有限差分法基础

2x
则对流方程在 (xi , t点n )对应的差分方程为
n1 i
in
n
n
i 1
i 1
0
t
2x
差分方程的建立过程
差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：
in1
in
t 2x
(in1
n i 1
)
i0 (xi )
观察上述差分格式可看出：若知道第 层n的 ，可 由一个差分式子直接算出第 n 层1 的 ， 故称这类格式 为显式格式。
有限差分法基础
数值离散概述
有限差分法求解微分方程（如流体控制方程）的基 本过程是： ①将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替 连续的求解域，将待求解的变量（如密度、速度等） 存储在各网格点上 ②将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而 将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有 离散点上的有限个未知变量的差分方程组。 ③求解该差分方程组，也就得到了网格点上变量的数 值解。
由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量 差分的量级，称为用差商代替导数的精度。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差
差分和逼近误差（二阶导数）
二阶中心差分：
差分和逼近误差（二阶导数）
二阶中心差分：
差分方程的建立过程
差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分 和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限 形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。
显式有限差分模板：
时间推进：
第一个例子的求解结果
求微分方程：
u x u 0
u x ex u 0
sin x
2 cos x ,0
x
的数值解。
第一个例子的求解结果
精确解：
ux ex sinx
热传导方程的求解
例 考虑长度为1的均匀 直杆，其表面是绝热的， 而且杆截面足够细，可
2
y 2
f
Laplace方程：
2
x2
2
y 2
0
时间一维空间一维的例子
以对流方程说明差分方程的建0立过程。
t x
(x,0) (x)
差分方程的建立过程
1.划分网格
选定步长 x和 t ，然后在坐标平面用平行于坐标轴 的两族直线划分网格：
xi x0 ix, tn nt
i 0, 1, 2, ..., n 0, 1, 2, ...,
x
x
中心差商
y f (x x) f (x x)
x
2x
差分和逼近误差
由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的 差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。 因此在数值计算中常用差商近似代替导数。
差分和逼近误差
用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。
差分和逼近误差
差分和逼近误差
逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程 度。
3.0 100 68.8 45.3 21.9 14.1
0.5 0.6 0.7
0
00
00
0
00
0
00
12.5
0 6.25 12.5
6.25 6.25 21.9
6.25 14.1 21.9
显式有限差分模板：
热传导方程的求解
x
t T 0.0 0.1 0.0 100 0
0.2 0.3 0.4
00
0
0.5 100 50 0
0
0
1.0 100 50 25 0
0
1.5 100 62.5 25 12.5 0
2.0 100 62.5 37.5 12.5 6.25 2.5 100 68.8 37.5 21.9 6.25
以把断面上的所有点的温度看成是相同的。x 轴取为沿
杆轴方向，x 0, x 1 对应杆的端点，则杆内温度分布
T (x,t) 随时间变化由下面的扩散方程来描述：
T t
2T x 2
T (x,0) 0
T (0, t) 100
T (1, t) 100
热传导方程的求解
时间导数用一阶向前差商近似代替：
T
n
T n1 i
Tin
t i
t
空间导数用二阶中心差商近似代替：
2T x 2
n i
Ti
n 1
2Tin x 2
Ti
n 1
Ti n1
Tin
t x 2
(Ti
n 1
2Tin
Ti
n 1
)
取 10 2 , x 0.1, t 0.5，则最终的差分方程：
Ti n1
1 2
(Ti
n 1
Ti
n 1
)
热传导方程的求解
有限差分法求解示例
求微分方程：
u x u 0
u x ex u 0
sin x
2 cos x ,0
x
的数值解。
离散网格点
x0 x1 x2 x3
xn-1 xn
差商代替微商
令
h M , xi ih
得到差分格式
ui1
2ui h2
ui1
ui
fi
u0 uM 0
得到的线性方程组
Au F
其中
2 1 0
A
1
1
2
h2 1
0 1 2 M 1
1 0 0 1 0 0
0 0 1
M 1
差分和逼近误差
差分概念：
设有 x 的解析函数 y f (x)，函数 y 对 x 的导数
为：
dy lim y lim f (x x) f (x)
dx x0 x x0
x
dy dy、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数对 自变量的导数，又称微商。上式中的y、x 分别称为 函数及其自变量的差分，y 为函数对自变量的差商。
2.针对某一点，用差商近似代替导数
对流方程在 (xi ,点tn )为
n
n
0
t i x i
t
tn1 tn tn1
o
x xi1 xi xi1
t
x
差分方程的建立过程
时间导数用一阶向前差商近似代替：
n
n1 i
in
Leabharlann Baidu i
t
空间导数用一阶中心差商近似代替：
n
n i 1
n i 1
x i
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于
复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程：
对流方程：
0
t x
对流－扩散方程：
t
x
2
x 2
热传导方程：
t
2
x 2
Poisson方程：
2
x 2
x
差分和逼近误差
差分的三种形式（一阶）：
向前差分 y f (x x) f (x)
向后差分 y f (x) f (x x)
中心差分 y f (x x) f (x x)
与其对应的差商的三种形式（一阶）：
向前差商
y f (x x) f (x)
x
x
向后差商
y f (x) f (x x)