流体力学第二章(一)压强规律及平面压力

2
静 水 总 压 力 P A p b 4233 1269kN
P作用点距闸门底部的斜距
h1
e l(2h1 h2 ) 4.5 (28 11.18)
3(h1 h2 )
3(8 11.18)
h2
2.13m
e
总压力P 距水面的斜距
yD
(l h1 ) e (4.5 8 ) 2.13
yc
I xC yc A
任何平面图形对任何轴的惯性矩等于 它对平行于该轴的形心轴的惯性矩
与图形面积乘以两平行轴间距平方之和
总压力作用点D一般在受压 面形心C之下； 仅当压强在受压面上均匀分 布时，两者重合。
如图所示，在一底边b为0.5m的梯形水槽中， 铅直插入一块闸板，水槽的边坡角为60°，求闸板所 受的静水总压力和压力中心。
下 底 静 水 压 强 p2＝h2
＝ (h1 l sin45) 9.811.18 109.6kN / m2
/
m 2，
h2 h1 l 8 4.5 11.18m
sin45 sin45
压 强 分 部 图 底 面 积A：p 1
1 2
(h1
h2 ) l
( 78.4 109.6 ) 4.5 423kN/m
py d Ay pn d An cos(n, y) Y dV 0
z
px
py dz pn n
d
An
cos(n, y)
1 2
d
x
d
z
倾斜面积 d An 的Y轴为法线的投影就是d Ay。
dx dy pz
dV 1 d xd yd z
o
y
6
x
1 2
dxdzpy
1 2
dxdzpn
1 6
dxdydzY
0
A
§ 5.1.2 静水总压力的作用点
PyD ydP yy sin dA
A
sin y2dA sin I xO
A
（惯性矩平行移轴定理 ）
yD
sin I xO
P
sin I xO sin yc A
I xO yc A
I xO I xC Ayc2
yD
I xC Ayc2 yc A
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向 静水总压力的方向垂直并指向受压面。
§ 5.1.2 静水总压力的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
A
A
y2dA I xO 受压面面积对Ox轴的惯性矩
S1
S2
F2=F1/S1×S2
2.3.2 帕斯卡原理
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
• 在静水压强分布公式
z p C
g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
压强势能（压能）：
p
pA /
pB / 测压管高度(压强水头) ： g
zA
zB
单位势能： 测压管水头：
z
p0
γ h r
0
w
at
h
c
代入得 h 8.4 78 98 2.898m 9.8
有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁倾角300，被油湮 没部分壁长L=5m，自由表面上的压强p0=pat=98KN/m2，油的容 重油=7.8KN/m3，问槽底板上压强为多少？
解：h l sin30 2.5m
➢ 当四面体微元趋于M点
时，注意到质量力比起表面 力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz
pn px py pz
z
px
py dz pn n
dx dy pz
o
y
x
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静压强
2.1 流体静压强及其特性
2.1.1 流体静压强的定义
流体静压强：
静止流体作用在每单位受压面积上的压力。
平均压强
p P A
点压强 p lim P A0 A
压强表示方法
①N/m2、kN/m2 或Pa、kPa ②以液柱高度表示：h=p/。可以用水柱，也可用汞柱。 ③以大气压强的倍数表示。 一个标准物理大气压=1.013kg/cm2≈一个工程大气压 =1 kg/cm2=10米水柱=736毫米汞高=98kN/m2=0.1Mpa
相对压强（计示压强或表压强）：
以当地大气压强为计算零点。---pr
真空值： 当绝对压强小于大气压强时，相对压强为负
值，负值的相对压强的绝对值。-------pv pv=pat-pabs=︱pabs- pat︱= ︱pr︱
2.1.2 流体静压强的特性
• 流体静压强的方向沿作用面的内法线方向
n Pn
0
0
z
各式相加得：
X
Y
Z
1
p x
p y
p z
0
欧拉平衡微分方程的全微分方式：
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
进行变换，可得：
Z
1
p z
0
p dx p dy p dz Xdx Ydy Zdz
x y z
即： dp Xdx Ydy Zdz
静压强的分布规律完全由单位质量力决定。
梯形：距底边 e L (2h1 h2) 3 (h1 h2)
沿宽度方向：在作用面的对称轴上，即 b/2 处 h1
LP
P
e
L e
h2
某 泄 洪 隧 洞 ， 在 进 口 倾斜 处 设 置 一 矩 形 平 板 闸门 ，
倾角α为4 5，门宽b 为3 m门, 长l 为4 . 5 m ，顶门在水
面下淹没深度1h为8 m ，闸门自重300k N ，问闸门承受的静 水总压力P 为多少？静水总压力的作用点在哪里？沿斜面
➢国际上规定，一个标准大气压为温度为00C,纬度为45度时 海平面上的压强。1atm＝1.013×105Pa
➢在工程技术中，一个工程大气压相当于海拔200m处的正常 大气压。1at＝9.8×104Pa
绝对压强、相对压强与真空值 绝对压强：
以设想的不存在任何气体的“完全真空”
（绝对真空）作为计算零点。----pabs
的大小与作用面的方位无关。
➢ 静压强 p 与作用方向无关，仅
取决于作用点的空间位置；流体是 连续介质 ，因此：p＝ p(x,y,z)。
➢ 静止流体的静压强 p = p(x, y, z)，是空间点的连续函数。
2.2 流体平衡微分方程
在静止流体内部任取一点O’，该点的压强为p＝p（x，y，z）
两个受压面abcd和a’b’c’d’中心点M，N 的压强：
pM
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
x
dx 2
,
y,
z
p 1 p dx 2 x
pN
p
x
dx 2
,
y,
z
p
1 2
p dx x
质量力：FBx X dxdydz
X方向的平衡方程：
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
➢静止流体的应力只有法向分量（流体质
点之间没有相对运动不存在切应力）。
➢法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉），即：流体静压强的方 向总是垂直指向受压面。
• 静压强的大小与作用面的方向无关
➢ 在静止流体中取出以M 为顶点的四面体流体微元，它受到的
质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程。
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
P dp hdA
A
y sin dA sin ydA
A
A
1．静水总压力的大小
ydA 受压面A对OX轴的静矩
A
ydA yc A（面积距定理）
A
P dp hdA y sin dA sin ydA
A
A
A
P sin yc A hc A pc A
2.3 重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp Xdx Ydy Zdz
质量力只有重力：X＝Y＝0，Z＝－g，可得：
dp gdz
积分可得： p gz c
p gz c
p z c
g
g
z p C
g
由边界条件确定积分常数c，可得：
z0
p0
g
z
p
g
p po g zo z
p po gh
（p p0 h）
2.3.2 帕斯卡原理（巴斯加原理）
根据流体静力学基本方程 p p0 h 可知，液面压强p0与液 柱所具有的重量 h 无关，如果液面压强p0增大（或减小） △p，则液体内任意点的压强都将同时增大（或减小）同样 大小的△p。
因此可得出结论：静止流体内任一点的压强变化，会等值 传递到流体的其他各点。这就是帕斯卡原理，或称静压传 递原理。
92.7kN/m2
pr pabs pat 92.7 98
p0
5.3kN/m2
h
pv pr 5.3kN/m2
c
hv
pv
w
0.54m水柱
情况同上例，试问当C点相对压强p 为8 .k4N / m2时， C 点在自由面下的淹没深度h 为多少？
解：pr
pabs
pat
p0
γ w
h
pat
ppp
第二章 流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
0.6m
dh
B(h)
60°
0.6m
b=0.5m
解：平行力系，采用积分法求解。
在任意水深处的闸板宽度为： B(h)=0.5+2(0.6-h)cot60°
静水总压力为： dh
P dP pdA
A
A
h
0.6m
B(h)
60°
p B(h) dh
0
0.6
b=0.5m
h[0.5 2(0.6 h)cot 600 ]dh 1.29KN
拖动闸门所需的拉力为T 多少? （闸门与门槽间摩擦系数f 0 . 2 5 )
解：①图解法
h2 h1 l sin45 8 4.5 sin45
11.18m
45
h1 T P h2
l
P
h1
h2
e
压 强 分 布 图 是 梯 形 ， 上底 静 水 压 强
p1＝h1 ＝9.8 8 78.4kN
b b
h
h
h
p=h
平面静水压强分布图一般只画二维图，不必画出三维图。
2.4.1.2 用图解法求矩形平面上的静水总压力
P dp pdA
A
A
ba
pdxdy 00
ba
dx pdy 00
AP b
dV v
作用点位置：
沿高度（深度）方向：压强分布图的形心。
三角形：距底边 e = L/3 。 矩形：中点e = L / 2。
度、平面面积和淹深有关。即在相同液体、液深和相同的自
由液面上的大气压强下，液体作用在底面积相同的水平平面
上的总压力必然相等，而与容器的形状无关。
§5.1 分析法 § 5.1.1 静水总压力的大小
1．静水总压力的大小
注意坐标 系
微小面元dA上水压力
dP pdA hdA
P—平面上静水总压力 yc—受压面形心到Ox轴的距离 hc—受压面形心的淹没深度 pc—受压面形心点的压强 A—受压面的面积
0
压力中心位置：
1
0.6
h2[0.5
Ph D dP h
hD
2 (0.6 h)cot 600 ]dh
1 P
h
dP h
0
0.37m
P 0
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
2.5.1.1 静水压强分布图：
sin45
0.707
13.69m
②解析法
P hc A hc b l
pr
oil h
7.8 2.5 19.5kN
p0=pat
/ m2
L 油
h
300
平面上静水总压力计算
§5 作用于平面上的静水总压力
完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。
作用在水平平面上的液体总压力
p pa gh
Fp prA ghA
由液体产生的作用在水平平面上的总压力只与液体的密
p
g
O
O
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
2.3.4 等压面
等压面具有如下性质：
1.等压面与质量力正交
dp Xdx Ydy Zdz =0
Xdx+Ydy+Zdz=0 2.等压面可以是平面也可以是曲面
3.静止液体的等压面是水平面
4.凡是自由表面都是等压面
f ds
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
一封闭水箱，自由表面上气体绝对压强p0为78kN/m2， 求液面下淹没深度h 为1.5m处点C 的绝对静水压强，相对 静水压强和真空度。
解：pabs p0 γwh 78 9.81.5