《应用数学基础》教学基本 修订稿

说明：

1．本大纲适用各专业，一元微积分部分62学时，为各专业必修部分，新生入学第一学期讲授内容。

2．带 * 号部分，可根据各专业特点、要求，结合学时适当选取，学时可适当微调以符合各计划学时要求。

3．选定后将此说明部分删除。

基础部

2005年2月20日

基础课课程教学大纲

《应用数学基础》课程教学大纲

一、课程的地位、作用与任务

《应用数学基础》是三年制高等职业技术教育一门必修的公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础，同时也是学生将来生活、工作实践中的一个重要工具。

1．教育学生掌握微积分学的基本知识、基本运算以及现代数学中的基本思想和

基本方法。

2．培养学生具有建立生活和工作中实际问题的数学模型能力，并利用数学的方法完成必要的计算、分析和判断。

3．通过各个教学环节，利用各种教学手段引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力。让数学这一工具进入到学生的生活实践中去。

二、教学内容和教学要求

(I)微积分学模块

（一）一元函数微分学

1．知识点和教学要求

（1）掌握

函数的表示法，函数的定义域，函数的对应关系，极限的四则运算法则，利用函数的连续性求函数的极限，函数的和、差、积、商的求导法则，基本初等函数的求导公式，复合函数的求导法则，罗必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判定法，函数极值的判定及其求法，函数的最值及其应用，微分法则，微分公式。

（2）理解

函数的定义，函数的记号，复合函数的概念，极限的描述性定义，函数连续的概念，导数的定义，导数的几何意义与物理意义，微分的概念。

（3）了解

函数的性质，初等函数，函数的左、右极限，极限存在的充要条件，分段函数，反函数，无穷小，无穷大，无穷小的性质，函数及其极限与无穷小的关系，两个重要极限，初等函数的连续性，函数的间断点，闭区间上连续函数的性质，可导与连续的关系，隐函数的导数，由参数方程确定的函数的导数，反函数的导数，对数求导法，高阶导数及其物理意义，微分的几何意义，微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，中值定理的几何解释，曲线的凸凹性，函数的作图等。

（4）其它

微分在误差中的应用，弧微分、曲率及其计算，曲率圆、曲率半径。

2．能力培养要求

（1）通过极限、导数、微分等概念的学习，使学生明确数学知识是来源于实践、服务于实践，培养学生辩证唯物主义的思想观点，认识客观世界的变化规律和联系。

（2）通过学习极限的运算、导数运算、微分法则、微分公式等知识，使学生具有一定的逻辑推理能力和极限、导数、微分的基本运算能力。

（3）通过函数图像的组合与分解、极限、导数、微分的几何意义，曲线的基本特性、函数图像描绘等知识的学习，逐步培养学生的数形结合能力。

（4）通过函数关系式的建立、最值的应用、微分在近似计算中的应用等知识的学习，使学生逐步具有分析和解决简单的实际问题的能力。

（二）一元函数积分学

1．知识点和教学要求

（1）掌握

基本积分公式，不定积分的性质， Newton-leibniz公式，简易积分表的使用，定积分在几何、物理上的应用。

（2）理解

原函数的概念，不定积分、定积分的定义，定积分的几何意义。

（3）了解

不定积分的几何意义，不定积分与导数的关系，定积分的性质，变上限积分函数的导数，积分的换元法、分部积分法，广义积分的定义及计算。

2．能力培养要求

（1）通过学习不定积分的性质，基本积分方法，牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式等知识，使学生具有积分的基本运算能力和一定的逻辑思维能力。

（2）通过对不定积分几何意义，定积分的几何意义和定积分的应用等知识的学习，使学生具有一定的数形结合能力和空间想象力，并具有分析、解决实际问题的能力，逐步形成自觉运用数学这一工具的意识。

（3）通过学习简易积分表的使用，培养学生利用计算工具的能力。

（三）微分方程

1．知识点和教学要求

（1）掌握

可分离变量方程的解法，一阶线性方程的解法。

（2）理解

微分方程的基本概念。

（3）了解

可降阶微分方程的解法，齐次方程的解法，线性方程解的结构，二阶常系数线性方程的解法，常数变易法。

（4）其它

微分方程的简单应用。

2．能力培养要求

（1）通过学习微分方程的概念和解法，培养学生的微分与积分的综合计算能力和较强的逻辑思维能力。

（2）通过学习微分方程的简单应用，逐步培养学生的数学建模能力和分析、解决实际问题的能力。

（四）级数

1．知识点与教学要求

（1）掌握

正项级数的比较、比值、根值审敛法，P级数、几何级数的敛散条件，莱布尼兹（Leibniz）定理，函数的幂级数展开式。

（2）理解

无穷级数的概念，无穷级数敛散性概念，级数收敛的必要条件，绝对收敛与条件收敛的概念，级数与数列的关系。

（3）了解

无穷级数的基本性质，交错级数，幂级数的和的连续性，幂级数的收敛半径和收敛区间，逐项积分与逐项微分的性质，泰勒公式，函数的幂级数的应用，幂级数四则

运算的性质，泰勒（Taylor）级数，傅立叶级数的应用。

（4）其它

函数的傅立叶（fourier）级数，奇函数和偶函数的傅立叶（Fourier）级数，函数展开为正弦级数或余弦级数，任意区间上的傅立叶级数，傅立叶级数的复数形式。函数展开为傅立叶级数的充分条件。

2．能力培养要求

（1）通过学习无穷级数的概念，无穷级数收敛的概念，函数的幂级数展开等知识，使学生认识有限与无限的关系，具有用有限的知识去了解无限知识的科学方法。

（2）学习本章内容使学生对级数具有一定的运算、观察和分析能力。

（3）通过幂级数、傅立叶级数应用例题的教学，使学生初步认识到学习函数展开为幂级数、傅立叶级数的必要性。

（五）空间解析几何

1．知识点和教学要求

（1）掌握

方向余弦，两点间的距离公式，两矢量的夹角，两矢量垂直与平行的条件，平面方程的点法式、一般式、截距式，点到平面的距离，两平面夹角公式，直线方程的对称式、一般式，两直线的夹角公式，直线与平面的夹角公式。

（2）理解

矢量的概念，空间直角坐标系，矢量的线性运算，矢量的数量积、向量积，矢量的模，单位矢量，矢量的分解，矢量的坐标。

（3）了解

矢量在轴上的投影，直线方程的参数式，曲面与曲线方程的概念，球面方程。

（4）其它

空间曲线的参数方程，矢径，母线平行于坐标轴的柱面方程，旋转曲面，椭球面，椭圆抛物面，矢量的混合积。

2．能力培养要求

（1）通过对矢量知识的学习，使学生认识到矢量是解决问题的一种工具。培养学生矢量的运算能力。

（2）通过对空间解析几何的学习，培养学生从几何直观方面分析和观察问题，解决问题的能力，进一步培养学生的数形结合方面的能力。

（六）多元函数的微积分

1．知识点与教学要求

（1）掌握

偏导数及应用，全微分，二重积分的计算，二元函数极值及条件极值的求法。

（2）理解

多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，二元函数极值概念，二重积分的概念，条件极值的概念。

（3）了解

二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，多元复合函数的求导法则，高阶偏导数，全微分的几何意义，有界闭区域上连续函数的性质，二重积分的性质。

（4）其它

混合偏导数可交换求导次序的条件，全微分存在的充分条件，三重积分的概念，全微分在近似计算中的应用，曲线积分的概念。

2．能力培养要求

（1）在一元函数微积分的基础上，通过对多元函数微积分概念的学习使学生进一步认识导数、微分、积分的概念，培养学生对客观事物深层思考和观察的能力。

（2）通过对多元函数导数、微分、积分方法的学习，进一步培养学生的运算能力和逻辑思维、推理的能力。

（3）通过对偏导数应用，二重积分应用的学习，使学生具有较强的分析解决实际问题的能力。

II 技术数学模块

（一）线性代数

1．知识点与教学要求

（1）掌握

行列式的性质、计算，矩阵的运算，矩阵的初等变换，逆矩阵的求法（公式法、初等变换法）。矩阵秩的求法，用初等变换法解线性方程组。

（2）理解

行列式的概念，矩阵的概念，逆矩阵的概念，矩阵的秩的概念。

（3）了解

行列式的代数余子式，行列式的转置，三角行列式，矩阵的转置，三角矩阵，阶梯形矩阵，行列式与方阵的关系，克莱姆（Cramer）法则，用逆矩阵法解线性方程组。

2．能力培养要求

（1）通过行列式性质、矩阵运算等知识的学习，使学生具有行列式、矩阵基本运算能力，掌握一种新的计算方法，具有更强的解决实际问题的能力。

（2）通过克莱姆法则，用矩阵的逆、初等变换解线性方程组，使学生掌握解线性方程组的新方法，结合计算机，使学生具有对复杂线性方程组的求解能力。

（二）概率初步

1．知识点与教学要求

（1）掌握

古典概型，概率的加法、乘法公式，0-1分布，二项分布，正态分布及其简单应用，数字特征计算。

（2）理解

随机事件，概率及其性质，条件概率，随机变量，概率分布，数字特征。

（3）了解

事件的运算，贝努里（Bernoulli）概型，泊松（S.D.Poisson）分布，均匀分布。

2．能力培养要求

（1）培养学生用随机变量描述随机事件的能力，并具备计算古典概率的能力。

（2）运用数字特征的基本性质分析实际问题的能力。

（三）数理统计初步

1．知识点与教学要求

（1）掌握

样本均值，方差的计算，点估计，区间估计的方法，假设检验的基本步骤。（2）理解

总体、个体、样本、统计量、点估计，区间估计、假设检验。

（3）了解

常用统计量的分布，一元线性回归分析。

2．能力培养要求

利用观察所得资料对随机变量的数字特征、分布函数等进行估计、分析和推断。

三、学时分配

四、几点说明

1．本教学基本要求适用于招收高中毕业生，学制为三年的高等职业技术教育各专业。

2．本课程包括微积分学、技术数学两部分，学时分别为94和62左右。带*部分根据各专业特点选取不同内容。

3．考核方式：微积分学中一元函数微分数、一元函数积分学、微分方程以目标控制为主，带*部分以过程控制为主。

4．各教学单元重点、难点、深广度的教学说明

（1）一元函数微分学

重点：函数的概念和性质，导数的概念和计算，函数极值求法。

难点：复合函数，极限概念，复合函数导数的计算。

（2）一元函数积分学

重点：不定积分、定积分的公式，定积分的应用。

难点：求积分，定积分的概念和应用。

（3）微分方程

重点：一阶线性微分方程。

难点：常数变易法。

（4）级数

重点：常数项级数敛散性的判定。

难点：将函数展开成幂级数。

（5）解析几何、矢量代数

重点：矢量概念及用坐标进行矢量运算。

难点：点、线、面之间的关系。

（6）多元函数微积分

重点：偏导数、全微分、极值的求法。

难点：复合函数求偏导，二重积分的定义及积分限的确定，二重积分计算。（7）线性代数

重点：行列式、矩阵的运算，初等变换、高斯（Gauss）消元法。

难点：矩阵的秩，求线性方程组的解。

（8）概率初步

重点：古典概型、随机变量的概念，正态分布及其简单应用，数字特征。

难点：概率的加法、乘法公式，随机变量的概念。

（9）数理统计初步

重点：样本均值方差、计算，区间估计，假设检验。

难点：区间估计，假设检验。

5．作业

（1）结合讲授内容，加强基本概念和基本公式运用的练习，注意习题的典型性。（2）题量根据内容选定，以中等程度的学生在1小时左右内完成为宜。

6.推荐教材和参考书目

（1）《应用数学基础》兵器工业出版社李文丰主编

（2）《高等数学》高等教育出版社同济大学应用数学系主编（3）《高职高专数学教程》高等教育出版社谢国瑞主编

（4）《高等数学》高等教育出版社侯风波主编

（5）《概率论与数理统计》中央广播电视大学出版社李林曙主编

（6）《经济应用数学》重庆大学出版社何良材主编

数学教研室 2004年6月