射影几何(正式版)

射影几何
首先，射影几何学是几何学的一个重要分支学科。

概括的说，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的学科。

那射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。

接下来，我将从以下4个方面介绍射影几何。

（1，2，3，4）
首先是第一点，从透视学到射影几何
在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临了如何呈现的问题。

例如如何将平行的9个长方体从一个角度观察并呈现在了二维纸面上。

正是这种冲突，刺激并导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学。

这里不得不提起一个数学透视法的天才，阿尔贝蒂。

他是当时意大利著名建筑师、建筑理论家。

意大利文艺复兴时期最有影响的建筑理论家。

一生致力于理论研究，著有《论绘画》、《论建筑》、《论雕塑》，其中《论建筑》为当时最富影响、最具代表性的建筑理论著作，书内列有研究建筑材料、施工、结构、构造、经济、规划、水文、设计等章节，完整地介绍了他的建筑思想。

另外《论绘画》一书（1511）则更是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。

接下来就是第2点了——射影几何的早期发展
在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧式几何的方法处理问题(这点很重要)。

但是由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘。

德沙格：生在法国，也死在法国，和当时的笛卡尔、费尔马等领头数学家都是好朋友，这批人的活动和所取得的成就，使法国成为当时世界上最辉煌的国度。

身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法，对于透视法产生的问题给予数学上解答，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱的第一人。

帕斯卡：著名的、、和。

主要贡献是在上，发现了，并以其名字命名单位。

帕斯卡没有受过正规的。

他4岁时母亲病故，他父亲是一位受人尊敬的，在其精心地教育下，帕斯卡很小时就精通。

12岁独自发现了“三角形的内角和等于180度”。

17岁时帕斯卡写成了数学水平很高的《圆锥截线论》著作，这是他研究德扎尔格关于综合射影几何的经典工作的结果。

但不久就失传了，直到1779年才被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线，可以看一下书上的图。

但德沙格、帕斯卡等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分。

直到射影几何的繁荣。

到18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，法国数学家、化学家和物理学家。

蒙日当时著名的几何学家，他创立了，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间的宽厚基础。

著名高斯在1810年说，蒙日的《画法几何学》一书简明扼要，由浅入深，系统严密，富有创新，体现了“真正的几何精神”，是“智慧的滋补品”。

然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）
庞斯列：1788年7月1日生于法国梅斯；1867年 12月22日卒于巴黎．几何学、机械原理、工程力学.
庞斯列小时候寄养在亲戚家中，家境贫苦．他由于在校学习成绩优秀，得到一笔助学金，使他能进入大学预科．1807年10月，他考入了巴黎理工科大学，该校有许多法国的著名学者，例如物理学家A．M．安培(Ampére)，数学家G．蒙日(Monge)等．1810年9月，他进入梅斯军事工程学院学习，1812年初毕业后分配到荷兰西南部一个小岛的要塞工作．1812年6月参加了拿破仑侵俄战争，是工程兵总参谋部的中尉．战争失败后，在从莫斯科撤退的过程中，他于11月18日在克拉斯诺耶被俘，关押在俄国战俘营中．他利用取暖的木炭在墙上作图，探索几何学问题．由于手头没有参考资料，他便从最基本的理论开始研究，充分利用了这段时间，为他以后的成功打下基础．直到1814年6月他才被释放．同年9月回到法国，1834年成为法国科学院院士，并搬到巴黎居住．1851年成为彼得堡通讯院士．
庞斯列到54岁才结婚．1848年2月法国发生了革命．同年4月底他作为莫泽尔省的代表参加了制宪会议，是一名温和的拥护共和者．同时他被提升为准将，并担任了巴黎理工大学校长，一直工作到1850年10月退休．退休后当过伦敦(1851)和巴黎(1855)国际展览工业机械和工具部的主席．由于他对机械化的飞速发展很感兴趣，便花了多年时间收集19世纪以来各种工业机械和工具在工业中应用状况的资料，并在伦敦的展览会上做了报告．几年以后，庞斯列重新整理和编辑了他已发表和未发表的全部著作．可惜的是，其中一些资料和手稿在第一次世界大战中丢失了．
庞斯列的科学技术工作涉及两个非常不相同的领域：射影几何与应用力学．庞斯列对射影几何的研究主要在1813年到1824年间进行．
1813年他在战俘营中，先着手研究纯理论的解析几何，后来才研究圆锥曲线的射影性质．他研究的射影方法与蒙日不同，采用的是中心射影法．
1820年5月1日，庞斯列将一篇论文“试论圆锥截面的射影性质”送到法国科学院，当时审稿人是法国著名数学家A．L．柯西(Cauchy)．柯西对庞斯列的几何方法评价不高，并且批评论文中的基本部分即连续性原理是“大胆引入”，“可能导致明显的错误”．当时法国的数学家们对用数学分析解决实际问题更感兴趣，因此对庞斯列的研究没有给予应有的重视．但庞斯列仍然坚持自己的见解，继续深入探索，重新写了一篇内容更为丰富的论文“图形的射影性质”，于1822年在巴黎发表．这篇论文系统地阐述了柯西批评的连续性原理．这篇论文的发表，对19世纪射影几何的研究和发展起了决定性作用．
庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。

获释后他整理出版了《论图形的射影性质》，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展的巨大波澜，带来了这门学科历史的黄金时期
在公元1822年，完成了一部理论严谨、构思新颖的巨著——《论图形的射
影性质》。

这部书的问世，标志着射影几何座位一门学科的正式诞生。

与德沙格和帕斯卡等不同，庞斯列并不限于考虑特殊问题。

他探讨的是一般问题：图形在投影和截影下保持不变的性质，这也成为他以后射影几何研究的主题。

由于距离和交角在投影和截影下会改变，庞斯列选择并发展了对和与调和点列的理论而不是以交比的概念为基础。

与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而不是平行投影，并将其提高为眼界问题的一种方法。

在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，利用到了连续性原理和对偶原理，深入研究了极点与极线的概念，给出了极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述
在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，
这种代数方法遭到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，因此19世纪的射影几何就是在综合派的与代数的两大派之间的激烈争论中前进的，支持庞斯列的还有斯坦纳 沙勒 和施陶特
而即使综合派的著作中也仍然用长度的概念，实际上长度不是射影概念。

而长度是在欧式几何中的一个概念，但在1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已经作出区别，但对这两种几何的逻辑关系不甚了了。

直到施陶特在1847年的《位置几何学》中提出一套方案，给交比以重新定义：4
2324131/x x x x x x x x ----，这样施陶特不借助长度概念就得到了建立射影几何的基本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新的学科。

射影几何的概念在逻辑上要先于欧氏几何的概念，因而射影几何比欧氏几何更基本。

施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（1821-1895）和普吕克的学生克莱因进一步在射影几何概念基础上建立欧氏几何与非欧氏几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道路。

四、射影几何的应用
射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系。

特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。

对于我们来说，射影几何最重要的应用是在对初等几何数学的指导，它不仅表现在提高数学思想与观念上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。

由射影 几何的性质，指导研究初等几何中的一些问题。

投影：从初中数学的角度来说（可参见人教网九年级下册电子课本第二十九章 投影与视图），一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的叫做物体的投影（projection ），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做。

有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。

由平行光线形成的投影是（parallel projection).由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做（center projection)。

投影线垂直于投影面产生的投影叫做。

投影线不平行于投影面产生的投影叫做斜投影。

物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。

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