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《实变函数》试卷一
一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( )
(A )1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞
===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞
=??;
(C )1lim n k n n k n
A A ∞
∞
→∞
===??; (D )1lim n k n k n
n A A ∞
∞
==→∞
=??;
2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P ='
(D) P P =ο
3、下列说法不正确的是( )
(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B)
{}sup ()n n
f x 是可测函数(C ){}inf ()n n
f x 是可测函数;(D )若
()()n f x f x ?,则()f x 可测
5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数
(C ))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)
?
-=b a
a f
b f dx x f )()()('
二. 填空题(3分×5=15分)
1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________
2、设E 是[]0,1上有理点全体,则
'
E =______,o
E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都
_________________________________,则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)
5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为
[],a b 上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ?,若E 是稠密集,则CE 是无处稠密集。
2、若0=mE ,则E 一定是可数集.
3、若|()|f x 是可测函数,则()f x 必是可测函数 4.设()f x 在可测集E 上可积分,若,()0x E f x ?∈>,则
()0E
f x >?
四、解答题(8分×2=16分). 1、(8分)设2,()1,x x f x x ?=??为无理数
为有理数 ,则()f x 在[]0,1上是否R -
可积,是否L -可积,若可积,求出积分值。
2、(8分)求0ln()
lim cos x n x n e xdx n
∞-+?
五、证明题(6分×4+10=34分).
1、(6分)证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .
2、(6分)设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。
3、(6分)在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。
4、(6分)设,()mE f x <∞在E 上可积,(||)n e E f n =≥,则
lim 0n n
n me ?=.
5、(10分)设()f x 是E 上..a e 有限的函数,若对任意0δ>,存在闭子集F E δ?,使()f x 在F δ上连续,且()m E F δδ-<,证明:()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理
试卷一 (参考答案及评分标准)
一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1.? 2、[]0,1; ? ; []0,1 3、
***()()m T m T E m T CE =?+?
4、充要
5、11|()()|n i i i f x f x -=??
-????∑成一有界数集。
三、1.错误2分例如:设E 是[]0,1上有理点全体,则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分
2.错误2分例如:设E 是Cantor 集,则0mE =,但E =c , 故其为不可数集 5分 3.错误例如:设E 是[],a b 上的不可测集,
[],;
(),,;
x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??
则|()|f x 是[],a b 上的可测函数,但()f x 不是[],a b 上的可测函数…
4.错误0mE =时,对E 上任意的实函数()f x 都有()0E
f x dx =?
四、1.()f x 在[]0,1上不是R -可积的,因为()f x 仅在1x =处连续,即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测
函数,()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等,进一步,[]
120,101
()3
f x dx x dx ==?? (8)
分
2.解:设ln()()cos x
n x n f x e x n
-+=
,则易知当n →∞时,()0n f x → 2分
又因'
2ln 1ln 0t t
t t -??=< ???
,(3t ≥),所以当3,0n x ≥≥时,
ln()ln()ln 3ln 3(1)33
x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分 从而使得ln 3
|()|(1)3
x n f x x e -≤+………………………6分
但是不等式右边的函数,在[)0,+∞上是L 可积的,故有
lim ()lim ()0n n n
n
f x dx f x dx ∞
∞
==??…………………8分
五、1.设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =?=?
B M B ∴??Q 是无限集,可数子集 ..................2分 .A A M M ∴?Q :是可数集, . (3)
分
(\),(\),()(\),(\),
B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=?=?=????=?=Q 且………..5分
,.E B B c ∴∴=:…………………………6分
2.,{},lim n n n x E E x x x →∞
'?∈=则存在中的互异点列使 (2)
分
,()n n x E f x a ∈∴≥Q ………………….3分
()()lim ()n n f x x f x f x a →∞
∴=≥Q 在点连续,
x E ∴∈………………5分
E ∴是闭集.………………………….6分
3. 对1ε=,0δ??,使对任意互不相交的有限个
(,)(,)i i a b a b ?
当1
()n i i i b a δ=-<∑时,有1
()()1n
i i i f b f a =-<∑………………2分
将[,]a b m 等分,使11
n
i i i x x δ-=-<∑,对
:T ?101i x z z -= ()()1k i i i f z f z -=-<∑,所以 ()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………….5分 所以1 ()1,i i x x f V -≤从而()b a f m V ≤,因此,()f x 是[,]a b 上的有界 变差函数………..6分 4、()f x 在E 上可积 lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞ ?≥==+∞=……2分 据积分的绝对连续性,0,0,,e E me εδδ?>?>??<,有 |()|e f x dx ε……….4分 对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>??>≥<,从而 |()|n n e n me f x dx ε?≤,即lim 0n n n me ?=…………………6分 5.,n N ?∈存在闭集()1 ,,()2 n n n F E m E F f x ?-<在n F 连续…………2分 令1n k n k F F ∞∞ ===UI ,则,,,() n n n k x F k x F n k x F f x ∞ =?∈??∈??≥∈?在F 连续………4分 又对任意k ,()[()][()]n n n k n k m E F m E F m E F ∞ ∞ ==-≤-?=?- 1 ()2n k n k m E F ∞ =≤-< ∑………………………….6分 故()0,()m E F f x -=在F E ?连续…………..8分 又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数,从而是E 上 的 可测函数……………………..10分 《实变函数》试卷二 一.单项选择题(3分×5=15分) 1.设,M N 是两集合,则 ()M M N --=( ) (A) M (B) N (C) M N ? (D) ? 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点,则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点,则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ,使0n P P →,则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言( )是正确的。 (A )任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是 闭集; (C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对; 4. 下列断言中( )是错误的。 (A )零测集是可测集; (B )可数个零测集的并是零测集; (C )任意个零测集的并是零测集;(D )零测集的任意子集是可测集; 5. 若()f x 是可测函数,则下列断言( )是正确 的 (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ?在[],a b L -可积; (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -?-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -?-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-?∞-在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设11 [,2],1,2,n A n n n =-=L ,则=∞→n n A lim _________。 2、设P 为Cantor 集,则 =P ,mP =_____,o P =________。 3、设{}i S 是一列可测集,则11 ______i i i i m S mS ∞ ∞==?? ? ???∑ 4、鲁津定理: __________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数,如果_________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 1、由于[](){}0,10,10,1-=,故不存在使()[]0,101和,之间11-对应的映射。 2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。 4、连续函数一定是有界变差函数。 四.解答题(8分×2=16分) 1、设,()1,x x f x x ?=??为无理数 为有理数 ,则()f x 在[]0,1上是否R -可积, 是否L -可积,若可积,求出积分值。2、求极限 13 22 0lim sin 1n nx nxdx n x →∞+?. 五.证明题(6分×3+ 82? =34分) 1.(6分) 1、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数,则对任意常数 c ,})(|{c x f x E >= 是一开集. 2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<,则E 是可测集。 3. (6分)在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。 4.(8分)设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ,证明:()..n f x a e 收敛于()f x 。 5.(8分)设()f x 在[],E a b =上可积,则对任何0ε>,必存在E 上的连续函数()x ?,使|()()|b a f x x dx ?ε-. (答案及评分标准)一、1,C 2, C 3, B 4, C 5, A 二、1,()0,2 2,c ;0 ;? 3, ≤ 4,设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数,则对任意0δ>,存在闭子集E E δ?,使得()f x 在E δ上是连续函数,且(\)m E E δδ<。 5,对任意0,0εδ>?>,使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间(),,1,2,,,i i a b i n =L 只要()1n i i i b a δ=-<∑,就有 1 |()()|n i i i F b F a ε=-<∑ 三、1.错误 记(0,1)中有理数全体 12{,,}R r r =L 1 2 2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??==??=?L 为, 中无理数, 显然[01]0111?-是,到( ,)上的映射。……………5分 2.正确…设i E 为零测度集, **1 1 0()0i i i m E m E ∞∞ ==≤≤=∑U ,所以, *1 ()0i i m E ∞==U 因此,1 i i E ∞ =U 是零测度集。……………5分 3.错误。例如:取(0,),E =+∞作函数列: 1,(0,]()1,2,0,(,)n x n f x n x n ∈?==?∈+∞? L 显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时, [|1|](,)n E f n σ-≥=+∞ 且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1.……5分 4.错误……2分例如:cos ,01,()20,0. x x f x x x π? <≤? =??=?显然是[]0,1的连续函数。 如果对[]0,1取分划1111 :0122132 T n n < <<<<<-L , 则容易证明21111 |()()|n n i i i i f x f x i -==-=∑∑,从而得到10 ()V f =∞…5分 四、1.()f x 在[]0,1上不是R -可积的,因为()f x 仅在1x =处连续,即不连续点为正测度集…………3分 因为()f x 是有界可测函数,所以()f x 在[]0,1上是L -可积的……….6分 因为()f x 与x ..a e 相等, 进一步,[] 1 0,10 1 ()2 f x dx xdx == ? ? (8) 分 2设322 ()sin 1n nx f x nxdx n x = +,则易知当n →∞时,()0n f x →………………2分 又22 |()|1n nx f x n x ≤ +………………4分 但是不等式右边的函数,在[)0,+∞上是L 可积的………6分 故有0 lim ()lim ()0n n n n f x dx f x dx ∞ ∞ ==??………………8分 五、1.,()x E f x c ?∈>……………………..1分 Q ()f x 在x 点连续,∴对()0,(,),f x c U x εδ=->?当 (,)y U x δ∈时, 有()()f y f x ε-<…………………3分 ()()()()f x c f y f x f x c ∴-+<-<-()f y c ∴>,y E ∴∈…5分 因此(,)U x E δ?,从而E 为开集……………..6分 2.对任何正整数n ,由条件存在开集,n G E ?使 *1 ()n m G E n -< …1分 令1 n n G G ∞ ==I ,则G 是可测集……………3分 又因*()m G E -*1 ()n m G E n ≤-< 对一切正整数n 成立,因而*()0m G E -=,即M G E =-是一零测度集,所以也可 测.………………5分 由()E G G E =--知,E 可测。………………6分 3、易知()()x a g x f V =是[],a b 上的增函数……………2分 令()()()h x g x f x =-, 则对于12a x x b ≤<≤有 2 1 212121212121()()()()[()()] ()[()()]|()()|[()()]0 x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥ 所以()h x 是[],a b 上的增函数……………4分 因此()()()f x g x h x =-,其中()g x 与()h x 均为[],a b 上的有限 增函数…….6分 4、因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ,所以对于任意的k Z +∈,存在可测集k E E ?,()n f x 在k E 上一致收敛于 ()f x ,且1 (\)k m E E k < ………3分 令* 1 k k E E ∞ ==U ,则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ………5分 * 1 1 (\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k ∞ ==≤ 所以*(\)m E E 0=……………………8分 5、证明:设[||],n e E f n =>由于()f x 在E 上..a e 有限,故 0,()n me n →→∞….2分 由积分的绝对连续性,对任何0,N ε?>?,使 |()|4 N N e N me f x dx ε ?≤< ?………4分 令\N N B E e =,在N B 上利用鲁津定理,存在闭集N N F B ?和在 1R 上的连续函数()x ?使(1)(\);4N N m B F N ε < (2)N x F ∈时, ()()f x x ?=,且1 sup |()|sup |()|N x F x R x f x N ?∈∈=≤………6分 所以 \|()()||()()||()()||()||()||()()|24 44 4 2 N N N N N N b a e B e e B F N f x x dx f x x dx f x x dx f x dx x dx f x x dx N me N N ?????ε ε ε ε ε ε -≤-+-≤++-≤ +?+? ≤ + + =? ?????… ……...8分 《实变函数》试卷三(参考答案及评分标准) 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、设1 [,2(1)],1,2,n n A n n =+-=L ,则( B ) (A) lim [0,1]n n A →∞ = (B )=∞ →n n A lim (0,1] (C) lim (0,3]n n A →∞ = (D )lim (0,3)n n A →∞ = 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则下列各式不成立的( D ) (A )' [0,1]E = (B) o E =? (C) E =[0,1] (D) 1mE = 3、下列说法不正确的是( C ) (A) 若B A ?,则B m A m **≤ (B ) 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 (D )凡开集、闭集皆可测 4、设}{n E 是一列可测集,ΛΛ????n E E E 21,且 +∞<1mE ,则有( A ) (A )n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤??? ???lim 1 (C )n n n n mE E m ∞ →∞=?? ???lim 1;(D )以上都不对 5、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数,则下面不成立的( B ) (A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处 处可导(C ))(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设集合N M ?,则()M M N --=______N ____ 2、设P 为Cantor 集,则 =P c ,mP =_0____,o P =-___?_____。 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都有 ___***()()m T m T E m T CE =?+?_______,则称E 是L 可测的 4、叶果洛夫定理:设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于个 ..e a 有限的函数f 的可测函数,则对任意,0>δ存在子集 E E ?δ,使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。 5、设)(x f 在E 上可测,则)(x f 在E 上可积的 充要 条件是|)(x f |在E 上可积.(填“充分”,“必要”,“充要”) 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分) 1、任意多个开集之交集仍为开集。 解:不成立 2分 反例:设G n =( n n 1 1,11+--- ),n=1,2, , 每个G n 为开集 但 I ∞ =-=1 ]1,1[n n G 不是开集. 5分 2、若0=mE ,则E 一定是可数集.解:不成立 反例:设E 是 Cantor 集,则0mE =, 但E =c , 故其为不可数集 .5分 3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。解:不成立 …2分 例如:取(0,),E =+∞作函数列:1,(0,] ()1,2,0,(,)n x n f x n x n ∈?==?∈+∞?L 显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时, [|1|](,)n E f n σ-≥=+∞ 且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1 …5分 4、连续函数一定是有界变差函数。 解:不成立 2分 例如:cos ,01, ()20,0. x x f x x x π? <≤?=??=?显然是[]0,1的连续函数。 如果对[]0,1取分划1111 :0122132 T n n < <<<<<-L ,则容易证明21111 |()()|n n i i i i f x f x i -==-=∑∑,从而得到10 ()V f =∞ ……5分 四、解答题(8分×2=16分). 1、(8分)设2,()0,x x f x x ?=??为无理数 为有理数 ,则()f x 在[]0,1上是否R - 可积,是否L -可积,若可积,求出积分值。 解:()f x 在[]0,1上不是R -可积的,因为()f x 仅在0x =处连续,即不连续点为正测度集 ……..3分 因为()f x 是有界可测函数,()f x 在[]0,1上是L -可积的 …6分 因为()f x 与2x ..a e 相等,进一步, [ ] 1 20,101 ()3 f x dx x dx ==?? …8分 2、求极限 12 1 3220lim sin 1n nx nxdx n x →∞ +? 解:记1 2 3 22 ()sin 1n nx f x nx n x = + 则)(x f n 在[0,1]上连续,因而在[0,1]上(R )可积和(L )可积. ……………..2分 又 ]1,0[,0)(lim ∈=∞ →x x f n n ……4分 1 11 22 3 22222 1|()||sin |||211n nx nx f x nx x n x n x -=≤≤?++ Λ,2,1],1,0[=∈n x ……….6分 且21 2 1- ?x 在]1,0[上非负可积,故由Lebesgue 控制收敛定理得 12 1 1 13 220 00lim()()lim sin 001n n n nx R f x dx nxdx dx n x →∞ →∞ ===+?? ? .8分 五、证明题(6分×4+10=34分). 1、(6分)试证(0,1)~[0,1] 证明:记(0,1)中有理数全体12{,,}Q r r =L ,令 ()x ?=12 2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=?? ==??=?L 为, 中无理数, 显然[01]0111?-是,到( ,)上的映射 ……5分 所以(0,1)~[0,1] ……6分 2、(6分)设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数,则对任意常数 c ,})(|{c x f x E >= 是一开集. 证明: .)(,00c x f E x >∈?即 ….1分 因f (x )连续,故 c x f x x >?∈?>?)时,有(),(,00δδ. ………….4分 即E x ??)(0.所以0x 是E 的内点. 由0x 的任意性,E 的每一个点都是内点,从而E 为开集. 6分 3、(6分)设()f x 是可测集E 的非负可积函数,()g x 是E 的可测函数,且|()|()g x f x ≤,则()g x 也是E 上的可积函数。 证明:Q |()|()g x f x ≤, ()(),()()g x f x g x f x +-∴≤≤ …………1分 []()()()n n n n E E E g x dx f x dx f x dx +??∴≤≤????? Q ()f x 是可测集E 的非负可积函数 ∴ lim n →∞ ()()n n E E g x dx f x dx + ??≤????<+∞ ∴()g x +是E 上的可积函数. ….. 4分 同理,()g x -也是E 上的可积函数. ∴()g x 是E 上的可积函数。 …… 6分 4、(6分)设()f x 在E 上积分确定,且()().f x g x a e =于E , 则()g x 在E 上 也积分确定,且()()E E f x dx g x dx =?? 证明:Q ()().f x g x a e =于E ∴[]0mE f g ≠= ∴[] [] ()()0E f g E f g f x dx g x dx ≠≠==? ? ∴ [] [] ()()()E E f g E f g f x dx f x dx f x dx =≠=+?? ? [] [] ()()()E f g E f g E g x dx g x dx g x dx =≠=+=? ? ? Q ()f x 在E 上积分确定,∴()g x 在E 上也积分确定,且 ()()E E f x dx g x dx =? ? 5、(10分)设在E 上)()(x f x f n ?,而..)()(e a x g x f n n =成 立,Λ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ? 证明:记][n n n g f E E ≠=,由题意知0=n mE 由0)(1 1 =≤?∑∞ =∞ =n n n n mE E m 知0)(1 =?∞ =n n E m …2分 对任意0>δ,由于]|[|)(]|[|1 σσ≥-???≥-∞ =f f E E f g E n n n n 从而有 ])|[|(])|[|()(]|[|1σσσ≥-=≥-+?≤≥-∞ =f f E m f f E m E m f g mE n n n n n 又因为在E 上)()(x f x f n ?,故 0])|[|(lim =≥-∞ →σf f E m n n ……8分 所以0])|[|(lim ])|[|(lim 0=≥-≤≥-≤∞ →∞ →σσf f E m f g E m n n n n 于是: 0])|[|(lim =≥-∞ →σf g E m n n 故在E 上有)()(x f x g n ? ……10分 《实变函数》试卷四(参考答案及评分标准) 一.单项选择题(3分×5=15分) 1.设P 为Cantor 集,则 C (A )=P ?0 (B) 1=mP (C) P P =' (D) P P =ο 2. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点,则0P 是E 的聚点(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点,则0P 是E 的聚点(C) 存在E 中点列{}n P ,使0n P P →,则0P 是E 的聚(D) 内点必是聚点 3.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 4. 设}{n E 是一列可测集,12n E E E ????L L ,则有(B ) (A )1lim n n n n m E mE ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E mE ∞=→∞?? ?= ??? (C )1lim n n n n m E mE ∞=→∞ ?? ?= ???;(D )以上都不对 5.设)(x f 为],[b a 上的有界变差函数,则下面不成立的 ( D ) (A))(x f 在],[b a 上L 可积 (B))(x f 在],[b a 上R 可积 (C))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D))(x f 在],[b a 上绝对连续 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设11 [,2],1,2,n A n n n =-=L ,则=∞→n n A lim _(0,2)________。 2、设E R ?,若,E E ?'则E 是 闭 集;若0 E E ?,则E 是 开__集;若'E E =,则E 是___完备_____集. 3、设{}i S 是一列可测集,则11 ______i i i i m S mS ∞ ∞==?? ?≤ ???∑ 4、鲁津定理:___设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数,则对任意0δ>,存在闭子集E E δ?,使得()f x 在E δ上是连续函数,且(\)m E E δδ<________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切划分, 使11|()()|n i i i f x f x -=?? -????∑成一有界数集,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 1、A 为可数集,B 为至多可数集,则A ?B 是可数集. 解:成立 2分 因A 可数,所以可设A={a 1,a 2,…,a n ,…}, 又B 至多可数,设B={b 1,b 2,…,b n }(当B 有限时),或 B={b 1,b 2,?,b n,?}(当B 可数时) 当B 有限时, {}ΛΛΛ,,,,;,,,2121n n a a a b b b B A =? 当B 可数时,{}ΛΛ,;,,,,2211n n a b a b a b B A =? 所以B A ?可数. ……5分 (注:可分φ=?B A 和φ≠?B A 讨论,没讨论不扣分,主要考察排序方法). 2、若0=mE ,则0=E m . 解:不成立. …….2分 反例:E 为]1,0[中的全体有理点集,则有0=mE ,而 1=E m ……5分 注:其余例只要正确即可。 3、若|()|f x 是可测函数,则()f x 必是可测函数 解:不成立.…………………………2分 例如:设E 是[],a b 上的不可测集,[],; (),,; x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-?? 则|()|f x 是[],a b 上的可测函数,但()f x 不是[],a b 上的 可测函数………………………5分 4.设()f x 在可测集E 上可积分,若,()0x E f x ?∈>,则 ()0E f x >? 解:不成立.………………………………2分 0mE =时,对E 上任意的实函数()f x 都有()0E f x dx =?…5分 四.解答题(8分×2=16分) 1、(8分)设 ,()1,x x f x x ?=??为无理数 为有理数 ,则()f x 在[]0,1上是否R - 可积,是否L -可积,若可积,求出积分值。 解:()f x 在[]0,1上不是R -可积的,因为()f x 仅在1x =处连 续,即不连续点为正测度集…………………..3分 因为()f x 是[]0,1上的有界可测函数,()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与x ..a e 相等,进一步,[] 1 0,10 1 ()2 f x dx xdx == ??…8分 2、(8分)求0ln()lim cos x n x n e xdx n ∞ -+? 解:设ln()()cos x n x n f x e x n -+=, 则易知当n →∞时,()0n f x → …………………………..2分 又因'2ln 1ln 0t t t t -??=< ???,(3t ≥),所以当3,0n x ≥≥时, ln()ln()ln 3ln 3(1)33 x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………4分 从而使得ln 3 |()|(1)3 x n f x x e -≤+………………………6分 但是不等式右边的函数,在[)0,+∞上是L 可积的,故有 lim ()lim ()0n n n n f x dx f x dx ∞ ∞ ==??…………8分 五.证明题(6分×3+ 82? =34分) 1、(6分)设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数,则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。 证明:,{},lim n n n x E E x x x →∞ '?∈=则存在中的互异点列使….2分 ,()n n x E f x a ∈∴≥Q …………….3分 ()()lim ()n n f x x f x f x a →∞ ∴=≥Q 在点连续, x E ∴∈…………………………5分 E ∴是闭集.……………….6分 2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<,则E 是 可测集。 证明:对任何正整数n ,由条件存在开集,n G E ?使 * 1()n m G E n -<…1分 令1 n n G G ∞ ==I ,则G 是可测集 …3分 又因*()m G E -*1 ()n m G E n ≤-< 对一切正整数n 成立,因而*()0m G E -=, 即M G E =-是一零测度集,所以也可测.…………5分 由()E G G E =--知,E 可测。 6分 3.(6分) 设)}({x f n 为E 上可积函数列,e a x f x f n n .)()(lim =. 于E ,且? n k dx x f |)(|,k 为常数,则)(x f 在E 上可积. 由e a x f x f n n .)()(lim =于E 得e a x f x f n n .|)(||)(|lim =于E .1分 再由Fatou 引理 ?? ?∞<≤≤=∞→∞ →E E E n n n n k dx f dx f dx f ||lim ||lim || ….4分 所以 |f(x)|可积.又f(x)可测,因此f(x)可积. ..6分 4.(6分)设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ,证明:()..n f x a e 收敛于()f x . 证明: 因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ,所以 对于任意的k Z +∈,存在可测集k E E ?,()n f x 在k E 上一致收敛于()f x ,且1 (\)k m E E k <…2分 令* 1 k k E E ∞ ==U ,则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ……4分 * 1 1 (\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k ∞ ==≤< U ,k=1,2L 所以*(\)m E E 0=………6分 5.(10分)试用Fatou 引理证明Levi 定理. 证明:设{}n f 为可测集q R E ?上的一列非负可测函数,且在E 上有Λ,2,1),()(1=≤+n x f x f n n ,令 )(lim )(x f x f n n = …………2分 由{}n f 为单调可测函数列知,)(x f 可测,且)()(x f x f n ≤ 于是 ??≤E E n dx x f dx x f )()( 从而 ??≤E E n n dx x f dx x f )()(lim …(*) ……6分 另一方面,因{}n f 为可测集q R E ?上的一列非负可测 函数,由Fatou 引理知 dx x f dx x f dx x f E n n E n n E ??? ≤=)(lim )(lim )( (**) …8分 由(*)、(**)两式即证 ??=E E n n dx x f dx x f )()(lim ….…10分 06-07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理:设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ 第一章习题解答 1、证明 A (B C)=(A B) (A C) 证明:设x∈A (B C),则x∈A或x∈(B C),若x∈A,则x∈A B,且x∈A C,从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C,则x∈B且x∈C,于是x∈A B且x∈A C,从而x∈(A B) (A C),因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C),若x∈A,则x∈A (B C),若x∈A,由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C,所以x∈B C,所以x∈A (B C),因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得,A (B C)=(A B) (A C) 。 2、证明 ①A-B=A-(A B)=(A B)-B ②A (B-C)=(A B)-(A C) ③(A-B)-C=A-(B C) ④A-(B-C)=(A-B) (A C) ⑤(A-B) (C-D)=(A C)-(B D) (A-B)=A B A-(A B)=A C(A B)=A (CA CB) =(A CA) (A CB)=φ (A CB)=A-B (A B)-B=(A B) CB=(A CB) (B CB) =(A CB) φ=A-B ②(A B)-(A C)=(A B) C(A C) =(A B) (CA CC)=(A B CA) (A B CC)=φ [A (B CC)]= A (B-C) ③(A-B)-C=(A CB) CC=A C(B C) =A-(B C) ④A-(B-C)=A C(B CC)=A (CB C) =(A CB) (A C)=(A-B) (A C) ⑤(A-B) (C-D)=(A CB) (C CD) =(A C) (CB CD)=(A C) C(B D) =(A C)-(B D) 实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明:若E 有界,则m E *<∞. 证明:若n E R ?有界,则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . (0M >充分大)使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证:设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零, 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ,只要 0m E μ*≤≤,就有1E E ?,使1m E μ*=. 证明:因为E 有界,设[],E a b ?(,a b 有限), 令()(),f x m E a x b *=?<< , 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与,不妨设a x x x b ≤≤+?≤, 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?. 实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明:设lim n n x A →∞ ∈,则N ?,使一切n N >,n x A ∈,所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ,则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ,所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此,n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ,0 2E ,2E 。 解:(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤, (){}222,1E x y x y =+< , (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?,对0>?ε,存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。 证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ?,使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n -≤-< , 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?,12 m E =。 解:在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ,接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间,以此类推,一般进行到第n 次时, 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间,剩下的n 2个闭区间,如此重复 下去,这样就可以得到一个闭的疏朗集,去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。 实变函数试题库及参考答案(5) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则___(\)A B B A A 2.设n E R ?,如果E 满足0 E E =(其中0 E 表示E 的内部),则E 是 3.设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??,则(,)a b 必为G 的 4.设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设,A B 为可测集,B A ?且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 6.设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是 7.若()E R ?是可数集,则__0mE 8.设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ?x E ∈(是否成立) 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则 ( ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 2.下列集合关系成立的是( ) (A )()()()A B C A B A C = (B )(\)A B A =? (C )(\)B A A =? (D )A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集,则 ( ) (A )0 E E = (B )E E = (C )E E '? (D )E E '= 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设{[0,1]}E =中的有理点 ,则( ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )0mE = (D )E 中的每一点均为E 的内点 实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数,则*0m Q =,()Q Q x χ可测,可测,有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可 测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时, 2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题(判断正误,正确的请简要说明理由,错误的请举出反例) 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。(×) 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。(√) 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×) 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ? 。 (×,比如{}()n f x 为单调递增时,由Levi 定理,这样的子列一定不存在。) 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×,比如课本上法都引理取严格不等号的例子。) 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ ≤?? 。 (√) 7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ ≥? ? 。 (×) 8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数,则()f x 必为[0,1]上的可测函数。 (√,Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系) 9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在,则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。 (√,注意到黎曼反常积分的定义的前提条件,对任意自然数0n >,()f x 在[0,]n 上 黎曼可积,从而()f x 是[0,]n 上的可测函数,进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数) 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数,()[0,1],n G f 表示()n f x 在 习题1.1 1.证明下列集合等式. (1) ()()()C A B A C B A \\=; (2) ()()()C B C A C B A \\\ =; (3) ()()()C A B A C B A \\\=. 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2.证明下列命题. (1) ()A B B A = \的充分必要条件是:A B ?; (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是:=B A ?; (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是:=B ?. 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是:.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立,则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾. 充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3.证明定理1.1.6. 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4.设f 是定义于集合E 上的实值函数,c 为任意实数,证明: (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ; (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ; (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →,则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 . 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成 。习题2.1 1.若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集,求b E E E E ,,,' . 解 E =?;[0,1][0,1]b E E E '===?。 2.设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ,求b E E E E ,,,' . 解 E =?;{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3.下列各式是否一定成立? 若成立,证明之,若不成立,举反例说明. (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???; (2) )()(B A B A ''=' ; (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ; (4) B A B A =; (5) ???=B A B A )(; (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ,{}n n E r =(单点集),则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是,总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ,{}n n E r =(单点集),则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是,总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =,(,)B b c =,则A B =?,而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =,而 ()(,)A B a c =,(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此, 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>,20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈,即 ()A B A B ?。因此,()A B A B =. 4.试作一点集A ,使得A '≠?,而?='')(A . 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =,则{0}A '=,()A ''=?. 5.试作一点集E ,使得b E E ?. 解 取E =Q ,则b E =R 。 6.证明:无聚点的点集至多是可数集. 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集,所以只要证明:任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈,都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球(即中心为有理点、半径为正有理数的开球)(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈,从而 (,){}x x B P r A x =。显然,对于任意的,x y A ∈,当x y ≠时,有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠, 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =,则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可 [0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是() A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案:A [单选题]2.闭集减去开集是() A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案:B [单选题]3.可数多个开集的交是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [单选题]4.可数多个闭集的并是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [单选题]6.可数集与有限集的并是() A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案:B [判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案:正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是() A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案:C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数,则f(x)的间断点集是()A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案:C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数,E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案:A [单选题]10.波雷尔集是() A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案:C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案:正确 [单选题]1.开集减去闭集是()。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案:A [单选题]5.可数多个开集的并是() A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案:A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案:错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案:正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案:正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案:错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案:正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案:正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案:正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案:错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案:错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合,则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案:C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合,则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案:A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是() A:0 B:1 本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明:()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ,集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集,则一定存在可测集 δ G 型集 G ,使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?,A B ?可测,且()m A B ?<+∞,若()**m A B m A m B ?=+, 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数,G 为开集,F 为闭集,试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集,为什么? 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0,而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n (1,2,3,=L n ),试证()f x 可积分,并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列,若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数,+∞ 试卷一: 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 (C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都有 实变函数论考试试题及答案 证明题:60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明:设lim n n x A →∞ ∈,则N ?,使一切n N >,n x A ∈,所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ,则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ,所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此,n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?,对0>?ε,存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。 证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ?,使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n -≤-< , 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?,且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立,Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?,则存在{}{}i n n f f ?,使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>,则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上,()i n f x 收敛到()f x , 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x (单调序列的子列收敛,则序列本身收敛到同一极限)。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外,()n f x 收敛于()f x ,就是()n f x . 收敛到()f x 。 实变函数试题库及参考答案(4) 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) )(b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.(填“一定”“不一定”) 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1.设(){},001E x x =≤≤,则( ) A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2.设()f x ,()g x 是E 上的可测函数,则( ) A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3.下列集合关系成立的是() A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集,则 ( ) A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E = 实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则()\A B B U A B U (用描述集合间关系的符号填写) 2.设A 是B 的子集,则A B (用描述集合间关系的符号填写) 3.如果E 中聚点都属于E ,则称E 是 4.有限个开集的交是 5.设1E 、2E 是可测集,则()12m E E U 12mE mE +(用描述集合间关系的符号填写) 6.设n E ??是可数集,则*m E 0 7.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ?∈?,()E x f x a ??≥??是 ,则称()f x 在E 上可测 8.可测函数列的上极限也是 函数 9.设()()n f x f x ?,()()n g x g x ?,则()()n n f x g x +? 10.设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上 二、选择题 1.下列集合关系成立的是( ) 2.若n R E ?是开集,则( ) 3.设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数,则( ) 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设[]{}0,1E =中无理数,则( ) A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2.设n E ??是无限集,则( ) A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥(a 为自然数集的基数) 3.设()f x 是E 上的可测函数,则( ) A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限 4.设()f x 是[],a b 上的有界函数,且黎曼可积,则( ) A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. ( ) 2. 可数个可测集的并是可测集. ( ) 3. 相等的集合是对等的. ( ) 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. ( ) 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合,但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点,聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系? 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系? 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??,其中E 为[]0,1中有理数集,求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数,(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ,求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1.证明集合等式:(\)A B B A B =U U 2.设E 是[0,1]中的无理数集,则E 是可测集,且1mE = 3.设(),()f x g x 是E 上的可测函数,则[|()()]E x f x g x >是可测集 4.设()f x 是E 上的可测函数,则对任何常数0a >,有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5.设()f x 是E 上的L -可积函数,{}n E 是E 的一列可测子集,且lim 0n n mE →∞ =,则 实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题 《实变函数》试卷一 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数(C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都 _________________________________,则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”) 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例 1. 证明:()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明:若() B A A B -=,则()A B A A B ?-?,故A B ?成立. 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?,又x B ?∈,若x A ∈, 则 ()x B A A ∈-,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-,从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?. 另一方面, c x A B ?∈,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式和定理 9. 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证:若x A λλ∈∧ ∈,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(?λ∈∧) 成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈,这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的(4): ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证:若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ , 则 有 'λ∈∧ ,使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来,若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈,则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证:( )c x A λλ∈∧ ?∈,则x A λλ∈∧ ? ,故存在'λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈ ,则'λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴? ,从而()c x A λλ∈∧ ∈实变与泛函期末试题答案
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