第三章 椭圆方程迭代法介绍

第三章 椭圆型问题的差分法

§3－1 流体力学中的椭圆型问题

·无旋流场中 速度势02=∇ϕ （Laplace Eq.） ·二维不可压定常流动，利用涡－流函数表示：

⎪⎩⎪

⎨⎧-=∇∇=∇⋅+∂∂方程Poisson V t

ζ

ϕζυζζ22

·不可压分离流问题中，扰动压力场：02='∇p

·定常的N －S 方程求解问题

·在网格自动生成中，求解椭圆型方程的网格生成方法 由于椭圆型方程的数学性质：求解域内部任何一点的解函数依赖于所有边界上的边界条件，因此从数值计算方法来看，就不能从一部分边界起步进行推进计算到另外的边界，这与发展方程的求解方法有很大的差别，椭圆型方程的数值求解方法，只能是在整个流场中进行迭代计算来求解。

§3－2 椭圆型问题的迭代法求解

（一）迭代法的基本概念

例：方程ζψ=∇2 （ Poisson 方程） 二维

ζψψ=∂∂+

∂∂2

22

2y

x

差分离散

j i j i j i j i j

i j i j i y x ,2

1

,1,1,2

,1,,1)

(2)

(2ζψψψψψψ=∆+-+

∆+---+-+ ………………..(*)

写成矩阵形式代数方程组为： B A =ψ (1)

其中 ⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎢⎣

⎡=

A ⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ψJ I j i ,,2,11,1ψψψψ 一般地，对于线性方程组有B A =ψ，欲求未知函数ψ的解矢量 若A 为非奇异矩阵，即：∃1

-A ，则B A 1

-=ψ

由于A 是个阶数甚大的矩阵（非三对角），直接求解，或利用Gauss 消去法求逆矩

阵，计算量及所需计算机的内存都将十分巨大，所以在实际计算中不希望采用直接法求解。

迭代法的基本思想是：定义一个序列)

(k ψ，当∞→k 时，B A k 1

)(-→ψ，从而得到

方程(1)的解。

迭代法设法给出[]

)()2()1()(,,,,r k k k k k B A F ---ψψψ=ψ 的迭代关系。（通常为计算方便，迭代法采取1=r ，使之简单）

[]

)1()(,,-ψ=ψk k k B A F

若k F （即迭代关系式）与迭代步k 无关，则称为平稳迭代； 若k F 是)

1(-ψ

k 的线性函数关系，则称为线性迭代。

例如最简单的线性迭代关系可设为：)()1()()

(k k k k V H +ψ=ψ- (2)

若迭代是有效的，则)()

(k k V H

+ψ=ψ

即)(1)

(1

k k V B A H

B A +=-- (3)

B M B A H I V k M k k k )(1)()()

()(=-=∴-

即 B M H k k k )()()

(+ψ=ψ

且 1)

()(--=A H I M

k

或 I MA H =+

● 研究迭代的收敛性：

引入误差：B A E

k k 1)()

(--ψ=

而由(2)-(3)得：)(1)1()(1)

(B A H B A k k k ----ψ=-ψ

即 )1()()

(-⋅=k k k E H E

或有递推关系式：)

0()2()1()()

(E H H H HE H E H E k k k k k

个

⋅==⋅=⋅=-- 由于)

0(E

是初始解与精确解的误差，应是一个有界的任意函数，故迭代矩阵H 应具有：

当∞→k 时，0lim =⋅∞

→Z H H H k

k

，Z 为任意的有界向量函数。 可以证明：（参阅 “偏微分方程的有限差分方法”P239）

● 对于任意的向量Z ，

0)1()1()

(→-Z H H H k k 的充分必要条件是H 的所有的特征值i λ的

绝对值（即谱半径）都小于1。

推论 当k 很大时，)(~)()

1(H E E

k k ρ+ i i

H λρm a x )(=

所以若1~ρ，则迭代法的收敛速率很慢。

二、几种迭代法介绍

1． Jacobi 迭代 (简单点迭代)

由方程 B A =ψ

将矩阵分解为：A=L+D+U

L ：主对角线以下的元素 ij a （i>j 时等于A ，其余为零） D ： 主对角线元素

U ： 主对角线以上的元素 ij a （i

B U D L =ψ++)(

B U D L k k k =ψ+ψ+ψ--)1()()1(

B D U L D k k 1)1(1)()(---+ψ+-=ψ∴

)(1D L D H +-=∴-, 1-=D M , B D V 1-=

H ，M 可以验证满足迭代有效性条件，即I MA H =+

2、Gauss-Seidel 点迭代

类似1 但是 B U D L k k k =ψ

+ψ+ψ-)

1()()( B D L UW D L k k 1)1(1)()()(---+++-=ψ∴

在实际计算中 L 中（i>j ）只要遵循已有新值时，用新值，没有新值时用旧值，即为G-S 。

*往返扫描的Gauss-Seidel 迭代，即

step1: B U D L k k k =ψ

+ψ+ψ-)

1()()( step2: B U D L k k k =ψ+ψ

+ψ++)1()

1()(

3、SOR （逐点松弛迭代）

step1. 用G －S 迭代法求中间值，即

B U D L k k k =ψ+ψ+ψ-)1()()( …………………………………(a)

step2. )1((*))

()1(-ψ-+ψ=ψ

k k ωω …. …………………………….(b)