平面向量的数量积及应用(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习 Word版含解析

本专题特别注意：

1.平面向量数量积的模夹角公式的应用

2. 平面向量数量积的坐标公式应用问题

3. 向量垂直的应用

4.向量的数量积问题等综合问题

5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题

6.向量数量积在解析几何中应用

7.向量数量积在三角形中的应用。

【学习目标】

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．

5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．

【方法总结】

1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·c b＝c；a·b＝0 a＝0或b＝0，但满足交换律和分配律.

2.公式a·b＝|a||b|cos θ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.

3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.

4.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0与a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0要区分清楚.

【高考模拟】：

一、单选题

1．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是

A. −1

B. +1

C. 2

D. 2−

【答案】A

【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.

点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

2．在如图的平面图形中，已知,则的值为

A. B.

C. D. 0

【答案】C

【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：如图所示，连结MN，

由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，

则，

由题意可知：

，，

结合数量积的运算法则可得：

.

本题选择C选项.

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

3．如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，

点在上，则，设，则：

，即，

据此可得：，且：

，，

由数量积的坐标运算法则可得：

，

整理可得：，

结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.

本题选择A选项.

点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

【答案】D

【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得

，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.

点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根

据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的

方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.

5．已知向量，满足，，则

A. 4

B. 3

C. 2

D. 0

【答案】B

【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.

点睛：向量加减乘：

6．已知平面向量，，当时，的最小值是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析：由题意，在OB上取，在AB上取动点C，使，则

，则即可所求答案.

详解：如图，在中，已知，，

在OB上取点D，使得，

在AB上有动点C，使（），

则，

.

故选：C.

点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力. 7．设平面向量，则与垂直的向量可以是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分析：先由平面向量的加法运算和数乘运算得到，再利用数量积为0进行判定．

点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．

8．已知平面向量，且，则在上的投影为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：先根据平面向量垂直的条件（数量积为0）求出，再利用平面向量的投影的概念进行求解．详解：因为，，且，

所以，

解得，

即，

则在上的投影为

．

点睛：本题考查平面向量垂直的判定、平面向量数量积的几何意义等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．

9．已知平面向量，满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】B