第12讲 李雅普诺夫方法应用

PA+AP=-Q
可得:
PA A P e Aτ tQe AtdtA A e Aτ tQe Atdt
0
0
d e Aτ tQe Atdt e Aτ tQe At
0 dt
0
Q
➢ 因此,必要性得证。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(9/21)
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法,该方法 ➢ 不需寻找李雅普诺夫函数, ➢ 不需求解系统矩阵A的特征值,
对给定的任意正定矩阵Q,存在唯一的正定矩阵解P。
□
证明 用反证法证明。 ➢ 即需证明: 李雅普诺夫代数方程由两个正定矩阵解,但该 系统是渐近稳定的。 ➢ 设P1和李P雅2代普入诺该夫方代程数后方有程由两个正定矩阵解P1和P2,则将 P1A+AP1=-Q P2A+AP2=-Q
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(11/21)
✓ 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/4)
对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为: ➢ 针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的 Lyapunov函数。如,
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax
这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0, 即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一 定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
两式相减,可得 (P1-P2)A+A(P1-P2)=0
➢ 因此,有
0 eAτ t[(P1 - P2 ) A Aτ (P1 - P2 )]eAt eAτ t (P1 - P2 )eAt
所以,对任意的t,下式均成立: eAτ t (P1 - P2 )eAt 常数
➢ 令t=0和t=T(0),则有 P1 - P2 eAτ T (P1 - P2 )eAT 常数
只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。 ✓ 该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。
➢ 由上述定理,可得如下关于正定矩阵P是李雅普诺夫矩阵 方程的唯一解的推论。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(10/21)
推么论李雅如普果诺线夫性代定数常方系程统x’=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的,那 PA+AP=-Q
第12讲 李雅普诺夫方法应 用
周口师范学院机械与电气工程学院
第12讲 目录
4.4 李雅普诺夫在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫在非线性系统中的应用
Ch.4 稳定性与李雅普诺夫 方法
李雅普诺夫方法在线性系统的应用(1/2)
4.4 线性系统的稳定性分析
本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。 ➢ 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 矩阵李雅普诺夫方程的求解 线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理 及稳定性分析
李雅普诺夫方法在线性系统的应用(3/2)
➢ 本节将讨论对线性系统,包括 ✓ 线性定常连续系统、 ✓ 线性时变连续系统和 ✓ 线性定常离散系统,
如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来 分析该线性系统的稳定性。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/21)
4.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(3/21)
证明 (1) 先证充分性。 ➢ 即证明,若对任意的正定矩阵Q,存在正定矩阵P满足方程 PA+AP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路：
由于P正定,选 择正定函数 V(x)=xPx为李 雅普诺夫函数
计算李雅普诺 夫函数V(x)对 时间t的全导
解 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xPx
➢ 由定理可知,上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程 PA+AP=-I.
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(15/21)
➢ 于是,令对称矩阵P为
P
p11 p12
p12 p22
➢ 将P代入李雅普诺夫方程,可得
p11 p12
p12 0 p22 1
例4-10 控制系统方块图如下图所示。 ➢ 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
x2
x1
k
1
1
s 1 -
s 2
s
解 由图可写出系统的状态方程为
x1 0 1
x2
0
2
x3 k 0
0 x1
1
x2
1x3
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(19/21)
➢ 不难看出,原点为系统的平衡状态。 ➢ 选取Q为非负定实对称矩阵,则
0 0 0 Q 0 0 0
0 0 1
➢ 由于为非正定,且只在原点处才恒为零,其他非零状态轨迹 不恒为零。 ✓ 因此,对上述非负定的Q,李雅普诺夫代数方程和相应 结论依然成立。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(20/21)
➢ 设P为实对称矩阵并代入李雅普诺夫方程,可得
0 0 k p11 p12 p13 p11 p12 p13 0 1 0 0 0 0
➢ 采用合同变换法,有
k2 12k 6k 0
k2 0 0
k2 0
பைடு நூலகம்
0
6k
3k
k
行(1)(2)2(1)
0
3k
k
行(3)(2) / 3(3)
0
3k
0
0
k 6 列(1)(2)2(1) 0 k 6 列(3)(2) /3(3) 0 0 6 k / 3
➢ 从而得到P为正定矩阵的条件
12 2k 0, 3k 0, 6 k / 3 0
1 2
0
p12
p22
p23
p12
p22
p23
0
2
1
0
0
0
0 1 1 p13 p23 p33 p13 p23 p33 k 0 1 0 0 1
➢ 求得
k2 12k 6k 0
P
12
1
6k
6k 0
3k
k
k 6
➢ 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为 正定。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(21/21)
李雅普诺夫方法在线性系统的应用(2/2)
由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有 效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫 函数来分析系统的稳定性。
➢ 由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难 于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。
➢ 目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻 找建立李雅普诺夫函数的方法。
而Q为正定矩阵,故V’(x)为负定函数。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(5/21)
➢ 根据渐近稳定性定理,即证明了系统的平衡态xe=0是渐 近稳定的,于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 ➢ 即证明:若系统在xe=0处是渐近稳定的,则对任意给定的 正定矩阵Q,必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+AP=-Q 证明思路： ➢ 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程 PA+AP=-Q 的正定矩阵P。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(6/21)
证明过程为： ➢ 对任意给定的正定矩阵Q,构造矩阵P如下
P eAτtQeAtdt 0
➢ 由矩阵指数函数eAt的定义和性质知,上述被积矩阵函数的 各元素一定是具有tket形式的诸项之和,其是A的特征值。 ✓ 因为系统是渐近稳定的,则矩阵A的所有特征值的实 部一定小于零,因此上述积分一定存在,即P为有限对 称矩阵。
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。 ➢ 由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存 在统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困 难的。
➢ 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出 建立李雅普诺夫函数的一般方法。
在应用上述基本定理和推论时,还应注意下面几点: ➢ 如果V’(x,t)=-xQx沿任意一条状态轨线不恒为零,那么Q 可取为非负定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充要条件 为: ✓ 存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程。 ➢ Q矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与Q的不同选择无关。 ➢ 由定理及其推论可知,运用此方法判定系统的渐近稳定 性时,最方便的是选取Q为单位矩阵,即Q=I。 ✓ 于是,矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程:
PA+AP=-I 求解,然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(14/21)
下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方 程来判定线性定常系统的稳定性。
例 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
x1 x2
0 1
1 x1
1
x2
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/21)
上述第(3)点可由如下定理中得到说明。
定理 线性定常连续系统 x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: ➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为 矩阵方程 PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫 函数。 □
P eAτtQeAtdt 0
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(7/21)
➢ 又由于 ✓ Q正定, ✓ 矩阵指数函数eAt可逆,
则由本页左上角方程可知,P为有限的正定矩阵。 ➢ 因此,P为正定矩阵。
P eAτtQeAtdt 0
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(8/21)
➢ 将矩阵P的表达式代入矩阵方程
➢ 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
➢ 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的 全导数分别为
V
(x)
xτ
Px
1 2
xτ
3 1
1 2x 0
V
(x)
xτ
Qx
xτ
1
0
01x 0
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(18/21)
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(12/21)
由定理可知,当P1和P2为满足李雅普诺夫方程的正定矩阵时, 则系统为渐近稳定的。
➢ 故系统矩阵A为渐近稳定的矩阵,矩阵指数函数eAT将随 着T→而趋于零矩阵,即
P1-P2=0 或 P1=P2
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(13/21)
4.5 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是 唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。 ➢ 对非线性系统则不然。 ✓ 非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸 引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定性的 情况远比线性系统来得复杂。 ✓ 与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样 性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得 多。
即 0<k<6
由上例可知,选择Q为某些非负定矩阵，也可以判断系统稳定 性,益处是可使数学运算得到简化。
其他线性系统的稳定性分析(1/1)
4.4.2 线性时变连续系统的稳定性分析（略） 4.4.3 线性离散系统的稳定性分析（略） 4.4.4 线性时变离散系统的稳定性分析（略）
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)
➢ 解出p11,p12和p22,得
P
p11 p12
p12 p22
1 2
3 1
1 2
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(17/21)
➢ 为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:
P
1 2
3 1
1 行(2)(1) / 3(2) 1 9 2 列(2)(1) / 3(2) 6 0
0 5
数V’(x)
通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的
稳定性
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/21)
证明过程为： ➢ 已知满足矩阵方程
PA+AP=-Q 的正定矩阵P存在,故令
V(x)=xPx. ➢ 由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为
V’(x)=(xPx)’ =x’Px+xPx’ =(Ax)Px+xPAx =x(AP+PA)x =-xQx
1 1
0 1
1 p11 1 p12
p12 p22
10
0 1
展开后得,有:
2 p12
p11
p12
p22
p11 p12 p22 2 p12 2 p22
10
0 1
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(16/21)
➢ 因此,得如下联立方程组:
2 p12 1
p11
p12
p22
0
2 p12 2 p22 1