5.6几何证明举例(3)——线段的垂直平分线的性质和判定
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当点P不在线段AB上时
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． A 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
M P B N
性质：线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距 离相等。
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等。 ）
证明线段垂直平分线的性质
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为M， P 是直线CD上任意一点 ． C 求证：PA =PB． P （1）当点P不与点M重合时 A M B D
B
D
E
C
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平 分线上．
P
A
C
B
证明线段垂直平分线的判定
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
4.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分 CAD. 求证:AD∥BC.
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又∵ AB平分CAD(已知) 3 B ∴ 1= 2(角平分线的定义) O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
A
E
D
B C
3.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ A= ABD (等量代换) ∴ AD=BD(等角对等边) D ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 30o 条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.) C B
B B
（2）当点P与点M重合时
C
A A M (P)
C
M
D D
M P B N
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等。 ）
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ． 于______ A
当点P在线段AB上时
P
C
B
M P
A
N
B
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （和一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段 的垂直平=CD，AC，BD相交于E，由这些条件 你能推出哪些结论 ?并证明。
D
A
E
C
B
• 如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分 别在AB，BC，AC上，且PB=QC， QB=RC． • 求证：点Q在PR的垂直平分线上．
A
C
F
E
B
如图，在△ABC中，EF是AC的 垂直平分线，AF=12，BF=3，则 BC=__________．
A E B C
F
2.如图，△ABC的边BC的垂直平 分线交AB于点D。若△ABC的周 长为30cm， △ADC的周长为 22cm，求BC的长
D
A
B E
C
自学检测三：
2.如图,在△ABC中, ∠C=2∠A ,DE 垂直 平分AB交AC于D,交 AB于E. 求证：AD=BC.
A
R P B Q C
1.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
B 2
1 75o C
N
如图，△ABC中，∠CAB=120º ， AB， AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， 则∠EAF等于（ ） A．40º B．50º C．60º D．80º
尺规作图
如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线 的垂线？ （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ 1 （2）为什么要以大于 DE 的长为半径作弧？ 2 （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ C D A
E K
F B
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD ∴ MN⊥AB ， ； A D B 2.垂直平分线的性质： ∵MN是AB的垂直平分线 N ∴ PA＝PB （ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 （ ）
A
1 2
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE． D C ∴ AB =AC =CE．B ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
E
5.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平 分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证: CAF= B. A
2 1 E 3 B D C
F
课堂练习
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上， ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D C 平分线．
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． A 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
M P B N
性质：线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距 离相等。
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等。 ）
证明线段垂直平分线的性质
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为M， P 是直线CD上任意一点 ． C 求证：PA =PB． P （1）当点P不与点M重合时 A M B D
B
D
E
C
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平 分线上．
P
A
C
B
证明线段垂直平分线的判定
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
4.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分 CAD. 求证:AD∥BC.
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又∵ AB平分CAD(已知) 3 B ∴ 1= 2(角平分线的定义) O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
A
E
D
B C
3.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ A= ABD (等量代换) ∴ AD=BD(等角对等边) D ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 30o 条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.) C B
B B
（2）当点P与点M重合时
C
A A M (P)
C
M
D D
M P B N
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知） ∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等。 ）
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ． 于______ A
当点P在线段AB上时
P
C
B
M P
A
N
B
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （和一条线段两个端点 距离相等的点，在这条线段 的垂直平=CD，AC，BD相交于E，由这些条件 你能推出哪些结论 ?并证明。
D
A
E
C
B
• 如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分 别在AB，BC，AC上，且PB=QC， QB=RC． • 求证：点Q在PR的垂直平分线上．
A
C
F
E
B
如图，在△ABC中，EF是AC的 垂直平分线，AF=12，BF=3，则 BC=__________．
A E B C
F
2.如图，△ABC的边BC的垂直平 分线交AB于点D。若△ABC的周 长为30cm， △ADC的周长为 22cm，求BC的长
D
A
B E
C
自学检测三：
2.如图,在△ABC中, ∠C=2∠A ,DE 垂直 平分AB交AC于D,交 AB于E. 求证：AD=BC.
A
R P B Q C
1.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
B 2
1 75o C
N
如图，△ABC中，∠CAB=120º ， AB， AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， 则∠EAF等于（ ） A．40º B．50º C．60º D．80º
尺规作图
如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线 的垂线？ （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ 1 （2）为什么要以大于 DE 的长为半径作弧？ 2 （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ C D A
E K
F B
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD ∴ MN⊥AB ， ； A D B 2.垂直平分线的性质： ∵MN是AB的垂直平分线 N ∴ PA＝PB （ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 （ ）
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课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE． D C ∴ AB =AC =CE．B ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
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5.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平 分AD交BC的延长线于F,连结AF.求证: CAF= B. A
2 1 E 3 B D C
F
课堂练习
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上， ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D C 平分线．