高中数学 定积分的概念课件

曲”:
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b - .a i =1 i =1
小矩形面积和S= f (xi )Dx = f (xi )
n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
a
b
b-a 即 dx= = lim xfi。 (xi ) lim f (x)dx，即 )) dx f (x i)D aa ff((xx n 0 n i =1 i =1
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , xi-1, xi ,, xn-1, b, 每个小区间宽度⊿x =
b-a n
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
(2)取近似求和:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
y
y=-f (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S = [- f ( x)]dx
a b
S = [- f ( x)]dx
a
=b
a
b
f ( x)dx ． ，
a a
三:
定积分的基本性质
性质3.
定积分关于积分区间具有可加性
b

a
f ( x )dx = f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y =f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx = f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx = a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
f )( dx x)dx = = f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f= )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为
S= f (x)dx；
a
b
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间 v = v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v
s= v(t)dt。
a
b
O
a
b
t
y
y = f ( x)
a
b
x
积分上限
f (x i )Dx i a f ( x )dx = I = lim 0 i =1
积分下限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
定积分的定义： 即

b
a
b-a f ( x)dx = lim f (xi ) n n i =1
n
bb
n
n
定积分的定义： 即

b
a
b-a f ( x)dx = lim f (xi ) n n i =1
n
定积分的相关名称： ———叫做积分号， y f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S = f ( x)dx = x dx = 0 0 3
v
2
f(x)=x2
S= 1 3
1
g gg
D S1 DS2 D S3 DS4
g
v(t ) = - t 2 + 2
D Sj
O
n
x
gD S
g
根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S = v(t )dt = (-t 2)dt = 0 0 3
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
O
a
c
b
x
例1：利用定积分的定义,计算 x3 dx 0 的值.
1
练习：Ｐ５５-５６Ａ组３，４Ｂ组１，４，３
作业：Ｐ５６Ａ组５（４）Ｂ组２
c b
O a
b c
b x
= S f (x)dx a f (x)dx =a c
b
f (x
= S f (x)dx a f (x)dx =a c
f (x)dx。
y=f ( x)
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 y=f ( x) 的面积? y
S = S1 - S2 = f ( x)dx - g ( x)dx
1.5.3 定积分的概念
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
t
O
1 1 2 3 j n - 1
n n n n
n
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx = a f (t)dt =a
(3)
b
b
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
a f(x)dx = - b f (x)dx
i
f(xi)Dx近似之。
y =f ( x)
n
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值： S
n
f (x )Dx
i =1 i
(3)取极限:，所求曲边梯形的 面积S为
S = lim f (xi )Dx
n i =1
O
a
xi xi xi+1 Dx

b
x
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
b
a
(2)定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y= f ( x)
b
a f (x)dx = a f (x)dx c
O a
b a
b
c
b
f (x)dx。
b x
特别地，当 a=b 时，有 f (x)dx=0。
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
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矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
a a
b
b
S1 = y )dx = fg ( x)
b
S2 = g ( x)dx
a
a
b
O
a a
b x
三:
定积分的基本性质
性质1.

b
a
kf ( x )dx = k f ( x )dx
a
b b
b
性质2.

b
a
[ f ( x ) g( x )]dx = f ( x )dx g( x )dx
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，