(V)是摩擦力，V是相对滑动速度，f c是库仑摩擦力，也=卩出|，卩是摩擦系数，f N是法向力，sgn()是符号函数。

这是最早的关于摩擦力的定义的模型，摩擦力只是速度方向的函数。

但是库仑模型只是个理想化的延迟模型，在速度为o时，库
仑模型比没有给出特定的摩擦力数值，只是表明这个数值只能是介于- f c和f c 的任意数值。

但是，由于库仑模型的简单性，经常被用作摩擦补偿。

3・1・2・库仑+粘滞模型
19世纪，随着流体力学的发展，人们发现液体存在粘性，从而导致了线性粘性摩擦模型的出现，该模型有如下的数学描述。

f (V) = f v V \* MERGEFORMAT (3.2)
其中，f v是粘性摩擦系数。

但是，在某型情况下，为了更好的和实验数据拟合，经常建立一种与速度呈非线性的函数关系。

即
f(v) = f v |v|°sgn(v) \* MERGEFORMAT (3.3) 其中，：.v的取值依赖于应用表面的集合形状。

更加一般的情况，线性粘性摩擦通常与库仑摩擦组合使用，成
为一种简单的库仑+粘滞摩擦模型。

即，
f (v)二f v v f c sgn(v) \* MERGEFORMAT (3.4)
3.1.3.静摩擦+库仑+粘滞模型
静摩擦力描述的是没有相对运动，但是有相对运动趋势的情形下的摩擦现象，通常情况下，当外力小于最大静摩擦力的时候，静摩擦力预外力大小相等，方向相反。

但是外力大于或等于最大静摩擦力的时候，静摩擦力的大小等于最大静摩擦力，方向与外力方向相反。

即，
f e if v = 0 and| f e f s ’
f(v)比“、1\* MERGEFORMAT
f s sgn(v) if v = 0 and| f* f s
(3.5)
其中，f e是外力，f s是最大静摩擦力。

由此可见，当V=0时，f v是外力f e的函数。

静摩擦力讨论了当速度为零时的摩擦力情况，以此，将静摩擦力模型与粘滞+库仑模型相综合便得到了静摩擦+粘滞+库仑的摩擦模型，即，
f e if v = 0 and f e v f s
f (v) # f s s
g n(v)if v = 0 and f^ f s \*
f vc v + f ，sgn(v)otherwise MERGEFORMAT (3.6)
** I
nr ■
M' •韋■ * J i r；||- 4 ftj- ■ Jf I F"■|i
图3.1静态摩擦力模型
3.1.
4. Stribeck摩擦模型
前面所介绍的摩擦力的模型基本可以认为关于速度的线性函数，
并且静摩擦与动摩擦之间的转换可以认为是离散的。

但是Stribeck
在1902年通过实验观察到：当克服静摩擦力之后，摩擦力在低速下
随着速度的增加而减小，呈现为速度的连续函数。

这个现象称为负
斜率现象Bo和Pavelescu在1982年提出了一个指数模型来描述
Stribeck现象，即
f(V)二f c (f s - f c)e[f]\* MERGEFORMAT (3.7) 其中，v s是Stribeck速度，v s和、.都是经验常数。

该模型后经Armstrong完善，添加了粘性摩擦项，即
f(v)二f c (f s —fc)e*V vs) ]f v v \* MERGEFORMAT
(3.8)
将式(3.5)和式(3.8)综合起来，于是便可以得到比较经典的静态
摩擦力的数学模型，即
f e II f(v)二 f s sgn(/) ［叹)勺
f (y) = fc (f s - f c )e 八 f v MERGEFORMAT (3.9)
该模型很好的描述了低速下的摩擦行为。

用一个衰减指数项体 现了负斜率摩擦现象。

实验表明该模型在能以 90%的精确程度近似 拟合区域的真实摩擦力。

同事该模型表达出了在非常低速的情况下， 由于Stribeck 效应的存在，摩擦力将产生不稳定的效应，基于该模 型可以研究有摩擦引起的黏滑运动和极限环现象。

3.1.5.丛爽简化模型
中国科学技术大学教授丛爽于1998年提出另外一种与速度呈指
数关系的非线性摩擦模型形式，该模型采用简化的方法，同事抓住 非线性摩擦的本质特点，只需要较少的实验既可以确定模型中的参 数，与其他非线性摩擦模型相比更加的易于在实际工程中应用。

实验表明，摩擦力矩T f 在低速时，是随着速度的增大从静摩擦 力矩逐渐以指数形式下降到库仑摩擦力矩 T c 值的。

基于这个事实， 干扰力矩T f 的模型可由下式给出：
T f ( J 二T c sgn((J T e ： sgn( ) \* MERGEFORMAT
(3.10)
if v = 0 and f e c f s
if v = 0 and| fe £ f s \*
v otherwise
上图中，T s为最大静摩擦转矩，T c为库仑转矩，式（3.10）中，
:T =7s -T c。

最大静摩擦力矩可以由实验获得。

对线性系统模型加上所提摩擦力模型后所得到的系统进行仿真实验，通过调整:•值使得其输出与相同输入下实际系统的输出一致以此来获得精确的摩擦力
矩的补偿模型和:的值。

3・1・6・ TheKarnoppModel
3・1・7・ Armstrong 'odel
3.2. 动态模型。