9.2空间曲面的切平面与法线

0,
切平面方程 4( x 1) 2( y 2) 0 (z 0) 0;
法线方程
x 1 y 2 z 0.
2
1
0
例2 求曲面 z x2 y2 1在点(2,1,4)处的 切平面和法线方程.
解 令 F(x, y,z) x2 y2 1 z,
f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
例4 求球面 x2 y2 z2 1在点( 1 , 1 , 1 )处的 333
切平面和法线方程.
解 令F ( x, y, z) x2 y2 z2 1,
所求切平面的法向量为: n { 2 , 2 , 2 }, 333
曲线在M处的切向量
T {x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )},
F[x(t), y(t), z(t)] 0,
Fx (M ) x(t0 ) Fy (M ) y(t0 ) Fz (M ) z(t0 ) 0,
令 n {Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )}
切平面 上点的 竖坐标 的增量
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
z f ( x, y)在( x0 , y0 )的全微分，表示 曲面 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处的
切平面上的点的竖坐标的增量.
三、小结
切向量
◆空间曲线的切线与法平面
例1 求曲面 z ez 2xy 3在点(1,2,0)处的 切平面和法线方程.
解 令 F( x, y, z) z ez 2xy 3,
Fx
(1,2,0)

2y (1,2,0)

4,
F y (1,2,0)

2x (1,2,0)

2,
Fz (1,2,0)

(1
ez ) (1,2,0)
n { fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 ),1}, 曲面在M处的切平面方程为:
fx ( x0 , y0 )(x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为: x x0 y y0 z z0 .
切平面方程为:
( x 1 ) ( y 1 ) (z 1 ) 0,
3
3
3
即 x y z 3;
法线方程为: x y z.
◆全微分的几何意义: 曲面: z = f ( x, y ) 在M处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
即 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
则
n

T,
切平面方程为:
Fx (M )( x x0 ) Fy (M )( y y0 ) Fz (M )(z z0 ) 0
法线方程为: x x0 y y0 z z0 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
9.2曲面的切平面与法线
二、曲面的切平面与法线 设曲面方程为 F ( x, y, z) 0, 切平面 法线
n
T
M
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
x x(t)
:

y

y(t ) ,
z z(t )
பைடு நூலகம்
曲线在M处的切向量
T {x(t0 ),
y(t0 ), z(t0 )},
法向量 ◆曲面的切平面与法线
x x(t)
1.

y

y(t ),
T { x(t), y(t), z(t)};
曲面的方程写为
z z(t )
F ( x, y, z) 0,
2.

y z

y( x) ,
z( x)
T {1, y( x), z( x)};
n(2,1,4) {2x, 2 y, 1}(2,1,4) {4, 2,1},
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) (z 4) 0;
法线方程为 x 2 y 1 z 4 .
4
2 1
◆注：空间曲面方程形为 z f ( x, y)
令 F(x, y,z) f (x, y) z, 曲面在M处的切平面的法向量为:
切平面的法向量为
F(x, y,z) 0 3. G( x, y, z) 0 , T {J , J1, J2};
n {Fx , Fy , Fz } M .
Thank you!