23《幂函数》PPT课件

( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - - y= x 0
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
在第一象限内,函( 4 y x 3 ( -
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
§2.3 幂函数
我们先来看几个具体的问题:
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她y需=要x 支
付P = _w__元___
__P__是___w_的函数
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = __a_²_
__S__是___a_的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = __a_³_
他们有以下共同特点： (1)都是函数； (2) 指数为常数.
(3) 均是以自变量为底的幂；
[定义:]
一般地，函数 y x a 叫做幂函数(power function) ，
其中x为自变量，a 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘＫ 的形式，
其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．
问题: 你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
V是a的函数
y=x3
(4)如果一1 个正方形场地的面积为
___a____S _2_
a是S的函数
S,那么1 正方形的边长 y=x2
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度
v=__t_⁻¹_k__m_/_s__
v是t 的函数
y=x-1
思考: 以上问题中的函数具有什y么共x 同a 特征?
知识点三 一般幂函数的图象特征
思考
类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质. 答案 y＝x3与y＝x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同. 只不过当0<x<1时，x5＝x3·x2<x3，当x>1时，x5＝x3·x2>x3，结合 两函数性质，可得图象如下：
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通 过点(1,1);
(2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且在区 间[0,+∞)上是增函数；
(3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞)上是减 函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图 象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于+∞时，图象 在y轴上方无限地逼近x轴；
结合图象，研究性质：定义域、值域、单调
性、奇偶性、过定点的情况等。
研究
1
y=x y x 2 y x 3 y x 2
y x 1
y= x0 在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.
y=x
x
1
y x 2 y x 3 y x 2 y x 1
… -3
-2 -1 0 1
2
y= x0
3…
y x … -3
数图象的变化趋势
y x 2
3
y 1
与指数有什么关系
2
y x 2
(
?
( 1 ( y x - - y= x 0
- - 6 - 4 2 2 4 6
- 在第一象限1 内， ( 当k>0时，图象随x增大而上- 升。
- 当k<0时，2 图象随x增大而下降
-3
wenku.baidu.com
-4
不管指数是多少( , 4 y x 3 ( -
图象都经过哪个定
-2 -1 0 1
2
3…
y x2 … 9
4
10 1
4
9…
y x 3 … -27
1
y x2 … \
-8 -1 0 1
\
\01
8 27 …
2
3…
y x 1 … -1/3 -1/2 -1 \ 1
1/2 1/3 …
4
3
2
1
(1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
2
4
6
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
2
4
6
-1
( -1,- 1)
x -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y
2
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
( x 0 1 2 - 4
-2
1
- y x 2 03 1 2 2
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y=x2 9 4 1 0 1 4 9 2
y=x
1
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
3
2
(2,4) y=x
1
(-1,1)
(1,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
-6
(-2,4 4 )
3 2
( 2, 4) y x 2 =
y=x
-4
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
指数函数：解析式 y a x ，底数为常数a，a>0，
a≠1，指数为自变量x；
幂函数：解析式 y
xa
，底数为自变量x，
指数为常数α， α∈R；
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
1
(1) y=x4
(2) y
1 x2
(4) y x 2
(5) y=2x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+2
下面研究幂函数 y x a .
y x 2 3 y 1
点?
2
y x 2
(
( 1 ( y x - - y= x 0
- - 6 - 4 2 2 4 6
- 在第一象限内，1 ( 当k>0时，图象随x增大而上升。 -
当k<0时，图象随x增大而下降。
-2
- 图象都经过点3 （1，1） - K>0时,图象4 还都过点(0,0)点
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
3 y
2
( ( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
-3
-4
( 4 y x 3 ( y x 2
3 y 1 y x 2
2
(
( 1 ( -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
x -3 -2 -1 1 2 3
-2
y x1
- -1/3 3 -1/2 -1 1 1/2 1/3
-4
y=x
y=x2
1
y=x3 y=x 2
y=x-1
定义域 值域
奇偶性 单调性
R
R
奇
在R上 增
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
［0,+∞）
偶
R ［0,+∞）
非奇
奇
非偶
{y|y≠0}
奇
在（-∞，0]上减, 在R上增 在［0，+∞）上增，
在［0，+∞在）（-∞，0)上减， 上增， 在(0，+∞)上减
公共点
(1,1)
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时， 幂函数为偶函数．
说一说
判断正误
1 1.函数f(x)=x+x 为奇函数.
2.函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.
3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0] 上是递增的,则f(x)在[0,+ )上也是递增的.
4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在(-,0] 上是递减的,则f(x)在[0,+ )上也是递减的.