比奥固结理论

太沙基固结理论只在一维情况下是精确地，对二维、三维问题并不精确。

比奥（Biot ）从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方程，一般称为真三维固结理论，而将太沙基三维方程称为拟三维固结方程。

介绍饱和土体固结的比奥理论。

一．
比奥固结方程
（一）三维问题 1. 平衡方程
在土体中取一微分体。

若体积只考虑重力，z 坐标向上为正，压力以压为正，则三维平衡微分方程为
00xy x xz
xy xy yz
yz xz x y z x y z x y z
τσττττττσ
γ∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂++=-∂∂∂ 式中，γ为土的重度，应力为总应力。

上式也可以写为
[]{}{}=T
f σ∂
其中 []
00000000
0T
x z y y z x z
y
x
⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥
∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣
⎦
{}{}{}{}x y z yz zx xy σσσστττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
{}x y z f f f f ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 式中{}f —三个方向的体积力。

2. 有效应力原理
根据有效应力原理，总应力为有效应力与孔隙压力u 之和，且孔隙水不承受剪应力，用矩阵表示：
{}{}{}+M u σσ'=
其中 {}[]=1110
00T
M
平衡方程可以写为
[]{}{}{} + T
M u f σ'∂=
展开即为
00xy x xz xy y
yz yz xz z
u x y z x u x y z y
u x y z z
τστδτστδττσγδ∂'∂∂∂+++=∂∂∂'∂∂∂∂+++=∂∂∂∂'∂∂∂+++=-∂∂∂ 式中
u
x δ∂、u y δ∂、u z
δ∂实际上是各方向的单位渗透力，此式是以土骨架为脱离体建立的平衡微分方程。

3. 本构方程
利用本构方程中的物理方程
{}[]{}D σε'=式1
可将式中的应力用应变来表示。

比奥最初假定土骨架是线弹性体，服从广义胡克定律，则[]D 为线弹性矩阵，上式1可以写成
21-221-221-2x
v x y v y z v z G G G υσεευυσεευυσεευ⎛⎫
'=+ ⎪⎝⎭⎛⎫
'=+
⎪⎝⎭⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭式3 yz yz G τγ=，xz xz G τγ=，xy xy G τγ=
式中，G 和υ分别为剪切模量和泊松比。

其实，物理方程并不一定要限于弹性，也可推广到线弹性体，这时[]D 为弹塑性矩阵。

4. 几何方程
再利用几何方程，将应变表示成位移。

在小变形的假设下，几何方程为
{}[]{}εω=-∂式2
式中，{}=x y z ωωωω⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
为位移分量。

将上式展开，即 y x
z x yz y x z y xz y x z z xy x z y y z
x z
y x ωωωεγωωωεγωωωεγ∂⎛⎫
∂∂=-=-+
⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫=-=-+ ⎪∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂=-
=-+
⎪∂∂∂⎝⎭
应力应变符号在土力学中习惯以压为正，以拉为负，故式2与一般弹性力学中几何方程的符号相反。

5. 连续性方程 三维固结连续性方程
2v w
K
u t εγ∂=-∇∂式5 6. 固结微分方程
将式2代入式3，再代入式1，就得出以位移和孔隙压力表示的平衡微分方程。

[][][]{}[]{}{}T T
D M u f ω-∂∂+∂=式4
对于弹塑性问题，方程展开是较复杂的，这里只给出弹性问题的展开方程：
2
22
01201212y x z x y x z y y x z z G u
G x x y z x G u
G y x y z y G u G z x y z z
ωωωωυωωωωυωωωωγυ∂⎛⎫∂∂∂∂-∇-+++
= ⎪-∂∂∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂∂∂-∇-+++
= ⎪-∂∂∂∂∂⎝⎭∂⎛⎫∂∂∂∂-∇-+++
=- ⎪-∂∂∂∂∂⎝⎭ 将体积应变利用式2以位移来表示。

即
{}{}{}[]{}T T
v M M εεω==-∂
则连续性方程
2v w
K
u t εγ∂=-∇∂（式5）成为 {}[]{}2= 0T
K M u t ω
ωγ∂-
∂+∇∂式6 其展开式为
2= 0y x z K u t x y z ω
ωωωγ∂⎛⎫∂∂∂-+++∇ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 这就是以位移和孔隙压力表示的连续方程。

饱和土体中任一点的孔隙压力和位移随时间的变化，须同时满足平衡方程式4和连续方程式6。

将两式联立起来，并对时间取差分格式，即
[][][]{}[]{}{}{}[]{}2= 0
T T T
D M u f K M u t ωωωγ⎧-∂∂+∂=⎪
⎨∂-∂-∇⎪∂⎩
式7 式7便是比奥固结方程。

它是包含4个偏微分方程的微分方程组，也包含4个未知变量
x y z u ωωω、、、，它们都是坐标x 、y 、z 和时间t 的函数。

在一定的初始条件和边界条件
下，可解出这4个变量。

式7为联立方程，反映变形方程与渗流的耦合，也称为流固耦合。

其中，平衡方程的第一项表示发生的位移所对应的力，第二项表示当前孔压所对应的力。

它们的和与外荷载平衡。

连续性方程的第一项表示单位时间内位移改变所对应的体积变形，第二项表示孔压变化所引起的渗出水量。

力的平衡中又有孔压的贡献，水量平衡中又有变形的贡献，相互耦合。

需要特别指出的是：以上方程中所讲的孔隙水压力u 都是指超静孔隙水压力，即荷载引
起的孔隙水压力增量。

（二）轴对称问题
轴对称问题的平衡微分方程为
r o
r rz r rz z rz
z f r z r
f r z r
σσσττστ-∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂
连续性微分方程为
v r r z q q q t r r z
ε∂∂∂=++∂∂∂ 将它们联立起来，并将应力用径向位移r ω和竖向位移z ω表示，流量用孔压u 表示，成为以位移和孔压为未知变量的联列方程组，即轴对称问题的固结微分方程。

（三）二维问题
对于平面变形问题，比奥固结方程仍可写为式7，只是式中
[]
00T
x z z
x ∂
∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂
∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣
⎦
{}x z f f f ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
{}{}22
2
110x z M x z
ωωω⎡⎤⎡⎤
∂∂⎢⎥==∇=+⎢⎥
⎢⎥∂∂⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
相应的应力应变为
{}{}x x z z xz xz σεσσεετγ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
{}[]{}T x z
v M x
z ωω
εω∂∂⎛⎫=-+=-∂ ⎪∂∂⎝⎭
式7在二维问题中的展开式为
222
12120v x v z v W G u
G x x G u
G z z K u t εωυεωγυεγ∂∂-∇+
+=-∂∂∂∂-∇-+=--∂∂∂+∇=∂
要解上述微分方程组，在数学上是困难的。

对于轴对称和平面应变中某些简单情况，已有人推导出了解析回答，并用以分析固结过程中的一些现象。

但是对于一般的土层情况，边界条件稍微复杂一些，便无法求得解析解。

因此，从1941年建立比奥方程以来，一直没有在工程中广泛应用。

随着计算技术的发展，特别是有限单元法的发展，真三维固结理论才重现生命力，并开始用于工程实践。